2024-2025年全国卷2理科数学试题及答案

2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷21.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清晰，将条形码精确粘贴在条形码区域2.选择题必需运用2B铅笔填涂；非选择题必需运用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰3.请依据题号依次在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先运用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准运用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A.1+2iB.1-2iC.2+iA.{1,-3}B.{1,0}3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90πB.63π5.设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.16.支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有()7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成果.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成果，给乙看丙的成果，给丁看甲的成果.看后甲对大家说：我还是不知道我的成果.依据以上信息，则()A.乙可以知道四人的成果B.丁可以知道四人的成果C.乙、丁可以知道对方的成果D.乙、丁可以知道自己的成果8.执行右面的程序框图，假如输入的a=-1,则输出的S=()A.2是S=S+o-K所截得的弦长为2,则C的离心率为()K=K+1A.2B.√3线AB,与BC,所成角的余弦值为()小值是()二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=14.函数的最大值是每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)(1)求cosB,所对的边分别为a,b,c,的面积为2,求b.18.(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；旧养殖法k19.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,(1)证明：直线CE//平面PAB(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角20.(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C:过M做x轴的垂线，垂足(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且OP·PQ=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F,21.(12分)(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，按所做的第一22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)线C₁的极坐标方程为pcosθ=4.(1)M为曲线C₁上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16,求点P的,点B在曲线C₂上，求△OAB面积23.[选修4-5:不等式选讲](10分)(2)a+b≤2.2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学参考答案17.(12分)解：故上式两边平方，整理得17cos²B-32cosB+15=0(2)由(2)由,故b²=a²+c²-2accosB=(a+c)²-2ac(18.(12分)于50kg”.故P(B)的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为故P(C)的估计值为0.66因此，事务A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092(2)依据箱产量的频率分布直方图得列联表旧养殖法由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为箱产量低于55kg的直方图面积为故新养殖法箱产量的中位数的估计值为19.(12分)所以EF//AD,一一又BFC平面PAB,CE平面PAB,故CE//平面PAB(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，则建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(,0,0),C(1,1,0),P(0,1,因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以又M在棱PC上，设PM=λPC,则;①②由①,②解得(舍去),所以1即20.(12分)(1)设P(x,y),M(x₀,y₀),则N(x₉,O),NP=(x-xj,y),MM=(0,ys)(2)由题意知F(-1,0)又由(1)知m²+n²=2,故21.(12分)(2)由(1)知f(x)=x²-x-xlnx,f'(x)=2x-2-Inxf(x₀)>f(e¹)=e-²,(二)选考题：于是△OAB面积2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(1)(a+b)(a⁵+b⁵)=a⁶+ab(2)因为(a+b)³=α³+3a²b+3ab²+b所以(a+b)³≤8,因此a+b≤2.2024年全国卷2理科数学试题及答案解析2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清晰，将条形码精确粘贴在条形码区域2.选择题必需运用2B铅笔填涂；非选择题必需运用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰3.请依据题号依次在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先运用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准运用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是(3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2)且(a+b)⊥b,则m=2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(5)如图，小明从街道的E处动身，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参与志愿者活动，则小明到老年公寓可(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(7)若将函数y=2sin(7)若将函数y=2sin2024年全国卷2理科数学试题及答案解析起k>n查数对(x;,y₁),(x₂,y₂)…(x₁,y,),其中两数的平方和小于1的数对共有结(12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数与y=f(x则2024年全国卷2理科数学试题及答案解析第Ⅱ卷,2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(17)(本小题满分12分)(18)(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元),接着购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如数01234a01234(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(19)(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上，,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位(Ⅱ)求二面角B-D'A-C的正弦值.(20)(本小题满分12分)已知A是椭圆E:的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于(21)(本小题满分12分)(I)探对函数的单调性，并证明当x>0时，Ⅱ)证明：当a∈(0,1)时，函)有最小值。设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.2024年全国卷2理科数学试题及答案解析请考生在第(22)～(24)题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点，求四边形BCG(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(Ⅱ)直线l的参数方程是·(t为参数),l与C交于A,B两(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲,M为不等式f(x)<2的解集2024年全国卷2理科数学试题及答案解析三.解答题(14)②③④(15)1和3(17)(本题满分12分)b=[lg1]=0,b₁=[lg11]}=1,bo₁=[lg101]=2.(18)(本题满分12分)当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.XaPEX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+(19)(本小题满分12分)2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(I)由已知得AC⊥BD,AD=CD,又由AE=CF得故AC//EF.DO=BO=√AB²-AO²=4.于是OH=1,DH+OH²=3²+1²=10=DO²,故DH⊥OH.又DH⊥EF,而OH∩EF=H,所以DH⊥平面ABCD.(II)如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系H-xyz,则H(0,0,0),A(-3,-2,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),,,,所以2024年全国卷2理科数学试题及答案解析,,(20)(本小题满分12分)得得得由题设，直线AN的方程为,故同理可很..1>3等价于.因此k的取值范围是(V2,2).(21)(本小题满分12分)(I)f(x)的定义域为(-o,-2)U(-2,+x)2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(22)(本小题满分10分)(1)因为DF⊥EC,所以△DEF~△CDF,2024年全国卷2理科数学试题及答案解析由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF=GC,故Rt△BCG～Rt△BFG,因此四边形BCGF的面积S是△GCB面积SAccB的2倍，即(23)(本小题满分10分)(II)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=a(p∈R)p²+12pcosa+11=0.(24)(本小题满分10分)三种状况解不等式，即可得(1)先去掉肯定值，再分三种状况解不等式，即可得和2024年全国卷2理科数学试题及答案解析试题解析：(1)当所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(II)由(1)知，当a,b∈M时，-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)²-(1+ab)²=a²+b²-a²b²-2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()(3)依据下面给出的2024年至2024年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。以下结论不正确的是(2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(C)2024年以来我国二氧化硫年排放量呈削减趋势(D)2024年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(A)21(B)42(5)设函(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则(C)4√6(D)10输入a,b分别为14,18,则输出的(9)已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为a=a-bB=b-a结束该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,A.36πB.64πC.144π10.如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,点P沿着边BC,CD与DA运动，记∠BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为(11)已知A,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为则使得f(x)>0成立的x的取值范围是A.(-o,-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+o)(14)若x,y满足约束条!,则z=x+y的最大值为(15)(a+x)(1+x)*的绽开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=三.解答题(Ⅱ)若AD=1,求BD和AC的长.(18)某公司为了解用户对其产品的满足度，从A,B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满足度评分如下：A地区：627381929585746453762024年全国卷2理科数学试题及答案解析(I)依据两组数据完成两地区用户满足度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满足度评分的平均值及分散程度(不要求计算出详细值，得出结论即可);(Ⅱ)依据用户满足度评分，将用户的满足度从低到高分为三个不等级：记时间C:“A地区用户的满足度等级高于B地区用户的满足度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。依据所给数据，以事务发生的频率作为相应事务发生的概率，求C的概率19.(本小题满分12分)8,点E,F分别在A₁B₁,D₁C₁上，A₁E=D₁F=4,过点E,F的平(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成的角的正弦值。20.(本小题满分12分)个交点A,B,线段AB的中点为M。(1)证明：直线OM的斜率与1的斜率的乘积为定值；(2)若1过点延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?2024年全国卷2理科数学试题及答案解析21.(本小题满分12分)(1)证明：f(x)在(-o,0)单调递减，在(0,+o)单调递增；(2)若对于随意x,x₂∈[-1,1],都有|f(x₁)-f(x₂)≤e-1,求m的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点，与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点。(2)若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积。23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线Ci:24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d,证明：一.选择题二.填空题2024年全国卷2理科数学参考答案(17)解：由正弦定理可得在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB²=AD²+BD²-2AD.BDcos∠ADB,AC²=AD²+DC²-2AD.DCcos∠ADC故AB²+2AC²=3AD²+BD²+2DC²=6(18)解：(I)两地区用户满足度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满足度评分的平均值高于B地区用户满足度评分的2024年全国卷2理科数学试题及答案解析平均值；A地区用户满足度评分比较集中，B地区用户满足度评分比较分散。(19)解：(I)交线围成的正方形EHGF如图：因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,-6,8)设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，则所以可取n=(0,4,3)(20)解：,所以直线OM的斜率与1的斜率的乘积为定值(Ⅱ)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是设点P的横坐标为xp将点四变现OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP相互平分，即xp=2x2024年全国卷2理科数学试题及答案解析即①2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(22)解：又因为○0分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF从而EF//BC(Ⅱ)由(I)知，AE=AF,AD⊥EF,由AG等于OO的半径得AO=2OE,故AD是EF的垂直平分所以∠OAE=30,因,所以OD=1,于是(23)解：解得或2024年全国卷2理科数学试题及答案解析时，|AB|取得最大值，最大值为4(24)解：因为a+b=c+d,所以ab>cd因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a-b)²=(a+b)²-4ab<(c+d)2024年全国卷2理科数学试题及答案解析2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生务必将自己的姓名、3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A.{1}B,{2}C.{0,1}D.{1,2}0.75,连续两天为优良的概率是0.6,(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削A.(7)执行右面的程序框图，假如输入的x,t均为2,(6)题图否▼2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(10)设F为抛物线C:y²=3xA.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。(17)(本小题满分12分)2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA上平面ABCD,E为PD的中点。(19)(本小题满分12分)某地区2024年至2024年农村居民家庭人均纯y(单位：千克)的数据如下表：年份代号t1234567(1)求y关于t的线性回来方程。(II)利用(1)中的回方程，分析2024年至2024年该地区农村居民家庭人均纯收入的改变状况，并预料该地区2024年农村居民家庭人均纯收入。(19)(本小题满分12分)设F₁,F₂分别是椭圆C:的左，右焦点，M是C上一点且MF₂与x轴垂直，直线MF₁与C的另一个焦点交为N。(21)(本小题满分12分)2024年全国卷2理科数学试题及答案解析请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一(22)(本小题满分10分)的延长线交⊙0于点E。证明：(23)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正关轴为(24)(本小题满分10分)(1)证明f(x)≥2.1.解析D把M={0,1,2}中的数，代入不等式x2-3x+2≤0,经检验x=1,2满足。所以选D.2.解析A3.解析A 联立方程解得ab=1,故选A.2024年全国卷2理科数学试题及答案解析4.解析B设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率p,∵加工前的零件半径为，高6,∴体积=9π·6=54π.∵加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2,高4,右半部为大圆柱，半径为3,高为2.x=2,t=2,变量变化情况如下：2024年全国卷2理科数学试题及答案解析。∵。∵+n=6.+n=6.,解得则则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0)∴BM=(-1,1,-2),AN=(0,-1,=sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sin=sin(x+φ)·cosφ-cos(x=sinx≤1.∴最大值为1.2024年全国卷2理科数学试题及答案解析15.解析2024年全国卷2理科数学试题及答案解析*属*属即为三棱锥E-ACD的高..所以，三棱锥E-ACD的体积.设回归方程为y=bt+a,代入公式，经计算得∴:2007年至2013年该区人均纯收入稳增长，预计到2015年，该区人均纯收入y=0.5·9+2.3=6.8(千元)所以，预计到2015年，该区人均纯收入绝千8百元左右。∵由题知EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(·),:)且a²=b²+c².联立整理得2e²+3e-2=0,g(x)=f(2x)-4bf(x)=e²*-e²*-4x-4b(e⁴-e⁴-2x)>0,x>0.令h(x)=e²*-e²*-4x-4b(e⁴-e*-2x),x>0,h(x)=2e²+2e²*-4-4b(e⁵+e*-2),∴3x∈(0,m),m>0,使h(x)≥0.即e²*+e²-2-2b(e²+e*-m(x)=2e²-2e²-2b(e²-e*),∴3x∈(0,t),t>0,使m(x)≥0.即e⁴+e⁴≥b,即e²+e²>2√e·e²=2≥b,所以的最大值为22024年全国卷2理科数学试题及答案解析∵PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD,△PAD为等腰三角形。由切割线定理得：PA²=PB●PC,由相交弦定理得：AD●DC=BD●DC.AD·DC=2PB²2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2024课标全国Ⅱ,理1)已知集合M={x|(x-1)²<4,x∈R),N={一1,0,1,2,3},则MNN=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C2.(2024课标全国Ⅱ,理2)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=().A.-1+iB.-1-IC.1+i3.(2024课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a}的前n项和为S.已知S=a+10a,4.(2024课标全国Ⅱ,理4)已知m,n为异面直线，m⊥平面a,n⊥平面β.直线1满足l⊥m,l⊥n,←a,←β,则().A.a//β且l//aBC.a与β相交，且交线垂直于1D.a与β相交，且交线平行于15.(2024课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax)(1+x)的绽开式中x的系数为rf7rf76.(2024课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图，假如输入的N=10,那么输出的S=().t>N是t>N是7.(2024课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为().2024年全国卷2理科数学试题及答案解析8.(2024课标全国Ⅱ,理8)设a=log,6,b=log;10,c=log,14,则().A.c>b>aB.b>c>a9.(2024课标全国Ⅱ,理9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=().10.(2024课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x²+ax²+bx+c,下列结论中错误的是().B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的微小值点，则f(x)在区间(一～,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=011.(2024课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上，|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为().A.y2=4x或y2=8x12.(2024课标全国Ⅱ,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是().第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答。第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.(2024课标全国Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中14.(2024课标全国Ⅱ,理14)从n个正整数1,2,…,n中随意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为则n=2024年全国卷2理科数学试题及答案解析15.(2024课标全国Ⅱ,理15)设θ为其次象限角，若则16.(2024课标全国Ⅱ,理16)等差数列{a}的前n项和为S,已知S₀=0,S₅=25,则nS的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(2024课标全国Ⅱ,理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.18.(2024课标全国Ⅱ,理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-ABC(2)求二面角D-A₁C-E的正弦值.19.(2024课标全国Ⅱ,理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数；(2)依据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈(100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入(100,110)的频率),求T的数学期望.20.(2024课标全国Ⅱ,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:最大值.2024年全国卷2理科数学试题及答案解析21.(2024课标全国Ⅱ,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=e²-1n(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并探讨f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.(2024课标全国Ⅱ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比23.(2024课标全国Ⅱ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上，对应参数分别为t=a与t=2a(0<a<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并推断M的轨迹是否过坐标原24.(2024课标全国Ⅱ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c均为正数，且a+b+c=1,证明：2024年全国卷2理科数学试题及答案解析2024年一般高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,0,1,2,3},所以M∩N={0,1,2},故选A.而a₂+10a₁=99,不又因为m,n为异面直线，所以a与β相交，且1平行于它们的交线.故选解析：因为(1+x)5的二项绽开式的通项为C;x(O≤r≤5,r∈Z),则含x的项为C}x²+ax·C;x=(10+5a)x,所以10+5a=5,a=-1.当k=3时，,2024年全国卷2理科数学试题及答案解析k增加1变为11,k增加1变为11,满足k>N,输出S,所以B正确.;因为1g7>1g5>1g3,所以作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入,所以2024年全国卷2理科数学试题及答案解析解析：∵x₀是f(x)的微小值点，则y=f(x)的图像大致如下图所示，则在(一～,x)上不单调，故C不正确.解析：设点M的坐标为(x,,yo),由抛物线的定义，得|MF|=x₀又点F的坐标所以以MF为直径的圆的方程为yo)y=0.将x=0,y=2代入得px+8-4yo=0,即所以yo=4.得解之得p=2,或p=8.本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答。第22题～第24题为选考题，考生依据要求做二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,2),点E的坐标为(1,2),则AE=(1,2),BD=(-2,2),所以AE·BD=2.解析：从1,2,…,n中任取两个不同的数共有C?种取法，两数之和为5的有2024年全国卷2理科数学试题及答案解析",",因为0为其次象限角，所以cos联立①②,得a=-3.,,令f(n)=nS,令f¹(n)=0,则,得n=0或小值，而n∈N,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时，f(n)取最小值三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解：(1)由已知及正弦定理得由①,②和C∈(0,π)得sinB=cosB,..当且仅当a=c时，等号成立.又a+c²≥2ac当且仅当a=c时，等号成立.解：(1)连结AG交AC于点F,则F为AG中点.又D是AB中点，连结DF,则BG/IDF:因为DFC平面ACD,BG广平面ACD,2024年全国卷2理科数学试题及答案解析,,,,以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C一xyZ.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A(2,0,2),CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA=(2,0,2).设n=(xi,yi,z)是平面ACD的法向量，可取n=(1,-1,-1).同理，设m是平面ACE的法向量，则可取m=(2,1,-2).即二面角D-AC-E的正弦值为解：(1)当X∈(100,130)时，T=500X-300(130-X)=800X-39000,(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为TP所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.解：(1)设A(xj,yi),B(x,y₁),P(x₁,yo),见见由此可得2024年全国卷2理科数学试题及答案解析""所以M的方程为或或由题意可设直线CD的方程为于是因为直线CD的斜率为1,当n=0时，S取得最大值，最大值为由x=0是f(x)的极值点得f(O)=0,所以m=1.在(-1,+～)单调递增，且f(0)=0.2024年全国卷2理科数学试题及答案解析所以f(x)在(一1,0)单调递减，在(0,+～)单调递增.在(-2,+～)单调递增.故f(x)=0在(-2,+～)有唯一实根xo,且xo∈(-1,0).综上，当m≤2时，f(x)>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.(2)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,而DC=DB·DA=3DB,又BC=DB·BA=2DB,所以CA=4DB+BC=6DB.故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的解：(1)依题意有P(2cosa,2sina),Q(2cos2a,2sin2a),M的轨迹的参数方程为(a为参数，0<a<2π).(2)M点到坐标原点的距离d=√x²+y²=√2+2cosa(0<a<2π).解：(1)由a+b≥2ab,b+c²≥2bc,c+a≥2ca,得a+b+c²≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)²=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,2024年全国卷2理科数学试题及答案解析2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的第一卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。的个数为()(A)3x=5,y=1,2,3,4,x=4,y=1,2,3,x=3,y=1,2,x=2,y=1(2)将2名老师，4名学生分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的支配方案共有()【解析】选A甲地由1名老师和2名学生：C!C²=12的四个命题：其中的真命题为()p:|z|=2P₂:z²=2iP₃:z的共轭复数为1+iP₄:z的虚部为-1【解析】选C2024年全国卷2理科数学试题及答案解析开始输入N,a是是B是B否a₄+a₇=2,a₃G₆=a₄Q₇=-8=a₄=4,a₇=-2或a₄=-2,a₇=4否≥输出A.B否≥输出A.B结束(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()【解析】选B(8)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²=16x的准线交于A,B2024年全国卷2理科数学试题及答案解析【解析】选C开始开始输入N,是否≥输出A,B否是2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(9)已知o>0,函数【解析】选A不合题意解除(D)合题意解除(B)(C),则y=f(x)的图像大致为()→g'(x)>0⇔-1<x<0,g'(x)<0⇔x>02024年全国卷2理科数学试题及答案解析(11)已知三棱锥S-ABCSC为球O的直径，且SC=2;【解析】选A则此棱锥的体积为()(A)1-ln2(B)√2(1-In2)【解析】选A设函第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22-第24题为选考题，考生依据要求做答。二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。2024年全国卷2理科数学试题及答案解析则z=x-2y∈[-3,3](15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正338超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为(16)数列{a,}满足a+(-1)"a,=2n-1,则{a,}的前60项和为【解析】{a,}的前60项和为1830(17)(本小题满分12分)【解析】(1)由正弦定理得：acosC+√3asinCbc=0⇔sinAcosC-√3sinAsinC=sinB+sinC⇔sinAcosC+√3sin18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝),整理得下表：日需求量以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元),求X的分布列，(ii)若花店支配一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17【解析】(1)当n≥16时，y=16×(10-5)=80(2)(i)X可取60,70,80P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=XPEX=60×0.1+70×0.2+80DX=16²×0.1+6²×0.2+4²(ii)购进17枝时，当天的利润为y=(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-1×5)×0.16+17×5×0.576.4>76得：应购进17枝(19)(本小题满分12分)(2)求二面角A₁-BD-C₁2024年全国卷2理科数学试题及答案解析【解析】(1)在Rt△DAC中，AD=AC2024年全国卷2理科数学试题及答案解析(2)由对称性设.点A,B关于点F对称得：坐标原点到m,n距离的比值为(21)(本小题满分12分)(1)求f(x)的解析式及单调区间；g'(x)=e⁴+1>0→y=g(x)在x∈R上单调递增f'(x)>0=f'(O)⇔x>0,f'(x)<得：f(u)的解析式为2024年全国卷2理科数学试题及答案解析且单调递增区间为(0,+o),单调递减区间为(-o,0)(a+1)b≤(a+1)²-(a+1)²l令F(x)=x²-x²Inx(x>0);则F(x)=x(1-2lnx)F'(x)>0⇔0<x<√e,F'(x)请考生在第22,23,24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分，(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲△ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB,证明：(2)△BCD-△GBD(23)本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程已知曲线C₁的参数方程是2024年全国卷2理科数学试题及答案解析个个且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(1)求点A,B,C,D的直角坐标；【解析】(1)点A,B,C,D的极坐标为(2)设P(xq,y₀);则t=|PA²+|PB|²+|PCF+|PD²=4(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(1)当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集；○2024年一般高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是(1)复数z=1+i,z为z的共轭复数，则zz-z-1=(C)y=4x²(x∈R