(1.14)-5.7 格型网络结构数字信号处理

5.7格型网络结构5.7.1全零点格型网络结构

1.全零点格型网络的系统函数全零点格型网络结构的流图如图5.7.1所示。该流图只有直通通路，没有反馈回路，因此可称为FIR格型网络结构。观察该图，它可以看成是由图5.7.2的基本单元级联而成。

图5.7.1全零点格型网络结构图5.7.2基本单元将上式进行Z变换，得到按照图5.7.2写出差分方程如下：(5.7.1)(5.7.2)(5.7.3)(5.7.4)再将上式写成矩阵形式

(5.7.5)将N个基本单元级联后，得到:(5.7.6)令Y(z)=EN(z)，X(z)=E0(z)=R0(z),其输出为

由上式得到全零点格型网络的系统函数为只要知道格型网络的系数kl，l=1,2,3,…,N,由上式可以直接求出FIR格型网络的系统函数。（5.7.7)（5.7.8)

2.由FIR直接型网络结构转换成全零点格型网络结构假设N阶FIR型网络结构的系统函数为

(5.7.9)式中,h(0)=1;h(n)是FIR网络的单位脉冲响应。令ak=h(k)，得到:

(5.7.10)式中，a0=h(0)=1;kl为全零点格型网络的系数,

l=1,2,…,N。

下面仅给出转换公式，推导过程请参考文献[19]：

(5.7.11)

式中,l=N,N－1,…,1。

(5.7.12)

(5.7.13)

解释公式中的下标k(或l)表示第k(或l)个系数，这里FIR结构和格型结构均各有N个系数;(5.7.13)式是一个递推公式，上标(带圆括弧)表示递推序号，从(N)开始，然后是N-1,N-2,…,2；注意(5.7.12)式

，当递推到上标圆括弧中的数字与下标相同时，格型结构的系数kl刚好与FIR的系数相等。下面举例说明。

【例5.7.1】将下面三阶FIR系统函数Ｈ3(z)转换成格型网络，要求画出该FIR直接型结构和相应的格型网络结构流图。

解例题中N=3,按照(5.7.11)式，有

由(5.7.12)式，得到:

按照(5.7.13)式，递推得到:

l=3,k=1时,

l=3,k=2时,

l=2,k=1时,

最后按照算出的格型结构的系数，画出三阶FIR直接型结构和三级格型网络结构流图如图5.7.3所示。图5.7.3例5.7.1图略去由全零点格型网络结构转换到FIR直接型网络结构的公式，如需要了解该内容，请参考文献[19]。实际上，调用MATLAB函数实现直接型网络结构与格型网络结构之间的相互转换非常容易。tf2latc实现直接型到格型结构变换，latc2tf实现格型到直接结型结构变换。

K=tf2latc(hn):求FIR格型结构的系数向量K=[k1,k2,…,kN],hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，并关于hn(1)=h(0)归一化。应当注意，当FIR系统函数在单位圆上有零极点时，可能发生转换错误。

hn=latc2tf(K)将FIR格型结构转换为FIR直接型结构。K为FIR格型结构的系数向量K，hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，即FIR直接型结构系数向量。显然，该函数可以用于求格型结构的系统函数的系数。例5.7.1的求解程序如下：

hn=[1,-0.9,0.64,-0.576];

K=tf2latc(hn)运行结果：

K=[-0.67280.1820-0.5760]

与上面的递推结果相同。5.7.2全极点格型网络结构全极点IIR系统的系统函数用下式表示:

(5.7.14)

(5.7.15)

式中,A(z)是FIR系统，因此全极点IIR系统H(z)是FIR系统A(z)的逆系统。下面先介绍如何将H(z)变成A(z)。假设系统的输入和输出分别用x(n)、y(n)表示，由(5.7.14)式得到全极点IIR滤波器的差分方程为如果将x(n)、y(n)的作用相互交换，差分方程则变成下式:

(5.7.17)

观察上式，它描述的是具有系统函数H(z)=A(z)的FIR系统，而(5.7.16)式描述的是H(z)=1/A(z)的IIR系统。按照(5.7.16)式描述的全极点直接型结构如图5.7.4所示。(5.7.16)则图5.7.4全极点IIR系统的直接型结构基于上面的事实，我们将FIR格型结构通过交换公式中的输入输出作用，形成它的逆系统，即全极点格型IIR系统。重新定义输入输出

再将FIR格型结构的基本公式(5.7.1)、(5.7.2)重写如下：（5.7.18）（5.7.19）defdef由于重新定义了输入输出，将el(n)按降序运算，rl(n)不变，即

（5.7.20）（5.7.21）（5.7.22）（5.7.23）按照上面四个方程画出它的结构如图5.7.5所示。为了说明这是一个全极点IIR系统，令N=1,得到方程为（5.7.24）（5.7.25)（5.7.26）（5.7.27）图5.7.5全极点IIR格型结构当x(n)和y(n)分别作为输入和输出时，（5.7.27）式就是一个全极点的差分方程，由（5.7.24）～（5.7.27）式描述的结构就是一阶的单极点格型网络，如图5.7.6(a)所示。如果N＝2，可得到下面方程组:（5.7.28）（5.7.29）（5.7.30）（5.7.31)（5.7.32)（5.7.33）图5.7.6单极点和双极点IIR格型网络结构（5.7.35）经过化简，得到:（5.7.34）显然,（5.7.37）式差分方程表示的就是双极点IIR系统。按照上面两式构成的双极点IIR格型结构如图5.7.6（b）所示。由上面分析知道,全极点网络可以由全零点格型网络形成，这是一个求逆的问题。对比全零点格型结构和全极点结构，可以归纳出下面的一般求逆准则：（1）将输入到输出的无延时通路全部反向，并将该通路的常数支路增益变成原常数的倒数（此处为1）；（2）将指向这条新通路的各节点的其它节点的支路增益乘以－1；（3）将输入输出交换位置。调用MATLAB转换函数可以实现全极点系统的直接型和格型结构之间的转换。

K=tf2latc(1,A):求IIR全极点系统格型结构的系数向量K，A为(5.7.14)式给出的IIR全极点系统函数的分母多项式A（z）的系数向量。具有零点和极点的IIR格型网络称为格梯型网络结构，这部分内容请参考文献[19]。

[K,V]

=tf2latc(B,A):求具有零点和极点的IIR格型网络系数向量K，及其梯型网络系数向量V。应当注意，当IIR系统函数在单位圆上有极点时，可能发生转换错误。

[B，A]

=latc2tf(K,′allpole′):将IIR全极点系统格型结构转换为直接型结构。K为IIR全极点系统格型结构的系数向量，A为IIR全极点系统系数函数的分母多项式A(z)的系数向量。显然，该函数可以用于球格型结构的系统函数，这时分子为常数1，所以B=1。

[B，A]

=latc2tf(K,V)：将具有零点和极点的IIR格梯型网络结构转换为直接型结构。例如：

则求IIR全极点系统格型结构系数向量K的程序为

A=[1,13/24,5/8,1/3];

K=tf2latc(1,A)运行结果：

K=[0.25000.50000.3333]对上面所求格型结构的系数向量K，调用latc2tf求其对应的格型结构的系统函数的程序如下：

K=[0.2500，0.5000，0.3333]；

[B,A]=latc2tf(K,′allpole′)运行结果：

B=[

1000]

A=[1.00000.54170.62500.3333]对应的系统函数为下面再推导全极点网络结构的传输函数，将(5.4.25)式进行Z变换，得到:（5.7.36）