2020年中考研究之尺规作图问题

2020年中考之尺规作图问题

1.（河北省第6题）

如图，已知/ABC,用尺规作它的角平分线.如图，步骤如下，

第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E;

第二步：分别以D,E为圆心，以b为半径画弧，两弧在/ABC内部交于点P;

第三步：画射线BP,射线BP即为所求.

下列正确的是（）

Aa,b均无限制Ba>0,&的长

DaN0,b>JoE的长

CQ有最小限制，b无限制

解析：考查作图的基本知识.选B

3.（宁夏第14题）

如图，在AABC中，/C=84。，分别以点A,B为圆心，以大于寺43的长为半径画弧，两弧

分别交于点M、N,作直线MN交AC于点D;以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别

交BA、BC于点E、F,再分别以点E、F为圆心，大于4EF为半径画弧，两弧交于点P,

作射线BP,此时射线BP恰好经过点D,则NA=度.

解析：

由基本作图可知：MN为AB垂直平分线；BP为/ABC的角平分线.

可知:AD=BD,zA=/ABD;NABD=zCBD,所以，NABC+NA=3zA=180°-84°=96°,

所以NA=32°.

4.（海南第15题）

如图，在AABC中，BC=9,AC=4,分别以点A、B为圆心，大于义48长为半径画弧，

两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD,则AACD的周长为.

NMA

解析：

由作图可知MN为AB的垂直平分线，得至ijBD=ADfACD周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC

=BC+AC=9+4=13.

5.（西藏第16题）

如图，已知平行四边形ABCD.以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交AB、AD于点E、

F.再分别以点E、F为圆心大于aEF长为半径画弧，两弧在/DAB的内部交于点G,画射

线AG交DC于H.若/B=140°,贝iJ/DHA=.

解析：易知NB=140°,所以NDAB=40°,由于作图可知AH平分/DAB，所以/DHA=NHAB

=20°.

6.（济南第10题）

如图，在AABC中，AB=AC,分别以点A、B为圆心，以适当长为半径作弧，两弧分别交

于E、F,作直线EF,D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=4,&ABC的面

积为10,则BM+MD长度的最小值为（）

AB3C4D5

解析：

根据作图可知EF为AB垂直平分线，BM=AM，求BM+MD的最小值即为求AM+MD最小

值.所以，中线AD长度为所求.由于AB=AC,所以AD，BC,由于BC=4,^ABC面积为

10,所以AD长度为微，选A

8.（南京第27题）

如图①，要在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向/同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输

送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

•B

A・

------------I

①

(1)如图②，作出点A关于，的对称点A',线段A'B与直线/的交点C的位置即为所求，

即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的.

为了证明点C的位置即为所求，不妨设直线/上另外取一点C',连接AC\BC,证明

++请完成这个证明.

解析：连接A'C',利用三角形的两边之和大于第三边即可求证.

(2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿越该区域.请分别

给出下列两种情形铺设管道的方案(不需说明理由).

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

③④

解析：

对于图③，如图所示

对于图④，如图所示，其中A'M与BN均为生态保护区的切线，C点为A'M与/的交点，C

点为所求.

9.（苏州第18题）

如图，已知/MON是一个锐角，以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点

A、B,再分别以A、B为圆心，大于义43长为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC.过点

A作AD//ON,交射线0C于点D,过点D作DE_LOC,交ON于点E.设OA=10,DE=

12,贝Isin/MON=.

解析：如图

连接AB,由作图可知0C为角平分线，OA=OB=10,所以AB_LOD,所以AB//DE,由于

不难证明四边形ADEB为平行四边形，所以AB=DE=12.

作AQOE,由于易求OG=8,所以AAOB的面积="12义8=48，所以AF=9.6,故

sinZMON=笫=黑=0.96

OA10

10.（扬州第17题）

如图，在AABC中，按以下步骤作图：

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E.

②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F.

③作射线BF交AC于点G.

如果AB=8,BC=12,&ABG的面积为18,贝必CBG的面积为.

解析：如图，作图可知BG为角平分线，可知有如下相等线段

GM=GN,由于AB=8,△ABG面积为18,可得GM=j=GN,所以&CBG的面积为

1a

X12X|=27

11.（嘉兴第9题）

如图，在等腰AABC中，AB=AC=2，E,BC=8,按下列步骤作图：

②以点A为圆心，适当的长度为半径作弧相交于点H,作射线AH;

②分别以点A,B为圆心，大于义48的长为半径作弧相交于点M,N，作直线MN，交射线

AH于。点；

③以点。为圆心，线段0A长为半径作圆.

则。0的半径为（）

A2^/5B10C4D5

解析：由作图可知，AO为BC的垂直平分线，设AO与BC交于G点.

易知，BG=4,AB=2^5，所以AG=2;设。。半径为r,在直角三角形OBG中，可得

BG2+OG2-OB2,42+（r-2）2=r2,解得：r=5.

12.（衢州第8题）

过直线/外一点P作直线/的平行线，下列尺规作图中错误的是（）

解析：

对于A是用的内错角相等，B用的是同位角相等，C用的是垂直于同一条直线的两条直线

平行.选D

14.（台州第7题）

如图，已知线段AB,分别以A、B为圆心，大于2力2同样长为半径画弧，两弧交于点C,

D,连接AC、AD、BC、BD、CD,则下列说法错误的是（）

A平分NC4DBCD平分N4CB

CABVCDDAB=CD

解析：AC=AD=BC=BD,为菱形，可知AB=CD.是错误的.

15.（深圳第8题）

如图，在AABC中，AB=AC.;|£AB,AC上分别截取AP,AQ.再分别以点P,Q为圆心，以

大于^PQ的长为半径作弧，两弧在/BAC内交于点R,作射线AR,交BC于点D,若BC

=6,则BD的长为（）

A2B3C4D5

解析：由已知和作图可知，AD±BC,口为BC中点，BC=6,则BD=3.

16.（珠海第15题）

如图，在菱形ABCD中，/A=30。，取大于248的长为半径，分别以上点A、B为圆心作

弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE,BD.则/

EBD的度数为.

解析：由于/A=30°,菱形ABCD,所以可知NABD=75°；由作图可知虚线为AB的垂直平

分线，可知AE=BE,可知/ABE=30°,所以,zEBD=45°.

18.（长沙第19题）

人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角平分线的作法：

已知：zAOB.

求作：zAOB的平分线.

作法：

（1）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.

（2）分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在/AOB的内部相交于点

C.

(3)画射线OC,射线0C即为所求(如图).

请你根据提供的材料完成下面问题.

(1)这种作已知角的平分的方法的依据是.(填序号)

①SSS②SAS③AAS®ASA

(2)请你证明0C为/AOB的平分线.

解析：如图

利用SSS可以证明.

由作图可知：OM=ON,MC=NC,OC=OC,△OMC空△ONC,可以证明OC为NAOB的平

分线.

19.(邵阳第14题)

如图，线段AB=10cm,用尺规作图法如下步骤作图：

(1)过点B作AB的垂线，并在垂线上取BcJ/l反

(2)连接AC,以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于点E;

(3)以点A为圆心，AB为半径画弧，交AB于点D,即点D为线段AB的黄金分割点，

则线段AD的长度约为cm.(结果保留两位小数，参考数据：

72«1.414;^/3«1.732;-/5«2.236)

解析：

20.（郴州第16题）

如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=8.分别以点B,D为圆心，以大于28。的长为半径

画弧，两弧相交于点E和F,作直线EF分别与DC,DB,AB交于点M、0、N,则MN=

解析：如图

由作图可知EF为BD的中垂线.

如图存在：（8—力2=/+16，解得：3；=3，所以DN=5,由于。在直

角三角形DON中，存在0。2+0%2=。可2,解得。％=述,所以MN=2〃5.

21.（宜昌第4题）

如图，点E、F、G、Q、H在一条直线上，且EF=GH,我们知道按如图所作的直线，为线

段FG的垂直平分线，下列说法正确的是（）.

AI是线段EH的垂直平分线BI是线段EQ的垂直平分线

CI是线段FH的垂直平分线DEH是，的垂直平分线

xI

EFGQH

/xKZ

解析：A

22.（咸宁第18题）

如图，在中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E,在AD上截取AF

=BE,连接EF.

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）请用无刻度的直尺在口4BCD内找一点P,使NAPB=90°.（标出点P的位置，保

留作图痕迹，不写作法）

解析：（1）略

（2）由于菱形的性质，可知P点如图

23.（南宁第7题）

如图，在AABC中，BA=BC,zB=80°,观察图中尺规作图的痕迹，贝』DCE的度数为（）

A60°B65°C70°D75°

解析：作图可知CE为/ACD的角平分线，易求NDCE=65°.

24.（河池第9题）

观察下列作图痕迹，所作CD为&ABC的边AB上的中线是（）

cc

解析：根据垂线的作法，可知选A

25.（成都第7题）

如图，在AABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于;的长为半径

作弧，两弧相交于点M和N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则

BD的长为（）

A2B3C4D6

C

解析：C（垂直平分线作图）

26.（自贡第9题）

如图，在直角三角形ABC中，zC=90°,2A=50°,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交

AB于点D.连接CD.则/ACD的度数是（）

A50°B40°C30°D20°

解析：根据作图可知BD=BC,易知结果为20。.

27.（贵阳第9题）

如图，直角三角形ABC中，/C=90°,利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD,使BE=

BD;分别以D,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在/CBA内交于点F;作射

线BF交AC于点G,若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为（）

A无法确定B|C1D2

解析：作图可知BG为角平分线，容易知道GP最小值为GPxAB时GP最小，由于GP=

CG=1，所以GP最小值为1.

29.（毕节第20题）

如图，直角三角形ABC中，zBAC=90°,AB=6,sinC=?,以点A为圆心，AB长为半

o

径作弧交AC于点M,分别以点B,M为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点

N,射线AN与BC相交于点D.则AD的长为.

BC

,N

解析：如图

根据角平分线定理可知：器=%，即：10%）=9,BD=半；易求BE=竽，所以

942494r-

AE=学，由于/BAD=45°,所以DE=^;所以AD=年声.

30.（吐鲁番第13题）

如图，在z轴，沙轴上分别截取OA,OB，使OA=OB,再分别以点A,B为圆心，以大于义43

长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为（a,2a-3）,贝h的值为1

解析：

由作图可知OP为角平分线，可知a=2a—3,解得：a=3.

31.（抚顺第16题）

如图，在直角三角形ABC中，AC=2BC，分别以点A和B为圆心，以大于长为半径

作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的

长为

B

CA

解析：MN为AB垂直平分线，可知BN=AN,如图所示可得

7+9=⑵-3y

解得：x=4,所以BE=5.

32.（丹东第7题）

如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD,zB=60°,AD=,分别以B和C为圆

心，以大于2长为半径作弧，两弧交于P和Q,直线PQ与BA延长线交于点E,连接

CE,贝必BCE的内切圆半径是（）

A4B4通C2D2^/3

解析：EQ为BC垂直平分线，EB=EC,由于NB=60°,所以怔BC为等边三角形.由于

AD=BC=8，5.所以三角形的高为12,所以ABCE的内切圆半径为4.所以选A.

33.（盘锦第15题）

如图，菱形ABCD的边长为4,zA=45°,分别以点A和点B为圆心，大于的长为半

径作弧，两弧相交于MN两点，直线MN交AD于点E连接CE则CE的长为.

解析：根据作图可知MN为AB的垂直平分线.如图

可知/ABC=135°,由于EA=EB,所以NA=NEBA=45°,可知EB_LBC.由于AB=4,所以

BE=2y/2,所以CE长为⑷匕炉=必=?西

34.（铁岭第15题）

如图，在AABC中，AB=5,AC=8,BC=9.以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB

于点M,交AC于点N.分别以M,N为圆心.以大于的长为半径作弧，两弧在/BAC

的内部相交于点G,作射线AG，交BC于点D,点F在AC边上，AF=AB.连接DF,贝必

CDF的周长为.

解析：由作图可知AG为NBAC的角平分线，由于AB=AF所以可以得到△480空△ADF,

所以BD=DF.由于AB=AF=5,AC=8,所以FC=3,DF+DC=BD+DC=BC=9,所以^CDF的

周长为3+9=12.

35.（长春第7题）

如图，在AABC中，NBAC=90°,AB>AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，

大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N;②作直线MN,与边AB相交于

点D,连结CD,下列说法不一定正确的是（）

A4BDN=4CDNB/ADC=2/B

C4ACD=NDCB。2N3+N4c0=90°

解析：由作图知MN为BC的垂直平分线.只有C.其余都必然.

36.（绥化第22题）

（1）如图，已知线段AB和点0,利用直尺和圆规作&ABC,使点0是AABC的内心（不

写作法，保留作