微积分第五版

微积分第五版2024-01-24绪论极限与连续导数与微分积分学微分中值定理与导数的应用重积分与曲线积分无穷级数目录01绪论古代微积分思想的萌芽01早在古希腊时期，阿基米德等人就通过“穷竭法”等思想方法研究了面积和体积问题，为微积分的产生奠定了基础。17世纪微积分的创立0217世纪，牛顿和莱布尼茨在前人工作的基础上，分别独立地创立了微积分学，为近代数学的发展开辟了新纪元。18-19世纪微积分的发展03这一时期，数学家们对微积分的理论基础进行了深入研究，如柯西、魏尔斯特拉斯等人对极限理论的完善，使得微积分学更加严密。微积分的历史与发展研究对象微积分主要研究变量之间的依赖关系，即函数关系，包括一元函数和多元函数。基本问题微积分的基本问题包括微分学和积分学两大部分。微分学主要研究函数的变化率及相关性质，如导数、微分等；积分学则研究函数的原函数及相关性质，如不定积分、定积分等。微积分的研究对象与基本问题学习微积分需要掌握基本概念、基本理论和基本方法，通过大量的练习和实际问题的解决来加深对知识的理解和掌握。学习方法微积分作为数学的一个重要分支，在自然科学、工程技术、社会科学等领域都有广泛的应用。学习微积分不仅可以提高数学素养和解决问题的能力，还可以为其他专业课程的学习和研究打下坚实的基础。学习意义微积分的学习方法与意义02极限与连续设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$（无论它多么小），总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$xtox_0$时的极限。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、与子列的关系等。极限的性质极限的概念与性质无穷小量的定义如果函数$f(x)$当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷小量。无穷大量的定义如果对于任意给定的正数$M$，总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)|>M$，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$时的无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大量，且$limfrac{1}{f(x)}=0$，则$frac{1}{f(x)}$为无穷小量；反之亦然。无穷小量与无穷大量极限的四则运算法则若两个函数在某点的极限存在，则它们的和、差、积、商在该点的极限也存在，且等于这两个函数在该点极限的和、差、积、商。复合函数的极限运算法则若$limg(x)=u_0,limf(u)=A$,且存在$delta_0>0$,当$xinU^{circ}(x_0,delta_0)$时,有$g(x)inU^{circ}(u_0,eta_0)$,则$limf[g(x)]=limf(u)=A$.极限的运算法则连续函数的概念与性质连续函数的定义设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，那么称函数在点$x_0$处连续。连续函数的性质局部有界性、局部保号性、运算性质（和、差、积、商的连续性）、复合函数的连续性、反函数的连续性等。03导数与微分VS导数描述了函数值随自变量变化的快慢程度，即函数在某一点处的切线斜率。导数的几何意义导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，反映了函数图像在该点的局部变化趋势。导数的定义导数的概念与几何意义包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。基本初等函数的导数公式包括和差、积、商的导数计算法则，以及复合函数的链式法则。四则运算的导数法则反函数的导数是原函数导数的倒数，即若y=f(x)在某区间内可导且f'(x)≠0，则其反函数x=g(y)在对应区间内也可导，且g'(y)=1/f'(x)。反函数的导数法则导数的计算法则高阶导数函数的高阶导数是指对其自变量进行多次求导得到的导数，例如二阶导数、三阶导数等。高阶导数的定义高阶导数的计算可以通过连续应用一阶导数的计算法则得到，也可以使用高阶导数的公式进行直接计算。高阶导数的计算微分是函数在某一点处的局部变化量的线性近似，即函数的微小增量与自变量的微小增量的比值在自变量增量趋于零时的极限。微分在实际问题中有着广泛的应用，例如求解最值问题、判断函数的单调性、描绘函数的图像等。同时，微分也是研究函数性质的重要工具之一。微分的定义微分的应用微分及其应用04积分学不定积分的性质不定积分具有线性性、可加性和常数倍性等基本性质。原函数与反导数的关系原函数与反导数之间存在一一对应的关系，通过不定积分可以求得一个函数的原函数或反导数。不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，表示了函数图像与x轴围成的面积。不定积分的概念与性质基本积分公式包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的积分公式。换元积分法通过变量代换将复杂的不定积分转化为简单的不定积分进行计算。分部积分法将不定积分分解为两个函数的乘积的积分，通过逐步求导和积分进行计算。不定积分的计算法则030201定积分的性质定积分具有可加性、保号性、绝对值不等式和估值定理等基本性质。微积分基本定理建立了不定积分与定积分之间的联系，为定积分的计算提供了有效的方法。定积分的定义定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表示了函数图像与x轴围成的面积。定积分的概念与性质03定积分的应用包括计算面积、体积、弧长、旋转体体积等几何应用，以及求解物理、工程等领域中的实际问题。01牛顿-莱布尼兹公式通过求解被积函数的原函数在区间端点的函数值之差来计算定积分。02定积分的换元法与分部积分法类似于不定积分的换元法与分部积分法，可以应用于定积分的计算中。定积分的计算与应用05微分中值定理与导数的应用柯西中值定理两个连续且可导的函数在闭区间上至少存在一点使得它们的导数之比等于它们在区间两端点函数值之比。费马引理可导的极值点导数为零。罗尔定理连续函数在闭区间上存在一点使得函数在该点的导数为零。拉格朗日中值定理连续且可导的函数在闭区间上至少存在一点使得函数在该点的导数等于函数在该区间两端点函数值之差与区间长度的商。微分中值定理在一定条件下，通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值。洛必达法则用多项式逼近一个函数的方法，可将一个函数表示为无穷级数。泰勒公式泰勒公式在零点处的展开式，是幂级数的一种。麦克劳林级数洛必达法则与泰勒公式单调性函数在某区间内单调增加或单调减少的性质。极值函数在某点处的函数值比其附近点的函数值都大（或小）的性质，分为极大值和极小值。驻点与拐点驻点是函数的一阶导数为零的点，拐点是函数的二阶导数为零的点。函数的单调性与极值曲线在某区间内向上凸或向下凹的性质。凹凸性曲线凹凸性发生改变的点，即二阶导数变号的点。拐点描述曲线弯曲程度的量，曲率半径是曲率的倒数，表示曲线在某点处的弯曲程度。曲率与曲率半径曲线的凹凸性与拐点06重积分与曲线积分二重积分的定义在平面区域上，对二元函数进行积分，得到的结果称为二重积分。二重积分的几何意义表示以二元函数为顶面、平面区域为底面的曲顶柱体的体积。二重积分的性质包括线性性、可加性、保号性、绝对可积性等。二重积分的概念与性质二重积分的计算方法化为累次积分进行计算，包括直角坐标和极坐标两种形式。要点一要点二二重积分的应用在物理学、工程学等领域中，用于计算面积、体积、质量、重心等。二重积分的计算与应用三重积分的定义在空间区域上，对三元函数进行积分，得到的结果称为三重积分。三重积分的应用在物理学、工程学等领域中，用于计算体积、质量、重心等。三重积分的计算方法化为累次积分进行计算，包括直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种形式。三重积分的概念与计算曲线积分的定义在平面或空间曲线上，对二元或三元函数进行积分，得到的结果称为曲线积分。曲线积分的计算方法通过参数方程或弧长参数化进行计算。曲线积分的应用在物理学、工程学等领域中，用于计算质点沿曲线运动时的位移、速度、加速度等。曲线积分的概念与计算07无穷级数无穷序列的和称为无穷级数，记作$sum_{n=1}^{infty}u_n$。级数的定义前n项和$S_n=sum_{k=1}^{n}u_k$称为级数的部分和。级数的部分和如果部分和数列${S_n}$有极限，则称级数收敛，否则称级数发散。级数的收敛与发散包括线性性质、结合律、分配律等。级数的性质常数项级数的概念与性质比较审敛法利用级数通项的比值来判断级数的敛散性。比值审敛法根值审敛法积分审敛法01020403将正项级数与某个函数的积分进行比较，从而判断其敛散性。通过比较两个正项级数的通项，判断其敛散性。利用级数通项的n次方根来判断级数的敛散性。正项级数的审敛法交错级数审敛法对于交错级数，可以利用莱布尼兹定理判断其敛散性。绝对收敛与条件收敛如果级数$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$收敛，则称原级数绝对收敛；如果原级数收敛但$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$发散，则称原级数条件收敛。阿贝尔定理与狄利克雷定理对于某些特定类型的级数，可以利用阿贝尔定理或狄利克雷定理判断其敛散性。任意项级数的审敛法函数项级数的概念形如$sum_{n=1}^{infty}u_n(x)$的级数，其中$u_n(x)$是定义在某个区间上的函数，称为函数项级数。一致收敛性如果对于