2018年理科数学高考题及答案

全国I卷(理数)

1-i

1.(2018•全国I卷，理1)设zJ^+Zi,则|z|等于(C)

(A)0(B)2(C)l(D)线

一(W-a

解析:因为z=1+i+2i=(14i)C1-i)+2i=2+2i=i,

所以忆|=1.故选C.

2.(2018•全国I卷，理2)已知集合庆=仅川/2>0卜则［RA等于(B)

(A){x|-l<x<2}(B){x|-l<x<2}

(C){x|x<-l}u{x|x>2}(D){x|x<-l}u{x|x>2}

解析:因为A={x|x2-x-2>0},

所以：RA={x|x2-x-2$0}={x|-l£x$2},故选B.

3.(2018•全国I卷，理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入

变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是(A)

(A)新农村建设后，种植收入减少

(B)新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

(C)新农村建设后，养殖收入增加了一倍

(D)新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析:因为0.6<0.37x2,

所以新农村建设后,种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的，故选A.

4.(2018•全国I卷，理4)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3s3=S2+S%ai=2,则as等于(B)

(A)-12(B)-10(C)10(D)12

解析:设等差数列{加}的公差为d,由3s3=S2+S4,得

3I3ai+2xd=2ai+2x(j+4ai+2xd,

将ai=2代入上式，解得d=-3,

故a5=ai+(5-l)d=2+4x(-3)=-10.故选B.

5.(2018•全国I卷，理5)设函数f(x)=x3+(a-l)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)

(A)y=-2x(B)y=-x

(C)y=2x(D)y=x

解析:因为函数f(x)=x3+(a-l)x2+ax为奇函数，

所以f(-l)+f(l)=0,所以-l+a-La+(l+a-l+a)=0,解得a=L所以f(x)=x3+x,所以f(x)=3x2+l,

所以f(0)=1,所以曲线y:f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.

EB

6.(2018•全国I卷，理6)在6ABe中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则等于(A)

-AB-AC-AB-AC

(A)44(B)&4

-AB-AC-AS-AC

(C)，+4(D)。+4

EBEDDB|CB

解析：=+=2+2

11-*-1-*-•

=yABAC^ABAC

=X(+)+(-)

故选A.

7.(2018•全国I卷，理7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的

点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(B)

(A)2g(B)2)/3(C)3(D)2

解析:先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M.N的位置如图①所示.

圆柱的侧面展开图及M.N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.

ON=4X16=4,OM=2,

所以|MN|二也M2历+#=2臼.故选B.

2--*

FMFN

8.(2018•全国I卷，理8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为［的直线与C交于M,N两点，则■等于(D

(A)5(B)6(C)7(D)8

解析油题意知直线MN的方程为y=a(x+2),

联立直线与抛物线的方程，得

|y=：(x+2),

।寸=4工解得忆2或忆4：

不妨设“为。,2)^为(4,4).

又因为抛物线焦点为F(l,0),

FMFN

所以=(0,2),=(3,4).

FMFN

所以=0x3+2><4=8.

故选D.

(e\x<0.

9.(2018•全国I卷，理9)已知函数f(x)='lnxx>%(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(C)

(A)[-l,0)(B)[0,+oo)

(C)[・l,+8)(D)[L+S)

解析：

令h(x)=-x-a,

则g(x)=f(x)-h(x).

在同一坐标系中画出y=f(x),

y=h(x)图象的示意图，如图所示.

若g(x)存在2个零点，则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点，平移y=h(x)的图象，可知当直线y=-x-a过点(0,1)时，有2个交点,

此时l=-0-a,a=-l.当y=-x-a在y=-x+l上方，即a<-l时，仅有1个交点，不符合题意.当y=-x-a在y=-x+l下方，即a>-l时，有2个交

点，符合题意.综上,a的取值范围为［-1,+g).故选C.

10.(2018逢国I卷，理10)

如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,

直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自1,11,111的概率

分别记为PI，P2，P3,M(A)

(A)PI=P2(B)PI=P3

(C)P2=P3(D)P1=P2+P3

1

解析:因为S，ABC=2ABAC,

以AB为直径的半圆的面积为

1AE■

以AC为直径的半圆的面积为

1AC■

以BC为直径的半圆的面积为

1BC■

2TT-'223BC2,

1■1

所以SFVB-AC.SIII^BC^ABAC,

■■4■1

■■■w

Sn=AB2+AC2-BC2-ABAC

=2ABAC.

所以SI=SII.

STSH

SS

由几何概型概率公式得Pl=M,P2=B

所以P1=P2.故选A.

色

11.(2018•全国I卷，理11)已知双曲线C:3-y2=l,O为坐标原点,F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M.N.

若aOMN为直角三角形，则|MN|等于(B)

3

(A)2(B)3(C)2^(D)4

解析：

由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=±^x.

设两条渐近线夹角为2a,

1邑

贝ij有tan,所以a=30°.

所以NMON=2G=60°.

又/QMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性,不妨设MN_LON,如图所示.

在Rt△ONF中,|OF|=2,贝”ON|=B.

则在RSOMN中JMN|=|ONktan2a=6•tan600=3.故选B.

12.(2018•全国I卷，理12)已知正方体的棱长为L每条棱所在直线与平面。所成的角相等则。截此正方体所得截面面积的最大值为

(A)

2^33历更

(A)4(B)3(C)4(D产

解析:

如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，平面ABiDi与棱AiAAiBiAQi所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与

AiA,AiBi,AiDi平行，故正方体ABCD-AiBiCiDi的每条棱所在直线与平面ABiDi所成的角都相等.

如图所示，取棱AB,BBI,BICI,CIDI,DDI,AD的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面ABiDi平行且面积最大,

2224

此截面面积为S正六边形EFGHMN=6XxXsin60°=.故选A.

fx-2y-2<0.

|r-y+l>0.

13.(2018•全国I卷，理13)若x,y满足约束条件1y-0r则z=3x+2y的最大值为.

解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.

由z=3x+2y得y=-2x+2.

3

作直线lo：y=-2x.

3*

平移直线Io,当直线y=-Nx+”过点(2,0)时,Z取最大值,Zmax=3x2+2x0=6.

答案:6

14.(2018•全国I卷，理14)记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.

解析:因为Sn=2an+1,当n>2时,Sn-i=2an-i+l,

所以an=Sn-Sn-l=2an-2an-l,

即3n=2an-l.

当n=l时,ai=Sj=2ai+l,得ai=-l.

所以数列｛an｝是首项ai为-1,公比q为2的等比数列，

qaS-1x(10

所以Sn=H=g=1-2",

6

所以S6=l-2=-63.

答案:-63

15.(2018•全国I卷，理15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用

数字填写答案)

解析:法一按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有C,有2位女生参加有用珠，故共有

GW+U^=2X6+4=16(种).

法二从2位女生,4位男生中选3人洪有C种情况，没有女生参加的情况有簿种,故共有C-C=204=16(种).

答案:16

16.(2018•全国I卷，理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2xMJf(x)的最小值是.

解析f(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-l)=2(2cos2x+cosx-l)=2(2cosx-l)(cosx+1).

因为cosx+l>0,

1"Su

所以当cosx<“时，即xeg2kiT,3+2kn，,keZ,

f(x)<0,f(x)单调递减；

1Sii、

当cosx>2B4,+2kTr,3+2kTi-,keZ,

f(x)>0,f(x)单调递增.

巴1

所以当x=3+2kn,kGZ,sinx=-2,cosx=”,f(x)有最小值.

又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(l+cosx),

所以f(X)min=2x-2,x1+*,=-2.

答案：-2

亿(2018•全国I卷，理17)在平面四边形ABCD中,/ADC=90°/A=45°,AB=2,BD=5.

⑴求coszADB;

(2)若DC=2力，求BC.

JBDAB

解:(1)在"BD中油正弦定理得

52

即M二匕而

叱

所以sinzADB=5.

由题设知,NADB<90。，

rn疸

所以COS/ADBH年=5.

立

(2)由题设及(1)知,cos/BDC=sin/ADB=5.

在八BCD中,由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2BDDCcoszBDC

亚

=25+8.2x5x2线x$

=25.

所以BC=5.

18.(2018•全国I卷，理18)

如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD.BC的中点，以DF为折痕把^DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF1BF.

Q)证明:平面PEE1平面ABFD;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

(1)证明:由已知可得,BF，PF,BF正F,

又PFnEF=E,所以BF_L平面PEF.

又BFu平面ABFD,所以平面PEF_L平面ABFD.

(2)解：

如图，作PFUEF,垂足为H.

由Q)得,PH_L平面ABFD.

mBF

以H为坐标原点，的方向为y轴正方向|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.

由(1)可得,DE_LPE.

又DP=2,DE=1,所以PE二有

又PF=1,EF=2,故PE1PF.

可得PH=2,EH=N

虫、3H

则H(O,O,O),P0,0,2，,D-l,Ao，,

"=冷1.2加=I0,0,?2.

HP

又为平面ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为&

用咒I@

则sin。=眄»«1|3二4.

亘

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为4.

苗

19.(2018•全国I卷，理19)设椭圆C:2+y2=l的右焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当I与x轴垂直时,求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：/OMA=NOMB.

(1)解:由已知得F(l,0),l的方程为x=l.

叱叱、

由已知可得，点A的坐标为11,2或，.

叱叱

又M(2,0),所以AM的方程为y=-2x+线或y=*x-线

(2)证明:当I与x轴重合时/OMA=NOMB=0°.

当I与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线，

所以NOMALOMB.

当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y=k(x-l)(k*0),A(xityi),B(x21y2),

则-逐＜xi＜短，-线％＜线，直线MA.MB的斜率之和为

n.

sj-2*2~2

kMA+kMB=+

由yi=kxi-k,y2=kx2-k得

kMA+kMB二一西荻万一.

将y=k(x-l)代入N+y2=l得

(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0.

所以X1+X2=M^,XIX2=4^.

贝ij2kxiX2-3k(xi+X2)+4k=灰？5=0.

从而kMA+kMB=0,

故MA,MB的倾斜角互补，

所以NOMA=NOMB.

综上,NOMA=NOMB.

20.(2018•全国I卷，理20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格

品，则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为

不合格品的概率都为p(0<p<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点po；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以Q)中确定的po作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合

格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用；

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为

f(p)=C2op2(l-p)18.

因此f(p)=^4fl(2p(l-p)18-18p2(l-p)17]

=2^op(l-p)17(l-10p).

令f*(p)=0,得p=0.1.

当pw(0,0.1)时,f(p)>0;当pw(O.Ll)时,f(P)〈O.

所以f(p)的最大值点为po=O.l.

(2)由(1)知,p=0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y-B(180,0.1),X=20x2+25Y,gpX=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

21.(2018•全国I卷，理21)已知函数f(x)=M-x+alnx.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点xi,X2,证明：a矢<a-2.

(1)解:f(x)的定义域为(0,+动，

1»X2-™+1

f(x)=--1+=-

①若a$2,则f(x)$O,当且仅当a=2,x=l时f(x)=O,所以f(x)在(0,+向上单调递减.

②若a>2,令f(x)=O得，

X=工或X=2

当xe*0,2，U1~~,+<»，时,f(x)〈0；

aH-Ja^-4

当xe2,2时,f(x)>0.

所以f(x)在b,2、12,+oo上单调递减，在2"一「，上单调递增.

(2)证明:由Q)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点xi,X2满足x2-ax+l=0,

所以X1X2=1,不妨设Xi〈X2,则X2>1.

仲1)4宅)1弋车?二

由于"至一二病-1+a项々=-2+a秋制=-2+a^2,

用1)牛2)1

所以“上至<a-2等价于^-X2+2lnx2Vo.

1

设函数g(x)=*-x+2lnx,

由Q)知,g(x)在(0,+动上单调递减，

又g(l)=0,从而当x《l,+g)时,g(x)〈0.

1

所以2x2+2lnX2<0,

华1)4尿)

即<a-2.

22.(2018•全国I卷理22)［选修44坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos9-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若Ci与C2有且仅有三个公共点，求Ci的方程.

解:(1)由x=pcos6,y=psin6得C2的直角坐标方程为(x+l)2+y2=4.

(2)由Q)知C2是圆心为A(-1,O)泮径为2的圆.

由题设知,Ci是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为li,y轴左边的射线为b.由于点B在圆C2的外面，故

C1与C2有且仅有三个公共点等价于11与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两

个公共点.

当h与Cz只有一个公共点时,A到11所在直线的距离为2,所以炳1=2,故k=5或k=0.

经检验，当k=0时,h与C2没有公共点;当k=3时h与C2只有一个公共点,b与Cz有两个公共点.

一+44

3

当I2与C2只有一个公共点时,A到12所在直线的距离为2,所以跖工2,故k=0或k=.

4

经检验，当k=0时,11与C2没有公共点;当kJ时12与C2没有公共点.

综上，所求C1的方程为y=-a|x|+2.

23.(2018•全国I卷，理23)［选修45不等式选讲］

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

⑴当a=l时，求不等式f(x)>l的解集；

(2)若xe(0,l)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.

解:⑴当a=l时,f(x)=|x+lHx-l|,

f-2x<-1.

<r<1.

IZr>1.

即f(x)=

故不等式f(x)>l的解集为xlx>”.

(2)当x[0,l)时|x+lHax-l卜x成立等价于当xe(0,l)时|ax-l|<l成立.

若asO,则当xw(0,l)时

若a>0,|ax-l|<l的解集为'xIO<x<",

2

所以?1,故0<a<2.

综上启的取值范围为（0,2].

2018年普通高等学校招生全国11（理数）统一考试

一、选择题:本题共12小题,每小题5分洪60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2018・全国II卷，理I）。*等于（D）

4343

(A)-5-5!(B)-5+5i

3434

(C)-5-5i(D)-5+5i

2

1+2Q+砌34

解析:,=(!狗@+现*===_M+彳故选D.

2.(2018•全国II卷，理2)已知集合A;{,})廿+丫2£3.乙丫红},则人中元素的个数为(A)

(A)9(B)8(C)5(D)4

解析:将满足x2+y2<3的整数x,y全部列举出来，即(・1,・1),(・1,0),(；,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,・1),(1,0),(11),共有9个.故选A.

解析:因为y=ex-e〃是奇函数,y=x2是偶函数,

所以f（x）=k是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项.

11

当x=l时,f(l)=1=e-°>0,排除D选项.

又e>2,所以

所以e-'l,排除C选项.

故选B.

4.(2018•全国II卷，理4)已知向量a,b满足|a|=l,a-b=-L则a-(2a-b)等于(B)

(A)4(B)3(C)2(D)0

解析:a(2a・b)=2a2-ab=2|a|2・ab.

因为|a|=l,ab=-l,

所以原式=2x12+1=3.

故选B.

5.（2018•全国H卷,理5）双曲线？尸二l（a>0,b>0）的离心率为方，则其渐近线方程为（A

（A）y二士线x（B）y=±^x

近亘

（C）y=±2x（D）y=±2x

解析:由e="=Ji+y=也得35

£

所以该双曲线的渐近线方程为y=±°x;士力x,故选A.

C在

6.（2018•全国II卷，理6）在SBC中,COS和SBCEACUS,则AB等于（A）

（A）4力（B）同（C）屈（D）2V5

£”

解析:因为cos2=5,

£^53

所以COSC=2cos22-1=2X52_1=_5

在4ABC中，由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC

=52+l2-2x5xlx?

=32,

所以AB=T2=4线.故选A.

7.（2018•全国II卷，理7）为计算S=l-2+m一。+...+»5一《»设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（B）

(华)

(A)i=i+1(B)i=i+2

(C)i=i+3(D)i=i+4

解析:把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.

循环

①②③

次数酚

0++0+++

N

0+0++

++...+

0++0+++

T

0+0++

++...+

1-+1-+-1-+-

S

1-

+-+...+-

因为N=N+‘由上表知i是1-3—5，…,所以i=i+2.

故选B.

8.（2018•全国II卷，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可

以表示为两个素数的和"，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（C）

_1_1_1_1

（A严*（C严（D严

解析:不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29洪10个，随机选取两个不同的数，共有^昨45种情况，而和为30的有

7+23,11+19,13+17这3种情况，

所以所求概率为";15故选C.

9.（2018•全国II卷，理9）在长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=1,AAI=B,则异面直线ADi与DBi所成角的余弦值为（C）

(A)5(B)6(C)5(D)2

解析:法一

如图，连接BDi,交DBi于。，取AB的中点M,连接DMQM,易知O为BDi的中点,

所以ADilQM,则/MOD或其补角为异面直线ADi与DBi所成角.

片曲+叫

因为在长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=l,AAi=g,ADi=、=2,

DM=W+(眄堡

御+W+D4

DBi=

11四

所以0M="ADI=1,0D=NDBI=2,

于是在ADMO中，由余弦定理，得

124^)24^)2

2X1博

coszMOD==',

四

即异面直线ADi与DBi所成角的余弦值为5，故选C.

法二

如图,分别以DA,DC,DDi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由题意，得AQ,0Q),D(0,0,0),

DKO.O.^,Bifl.l.V5),

所以4^=(-1,0,逐)

所以401MliRl+Oxl+向2=2,

产曰严格

.二81msi2Vs

所以cos<F,1>=MBiH0Bd=2V5=5.故选C.

10.(2018•全国H卷,理10)若f(x)=cosx-sinx在［-a,a］是减函数，则a的最大值是(A

■"3w

(A)4(B)2(C)4(D)TT

解析:f(x)=cosx-sinx

日正，

二-线'sinx-2cosx-

■'

=-&sinx-4•,

.■a•■(■■-二、■,

当XGL*,V.，即x-Z.时,y=sinx-*单调递增,y=-线sinx-*单调递减.

因为函数f(x)在[a,a]是减函数，

所以0<a54

所以a的最大值为“故选A.

11.(2018•全国II卷，理11)已知f(x)是定义域为(*,+g的奇函数，满足f(l-x)=f(l+x).若")=2,则f⑴+f(2)+f⑶+...+f(50)等于(C

(A)-50(B)0(C)2(D)50

解析:因为f(x)是奇函数，且f(l-x)=f(l+x),

则f(x)=f(2-x)=-f(x-2)

=-[-f(x-4)]

=f(x-4),

所以函数f(x)是周期为4的周期函数.

由f(x)为奇函数得f(0)=0.

又因为f(l-x)=f(l+x),

所以f(x)的图象关于直线x=l对称，

所以f(2)=f(0)=0,

所以f(-2)=0.

又f(l)=2,所以f(-l)=-2,

所以fQ)+f(2)+f(3)+f(4)=f(l)+f(2)+f(-l)+f(0)=2+0-2+0=0,

所以f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)

=0xl2+f(49)+f(50)

斗(l)+f(2)

=2+0

=2.

故选C.

〃经

12.(2018•全国II卷，理12)已知FI,F2是椭圆C:?+iZ=l(a>b>0)e5£,右焦点,A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6的直线上,

△PFF2为等腰三角形/FF2P=120°,则C的离心率为(D)

2111

(A)3(B)2(C)3(D)4

解析：

由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，

iS|FiF2|=2c,

因为APF1F2为等腰三角形，且/F1F2P=120°,

所以|PF2|=|FIF2|=2C,

因为|OF2|=C,

所以点P坐标为(c+2ccos60°,2csin600),

即点P(2c,气)，

逅

因为点P在过点A,且斜率为6的直线上，

岳逅

所以

解得叱4

所以e=1故选D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(2018•全国II卷，理13)曲线y=2ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为.

2

_x+i

解析:因为y=2ln(x+l),所以9：

令x=0,得y'=2,

由切线的几何意义得切线斜率为2,

又切点（0,0）,

所以切线方程为y=2x.

答案:y=2x

fr+2y-5>0.

|x-2y+3>0.

14.(2018•全国II卷，理14)若x,y满足约束条件,X-S-则z=x+y的最大值为

解析:

由不等式组画出可行域，如图（阴影部分）.

x+y取得最大值o斜率为-1的直线x+y=z（z看作常数）在y轴上的截距最大,

由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.

fr=5r

由卜力+3=0得点C(54)

所以Zmax=5+4=9.

答案：9

15.(2018•全国II卷，理15)已知sina+cosp=l,cosa+sinB=0,则sin(a+p)=.

解析:因为sina+cosB=l,①

cosa+sinB=0,②

所以①2+②2得l+2(sinacosp+cosasinp)+l=l,

所以sinacosp+cosasinp=-2,

1

所以sin(a+p)=-2.

1

答案,

16.（2018•全国II卷，理16）已知圆锥的顶点为S,母线SA.SB所成角的余弦值为・,SA与圆锥底面所成角为45°,若&SAB的面积为

5a弓,则该圆锥的侧面积为.

解析：

如图，因为SA与底面成45°角，

所以^SAO为等腰直角三角形.

设OA=i•，则SO=r,SA=SB=^r.

7

在&SAB中,cos/ASB/，

包

所以sin/ASB二■,

所以S.SAB=SASBsinzASB

1加

:5用，

解得厂2回，

所以SA=6r=4书,

即母线长1:4召，

所以SE«fli=nrl=rrx2Vl0x4V5=40^n.

答案:40&n

三、解答题洪70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为

选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题洪60分

17.(2018・全国II卷，理17)记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知ai=-7,S3=-15.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解:(1)设｛an｝的公差为d,

由题意得3ai+3d=-15.

由ai=-7得d=2.

所以｛an｝的通项公式为an=ai+(n-l)d=2n-9.

(2)由(1)得Sn=2-n=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时,Sn取得最小值，最小值为-16.

18.(2018•全国II卷，理18)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时

间变量t的值依次为1,2，…,17)建立模型①:V=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…,7)建

A

立模型②：Z=99+17.5t.

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

解:(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为几=-30.4+13.5'19=226.1(亿元).

利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为'=99+17.5x9=256.5(亿元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下:

①从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016

年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显

增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增

长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型Z=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化

趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.

②从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模

型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.

19.(2018•全国II卷，理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线I与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求I的方程；

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

解:(1)由题意得F(l,0),l的方程为y=k(x-l)(k>0).

设A(xi,yi),B(X2,y2),

p=*(*-1).

由(/=4x

得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

△=16k2+16>0,®[xi+X2=:

所以|AB|=|AF|+|BF|=（X1+1）+（X2+1）=~.

由题设知

解得k=-l(舍去)或k=l.

因此I的方程为y=x-l.

(2)由Q)得AB的中点坐标为(3,2),

所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),

即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(xo,yo),则

yo=-ro+S,

&+1尸=+16.

2

仔o=3.仔°=1L

解得尻=2或尻=6

因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x・ll)2+(y+6)2=144.

20.

(2018•全国II卷，理20)如图，在三棱锥P-ABC,AB=BC=2^,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明:PO_L平面ABC;

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

⑴证明:因为PA=PC=AC=4,0为AC的中点，

所以OP1AC,且OP=2百.

如图，连接OB.

立

因为AB=BC=2AC,

所以AABC为等腰直角三角形，

1

且OB±AC,OB=NAC=2.

由OP2+OB2=PB2知PO±OB.

由OP_LOB,OP±ACQBnAC=O,

得PO_L平面ABC.

OB

(2)解:如图，以0为坐标原点，的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.

由已知得0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,20),C(020),P(OQ2b),=(0.2,2^).

OB

取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).

AM

设M(a,2-a,0)(0*〈2),则=(a,4-a,0).

设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).

APAM

由xO,n=0得

(2y+2-V5Z=0,

(ar+=0,

可取y二逐a,得平面PAM的一个法向量为n=(^(a-4)t^a,-a),

一响T

所以85<°〈>=由"汽….

由已知可得|cos<,n>|=cos30°=2,

所以于口

解得a=»4(舍去)或a=3

所以n=3,3.3..

又P'=(0,2,-2V3),

元?

所以cos<,n>=,

立

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为4

21.(2018全国11卷,理21)已知函数心尸呼七乂2.

⑴若a=l,证明:当XNO时,f(x)Nl;

(2)若f(x)在(0,+动只有一个零点，求a.

(1)证明:当a=l时,f(x)Nl等价于(x2+l)e"-10O.

设函数g(x)=(x2+l)ex-l,

则g'(x)=-(x2-2x+l)ex=-(x-l)2e-x.

当x*l时g(x)〈O,

所以g(x)在(0,+向上单调递减.

而g(0)=0,故当x>0时,g(x)MO,

即f(x)>l.

(2)解:设函数h(x)=l-ax2ex.

f(x)在(0,+8)上只有一个零点等价于h(x)在(0,+8)上只有一个零点.

(i)当a<0时,h(x)>0,h(x)没有零点;

(ii)当a>004,h,(x)=ax(x-2)e-x.

当xe(0,2)时,h'(x)<0;

当xw(2,+s)时,h'(x)>0.

所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+动上单调递增.

4a

故h(2)=l・？是h(x)在(0,+s)上的最小值.

①若h(2)>0,即a<4,h(x)在(0,+动上没有零点.

苗

②若h(2)=0,即a=%h(x)在(0,+动上只有一个零点.

③若h(2)<0,即a>4,

因为h(0)=l,

所以h(x)在(0,2)上有一个零点;

由(1)知,当x>0时e>x2,

1“1上X它1

所以h(4a)=l-萨=1-西2>1-耐=1-">0,

故h(x)在(2,4a)上有一个零点.

因此h(x)在(0,+句上有两个零点.

综上，当f(x)在(0,+s)上只有一个零点时,a='

(二)选考题洪10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

0=2cosft

22.(2018•全国II卷，理22)［选修4-4:坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为17=4疝而(0为参数)，直线।

fr=1+tcosa

的参数方程为17=2+tsina。为参数)

(1)求C和I的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为Q,2),求I的斜率.

解乂1)曲线C的直角坐标方程为4+M=l

当cosa*0时,1的直角坐标方程为y=tanax+2-tana,

当cosa=0时,1的直角坐标方程为x=l.

(2)将I的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(l+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t-8=0.(D

因为曲线C截直线I所得线段的中点(1,2)在C内，

所以①有两个解，

设为灯上,则ti+t2=0.

4(2c0sr4-^BS)

1+3BOS-

又由①得tl+t2=-,

故2cosa+sina=0,

于是直线I的斜率k=tana=-2.

23.(2018逢国II卷，理23)［选修牛5:不等式选讲］设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

⑴当a=l时，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若f(x)vl,求a的取值范围.

+4,4-L

-1<r<2r

t+6jc>2.

解:⑴当a=l时,f（x）S

可得f(x)aO的解集为{x卜2gxs3}.

(2)f(x)<l等价于|x+a|+|x-2|24.

而|x+a|+|x-2|训a+2|,且当x=2时等号成立.

故f(x)<l等价于|a+2|M.

由|a+2|“可得a<-6或a>2.

所以a的取值范围是(-R,-6]U[2,+S).

2018年普通高等学校招生全国统一考试

全III理科数学

一、选择题:本题共12小题,每小题5分洪60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(2018•全国川卷，理1)已知集合人二仅卜-120}5二{0,1,2},则庆旭等于(C)

(A){0}(B){1}(C){1,2}(D){0,l,2}

解析:因为A={X|X-1N0}={X|XN1},所以AnB={l,2}.故选C.

2.(2018・全国川卷，理2)(l+i)(2・i)等于(D)

(A)-3-i(B)-3+i(C)3-i(D)3+i

解析:(l+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.故选D.

3.(2018•全国川卷，理3)

中国古建筑借助榨卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放

的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)

解析:

由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.

4.（2018•全国III卷，理4）若sina='则cos2a等于（B）

(A)5(B)5(C)-a(D)-a

1？

解析:因为sina=3所以cos2a=l-2sin2a=l-2x2n故选B.

2

5.(2018•全国III卷,理5)5的展开式中x4的系数为(C)

(A)10(B)20(C)40(D)80

2、?

解析：J+*.5的展开式的通项公式为T“I=Q-(X2)5，』，式[2v1。电令10-3r=4,得r=2.故展开式中X，的系数为啜22=40.故选C.

6.(2018・全国川卷，理6)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y?=2上，则-ABP面积的取值范围是

(A)

(A)[2,6](B)[4,8]

(C)第3蜴(D)[2银,3蜴

解析:设圆(x-2)2+y2