2021年中考数学第二轮压轴题复习：《圆》 专项练习题（一）

2021年中考数学第二轮压轴题专题复习:

《圆》专项练习题(一)

1.如图1,是。。的直径，直线4版与相切于点4直线以/与。。相切于点8,点C

(异于点⑷在朋上，点。在。。上，且”?="，延长缈与融相交于点£连接4。并

延长交融于点F.

图1图2

(1)求证：如是。。的切线；

(2)求证：BE=EF；

(3)如图2,连接长?并延长与。。分别相交于点G、H,连接8//.若45=6,AC=4,求

tanNBHE.

2.如图，扇形的半径为OA=3,圆心角2加8=90°,点C是弧四上异于A8的动点，

过点C作SL以于点〃，作在J•缈于点E连接班，点G、，在线段如上，目DG=GH

=HE.

(1)当点C在弧四上运动时，CD、CE、DG中,长不变的线段是,该线段的长度

是;

(2)证明：四边形0GO/是平行四边形;

(3)当0D=时，四边形OGCH是菱形.

3.。。直径48=12初，制和刚是O0的切线，AC切。。于点£且交加于点区交8〃于点

C,设AD—x,86=y.

(1)求y与x之间的关系式；

(2)x,"是关于十的一元二次方程2t2-30什/77=0的两个根，求x,y的值;

(3)在(2)的条件下，求△C0D的面积.

4.如图，在△/的中，点。是〃边上一点，以m为直径的。。与边8c切于点£,且布=

BE.

(1)求证：48是。。的切线；

(2)若BE=3,8C=7,求。。的半径长;

(3)求证：Ce=CD*CA.

D

BEC

5.【发现】

如图（1）,48为。。的一条弦，点C在弦48所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知

道N4C8的度数（填“变”或“不变”）；若408=150°,则N/IC8=。.爱

动脑筋的小明猜想，如果平面内线段的长度已知，N/C8的大小确定，那么点C是不

是在某一个确定的圆上运动呢？

【研究】

为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究.如图（2）,若AB:2五,直

线48上方一点C满足N4C8=45°,为了画出点C所在的圆，小明以48为底边构造了一

个等腰RtZMOb,再以。为圆心，）为半径画圆，则点。在。。上.请根据小明的思路在

图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用28铅笔或黑色水

笔加黑加粗）.后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若

线段的长度已知，N/IC8的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角

必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.

【应用】

（1）如图（3）,43=2«,平面内一点C满足N4第=60°,则面积的最大值

为■

（2）如图（4）,已知正方形力仇》,以为腰向正方形内部作等腰△&!£,其中BE=BA,

过点£作于点尸，点户是△弼的内心.

①NBPE=°,NBPA=°；

②连接CR若正方形48C。的边长为2,则小的最小值为.

图⑶图(4)

6.如图，“是的外角的平分线，交8c的延长线于点绥的延长线与

的外接圆交于点A.

(1)求证：AB—AG-,

(2)若NZ?第=90°,sinf=Y£,47=4,求故的长.

D

7.已知。。为△48C的外接圆，点E是△4外的内心,的延长线交8c于点尸，交。0于点

D.

(1)如图1,求证：BD=ED.

(2)如图2,力。为。。的直径.若8c=12,sinZBAC=—,求处的长.

5

;

)

DD

图1图2

8.如图，丝是大半圆。的直径."是小半圆a的直径，点c是大半圆o上的一个动点(不

与点48重合)，4C交小半圆a于点。，DEL0C,垂足为£

(1)求证：AD—DC-,

(2)求证：纵是半圆4的切线；

(3)如果OE=EC,请判断四边形4却是什么四边形，并证明你的结论.

9.已知△四C是。。的内接三角形，丝为。。的直径.点，是。。外一点，连接劝和川，

切与47相交于点£,且0"北

(1)如图1,若力。是。。的切线，tanN外占今证明：AD-AB-,

(2)如图2,延长。。交。。于点尸，连接3,CF,AF.当四边形4?行"为菱形，且N外C

=30°,比*=1时，求〃尸的长.

10.如图，已知48是。。的直径，C是。。上一点(不与48重合)，。为的AC中点，过

点〃作弦巫，/I8于尸，尸是84延长线上一点，且NPEA=NB.

(1)求证：，任是。。的切线；

(2)连接以与〃相交于点G,勿的延长线交所于，，求证：HE=HG；

(3)若tanN用g"，试求绰的值.

11.如图1,在△/!&?中，AB=AC,。。是△/%的外接圆，过C作CD〃/18,CD交_00千D,

连接力。交此于点£,延长。C至点尸，使％=作，连接正

(1)求证：/尸是。。的切线；

(2)求证：A言一B^=BE・EC；

(3)如图2,若点G是的内心，BOBE=M,求8G的长.

图1图2

12.已知：△/!成?内接于。。连接CO并延长交于点£,交O0于点功满足N%=3N

ACD.

(1)如图1,求证：AB—AC\

(2)如图2,连接劭，点尸为弧做上一点，连接CF,弧。尸=弧BD,过点A作AG1.CD,

垂足为点G,求证：CF+DG^CG；

(3)如图3,在(2)的条件下，点，为4C上一点，分别连接ZW,OH,OHLDH,过点C

作C2L4C,交。。于点户，0H-.由1：CF=]2,连接。尸，求"的长.

13.如图所示，4C与。。相切于点C,线段4。交。。于点B.过点8作劭〃4C交。。于点D,

连接缈、0C,且。C交加于点£.若NCDB=30°,DB=4-/jcm.

(1)求O0的半径长；

(2)求由弦①、薇与弧8c所围成的阴影部分的面积.(结果保留n)

14.如图，口4成沙的一边段与。。相切于点4另两边形、宓是00的弦，连接力。并延长

交8c于点M交过C点的直线于点夕，且ZBCP=NACD.

(1)求证：。为。。的切线；

(2)若tanNP=3,求sinN/JOC.

15.如图，四边形483内接于。“比1为。。的直径，。。的切线4户与曲的延长线交于点

P.

(1)求证：NPAB=2ACB；

4

(2)若A?=12,cosZADB=—,求阳的长.

5

参考答案

1.解：(1)如图1中，连接办，

\'CD=CA,

「・NCAD=ZCDA,

\'OA=OD

・•・NOAD=ZODA,

;直线加与。。相切于点4

/.ZCAO=ZCACh-ZOAD=90°,

0DC=NCD姑N0DA=9C,

・・・维是。。的切线.

(2)如图1中，连接8。

'：OD=OB,

/.NODB=ZOBD,

丁宏是。。的切线，8尸是。。的切线，

：・NOBD=/0DE=9N,

:.NEDB=4EBD、

:・ED=EB、

,：AM±AB,BNA.AB,

:.AM"BN,

CAD=NBFD、

•・,/CAD=NCDA=NEDF、

:・/BFD=/EDF、

:・EF=ED、

:,BE=EF.

(3)如图2中，过E点作且于则四边形48且是矩形,

图2

设BE=x,则CL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-x)2+62,

解得：x--y,

4

_9_

,,tanZBOE

tan乙也口QB34

•：/B0E=2/BHE、

2tan/BHE3

tanZBOE=-----------5--------

1-tanVBHE

解得：tan4BHE=三或-3（-3不合题意舍去），

:.tanNBHE=—.

3

补充方法：如图2中，作HJD交房的延长线于J.

•：tar\^BOE=—=—,

0B4

，可以假设8£=3尢08=4%,则况'=5%

•：OB//HJ,

.0B=0E=EB

"EH-EJ'

.4k_5k_3k

"Hf_9k-EJ'

：.HJ=—k,EJ=—k,

55

9719

：.BJ=EJ-BE=—k-3k=—k

55

HT3

NBHE=NHBA=NBHJ,

:.tanNBHE=—.

3

c

图1

2.(1)解：连接0C.

■:CD工OA、GE1.OB.

.'.ZCE0=ZCD0=9Q°,

•「N408=90°,

・•・四边形ODCE是矩形,

：.OC=ED=3,

•:DG=GH=EH、

：.DG=—DE=\,

3

•0-OG的长度不变,DG=-1,

故答案为。G,1.

(2)证明：连接0c交班于尤

.・.四边形。仇更是矩形，

：.KO=KC、KE=KD,

YEH=GD,

:・KH=KG、

二四边形0GO/是平行四边形.

(3)解：当山=冬叵时，四边形。仇?〃是菱形.

2

理由：••,四边形必然是矩形，

：.N0DC=qG,

egVoc2-OD2=也2-(乎)2=平，

**.OD=-0Cy

..・四边形OOCE是正方形,

：.DEA.OC,

...四边形如掰是平行四边形,

..・四边形OGCH是菱形.

故答案为‘吐.

3.解：(1)如图1,作DFLBN交8c于F；

；佩融与。。切于点定48,

.\AB-LAM,ABLBN.

又・：DFLBN,

BAD=/ABC=/BFD=9N,

・•・四边形4甑?是矩形，

：,BF=AD=x,DF=AB=12,

,:BC=y,

•-FG=BG-BF=y-x；

.・•以切。。于£

DE=DA=xCE=CB=y,

贝ljDC=D3CE=Ky,

在RtZ\Z?8?中，

由勾股定理得：(/。2=(y-x)2+122,

整理为：y=—,

X

.•沙与X的函数关系式是/=强.

(2)由(1)知xy=36,

x,y是方程2*2-30A+S=0的两个根,

.,•根据韦达定理知，xy=p即a=72；

・,•原方程为x-15A+36=0,

解得X」或[x=12

7=12\y=3

(3)如图2,连接。〃，OE,OC,

'.■AD,BC,CD是。。的切线，

OE1.CD,AD=DE,BC=CE,

,•S”<»=SNOX,

4.(1)证明：连接/、OE,如图所示:

在△480和△扇。中，

rAB=BE

<0A=0E,

0B=0B

：.^ABO^/\EBOCSSS),

/.ZBAgNBE0,

与边8c切于点£,

OE1.BC,

：.^BEO=^BAO=9QQ,

即ABLAD,

-'-AB是。。的切线；

(2)解：；8£=3,BX7,

：,AB=BE=3,CE=4,

'：ABA-AD,

AC22=

-=7BC-AB472.32=2百5,

YOEIBC,

：.AOEC=^BAC=9Q°,

4EC0=4ACB,

:・MCEOsl\CAB、

.OECE

."———«

ABAC

解得：如=2/匝，

5

・・・。0的半径长为生旦.

5

(3)证明：连接DE,

丁丝是。。的直径，

/.ZAED=9Q°,

:・NAE济4DEC=9G,

•・.朋是。。的切线，

・•・/仍6*=90°,

：・/BAS/EAD=9G,

'：AB=BE、

：.NBAE=NBEA,

：.ADEC=AEAD,

・••△EDC^/\AEC,

.CE,CA

.历F，

：.C^=CD*CA.

5.解：【发现】根据圆周角性质，N/C8的度数不变,

•.•/加8=150°,

:./ACB=L/A0B=15。,

2

故答案为：不变，75°；

【研究】补全图形如图1所示，

【应用】(1)如图2,

图2

记△48C的外接圆的圆心为0,连接0A,08,

•；NAC8=6Q°,

AOB=2/ACB=\2N,

0A=OB,

：,ZOAB=30°,

过点。作。a48于小

-'-AH=^AB=^3,

在RtZvl//0中，设。。的半径为"，则仍三j

根据勾股定理得，(2r)2-r2=3,

.."=1(舍去负数)，

：.0A=2,OH=1,

,.点C到的最大距离力为r+0//=2+1=3,

「•品布最大='份仁■^■*2«*3=3«,

故答案为：373；

(2)①•：EF2AB,

：.^EFB=9Qa,

:.NBER/EBF=9Q°,

;点户是△阪的内心，

■■-PE,/方分别是N比尸和NE8尸的角平分线，

：.ABEP=^Z.BEF,ZEBP=ZABP=ZABE,

；.NBPE=M°-(2BE巴/EBP)=180°-—QNBEF+/EBC=180°-—X90°

22

135°；

在△外£和△8〃中，

"BE=BA

<ZEBP=ZABP,

BE=BA

：./\BPE^./\BPA(%5).

:.NBPA=NBPE=135°,

故答案为：135°,135°；

②如图3,

作△/）的的外接圆，圆心记作点0,连接fl4,0B,在优弧48上取一点0,连接B0,

则四边形4阳。是。。的圆内接四边形，

AZ/4»=180oNBPA=45°,

:./A0B=2/AQB=qQ°,

：.0A=0B=

连接0C,与。。相交于点户‘此时，人’是3的最小值，

过点。作OMLAB于M,ON'CB,交C8的延长线于N

则四边形。的训是正方形，

：.028仁—AB^1,

2

：.CN=BC+BN=3,

22=

在Rt^ovc中，oc=VON-K：NVw.

•0-CP的最小值=CP=0C-OP'=V10一血，

故答案为：A/YQ-\j~2.

Q

图3

6.(1)证明：•・•必是△/?8c的外角N/7?C的平分线,

：.2FDE=4CDE,

•：NADB=NACB=/FDE,NABC=4CDE,

・•・4ABC=4ACB,

.\AB=AC]

(2)解：・・•/，绻=90°,

:・NDCE=/BAD=9G,

，/a/CDE=NABA/ADB=9N,

,:NADB=/FDE=4CDE,

：.NABD=NE,

•..sjn£=E,

5_

：.s\n^ABD^—=^-,

BD5

FX4,

8Z?=4

7.(1)证明：如图1,连接8£

,•任是△48。的内心，

：・NABE=NCBE,ZBAD=ZCAD,

'：4DBC=4CAD.

：./DBC=NBAD,

Y4BED=/BAA/ABE、

/.NDBE=4DEB,

；.BD=E。

图1图2

(2)如图2所示；连接08.

.・・力。是直径，AD平令乙BAC,

：.AD-LBC,ABF=FC=6、

•••ZBAC=ZB0D,sinZBAC=1-.BF=6,

5

・・・。8=10.

在RtZ\80尸中，BF=6,08=10,

OF=7OB2-BF2=8）

：.DF=2,

在RtZ\8〃尸中，B户+Df?=B©、

"1-BD=2^/10»

DE=2^/10»

OE=10-2V10.

8.证明：（1）连接办，

,「40为圆a的直径，

贝I]400=90°.

•.YC为。。的弦，做为弦心距，

.'.AD=DC.

(2)证明：••・。为4c的中点，0,为4。的中点,

：.0,D//0C.

又DELOC,

:.DE、0\D

..•〃£与。4相切.

(3)如果如=用,又。为4c的中点，

：.DE//0.0,又苗。〃酝

四边形4⑻为平行四边形.

又NDEgqy,OgO、D,

..•四边形a的为正方形.

9.解：(1)证明：

：.AE=EC=^AC,N因=90。，

•••48为。。的直径，

...N4第=90°,

■：tanABAC=—=—,

AC2

：.BC=^AC,

:・AE=BC,

:朋是。。的切线，

：.DA2.AB,

：.ADAO=AACB=9Q°,

ZDAE^rZCAB^ZABOZCAB^90°,

^DAE=/ABC,

在△心£和△48C中，

rZDEA=ZACB=90°

"AE=BC,

ZDAE=ZABC

:ZAEml\ABCqASQ,

.'.AD=AB\

(2)在RtZ\48C中，N840=30°,BC=1,

•.48=2,

•；NABC=NAFC=6G°,

.・.四边形4?纺为菱形，

AC=FC=^^3,

.•.△/FC是等边三角形，

:.NDFC=^4AFC=30。,

：.CE=—FC=^-,

22

:.EF=MCE嗅

:.DF=2EF=3.

10.S：(1)证明：如图1,连接延

图1

.28是。。的直径，

：.4AEB=9N,

:・NEA济4B=90°,

'：OA=OE,

，/OAE=/AEO,

・•・N决N4&2=90°,

•：4PEA=NB、

，NPE9NAE0=9G,

：.ZPEO=90°,

又,・・如为半径，

・.・比是。。的切线；

(2)如图2,连接0D,

.・.，为会的中点，

：.OD\AC、设垂足为肌

：・NAMO=90°,

'：DEA.AB,

：.ZAFD=90°,

ZAOD^ZOAM=ZOAM^zAGF=90°,

・•・4A0D=4AGF,

•：NAEB=/EFB=9G,

/B=4AEF、

•：4PEA=2B、

/.4PEF=2NB、

'：DELAB.

・•・AE=AD，

「・4A0D=2NB,

NPEF=NAOD=/AGF、

：.HE=HG}

：.Z.P=Z.ODF,

OF5

.'.tanZP=tanNODF=-----=-----,

DF12

设,0F=5x,则如'=12x,

22

・•.OD=7OF+DF=13x，

/.BF=0R-08=5^3x=18x,AF=OA-0Q=13x-5x=8x,

■:DE工OA、

:・EF=DF='2x、

AE=VAF2+EF2=4VEF2+BF2=6A/13^

•；NPEA=NB、4EPA=NBPE,

:、XPEAsXPBE、

.PA_AE_Wl3_2

一市五对运至，

■：/44PEF=NFA//AGF=qG,

:・/PEF=/AGF、

/.4P=/FAG、

又•：NFAG=NPAH,

.\ZP=ZPAH,

:,PH=AH,

过点〃作以在功于点(

:・PK=AK,

■.■—PK=—1.

PE3

5

tanNP=-----,

12

设HK=3a,PK=12a,

:,PH=13a,

：.AH=\3a,PE=36a,

：,HE=HG=36a-13a=23^,

：,AG=GH-AH=23a-13^=10a,

.AH_13a_13

,■AG=10a=IO'

11.解：(1)如图1,连接。4

图1

•：AB=AC,

••AB=AC»4ACB=/B,

.\OAA-BC,

VCA=CF、

・•・NCAF=ZCFA,

'：CD"AB,

/.4BCD=

・•・4ACB=/BCD,

/.4ACD=NCAXNCFA=2/CAF、

4ACB=NBCD,

4ACD=24ACB,

:•乙CAF=4ACB,

：,AF//BC,

：.OA±AF,

，力尸为。0的切线；

(2)Y/BAD=/BCD=/ACB、NB=4B,

:、XABEsXCBA、

.AB_BE

**BC=AB1

:.A6=BSBE=BE(阳明=BE+BE・CE、

・・.A序一B^=BE・EC；

(3)由(2)知：A戌=BSBE,

'：BSBE=64,

.'.AB=8,

如图2,连接4G,

图2

:•』BAG=/BAM乙DAG,ZBGA=NGAC+NACB,

;点G为内心，

/.NDAG=NGAC、

又■：NBA步ZDAG=NGA3/ACB,4BAD=/ACB,

4BAG=4BGA,

••BG=AB=8.

12.(1)证明：如图1中，连接42设N8&?=3Q,4ACD=Q.

图1

^BEC=BAO^ACD,

:.NBAC=2a,

•••缈是直径，

ZDAC=9Q°,

NP=90°-a,

J.N8=NP=90°-a,

•.•N/C8=180°-NA4C-N48al80°-2a-(90°-a)=90°-a.

NABC=NACB,

•\AB=AC.

(2)证明：如图2中，连接4。，在切上取一点Z,使得纥=劭.

•BD=CF.

:.DB=CF、

•：NDBA=NDCA,CZ=BD、AB=AC,

:、MAD哙XAZCQSAS),

：.AD=AZ,

,：AG工DZ、

：.DG=GZ,

/.CG=CZ+GZ=BMDG=CRDG.

(3)解：连接4?,PA,作断，4C于4ORLPC于R、CT,所交所的延长线于匚

：・/ACP=9G,

・・・功是直径，

VORLPC,OKLAC、

：.PR=RC、ZORC=ZOKC=ZACP=90°,

・•・四边形ar。?是矩形，

：.RC=OK,

•：OH：PC=1：&,

・••可以假设O勺PC=2a,

:・PR=RG=a、

:・RG=0K=a、sinN%=普-=返，

V2a2

：・40HK=45。,

'：OHLDH.

AZDH0=9Q0,

・・・NZ?/〃=180°-90°-45°=45°,

二口是直径,

AZDAC=90°,

：.ZADH=90°-45°=45°,

/.NDHA=NADH,

.\AD=AH,

•：NCOP=/AOD,

：,AD=PC,

.\AH=AD=PC=2a,

，AK=A"HK=2/a=3a,

22=

在Rt"OK中，tan/*=*=[■,OA=7AK+OKVa2+(3a)2=Vl0'

AllO

.,.sinZCM/r=—

AO10

•：/AD讣/DAG=9G0,N4?ZWN47G=90°,

/DAG=ZACD,

・：AO=CO,

OAK=NACO、

，DAG=/ACO=/OAK、

.'.tanZ>4CZ?=tanZZZ4^=tanNOAK=—,

3

・•・AG=3DG,CG=3AG,

：.CG=9DG,

由（2）可知，CG=DG^CF、

:・D*\2=9DG,

33Q

：.DG=—,AG=3DG=3X—=—,

222

AD22=2-3>/10

•''^VDG+AGJ/2+7)

2

・•・i耍

sinNF=sinNOAK、

.c!n/r--CT_V7O

FC10_

CT=HXFC=义匝X12=色叵，F「222

=VFC-CT=^12-(-^S)2=

10105

厘零)2-(中)2二噜,

JVZD

.18V10_971027V10

51010

13.解：(1)・・,4C与。。相切于点Q

：.ZACO=90°.

•:BD"AC、

：.ZBEO=ZACO=90°,

.1.DE=EB=—BD=^®=2JQ(cni)

22

'：ZZJ=3O°,

：.4O=2ND=60°,

在RtZ\8&?中，sin60°=—,返=马巨.

OB2OB

.".OB—5,即。。的半径长为5cm.

(2)由(1)可知，N260°,/BEO=9Q°,

：.2EBO=4X30°.

在丛CDE与丛OBE中,

'/D=NEBO

<ZCED=ZO