2022届安徽师范大学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={1,2,3},B={x|x2-2x+m=0},若AcB={3},贝!JB=（）

A.{-1,3}B.{-2,3}c.{-1,-2,3}D.{3}

2.设。随机变量。的分布列是

4-101

21

P-P

33

23

则当P在（§，W）内增大时，（）

A.EC）减小，。修）减小B.EC）减小，。片）增大

C.EC）增大，。修）减小D.EC）增大，。（。）增大

3.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春

官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pao）,竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”

为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）

31112

A.—B.—C.—D.一

1414147

4.中国古建筑借助柳卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫樟头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是

禅头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

5.已知变量间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为9=2.lx+0.85,则表中数据，”的值为（

变量X0123

变量ym35.57

A.0.9B.0.85C.0.75D.0.5

6.设尸={y小=-3+1,xeR},Q={y\y=2x,xWR},贝U

A.PQQB.QQP

C.CRPQQD.QfP

7.在AABC中，角A,8,C的对边分别为a/,c,C=y,若加=（c一遍,a-匕），n-=（a-仇c+#），且力/：,

则AABC的面积为（）

Aan9G„苧D.3+

A.3B.----C.

2

8.已知点A（2,0）、B（0,-2）.若点尸在函数y=«的图象上，则使得△PA8的面积为2的点尸的个数为（

A.1B.2C.3D.4

9.函数〃x）=2x—|3x+l］在上的最大值和最小值分别为（）

22

A.—9-2B.——，-9C.-2,-9D.2,-2

33

x-y<0,

'_x+3...........

10-若"一满足约束条件产”2,则,q的取值范围为（）

x+l>0,

24242

A.B.[y,3]C.[-,2]D.[-,2]

53

11.已知f（x）=ax?+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数,那么a+b的值是

11

A.——B.-

33

11

C.——D.-

22

12.在AA；?。中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,。是48的中点，若8=1,且

jsin

A=（c+3（sinC-sinB）,则AAZ?。面积的最大值是（）

2）

rV152^/15

5105

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面向量”、坂的夹角为充，且|2+可=1,贝！13/+27B的最大值是.

91

14.若x>l,则2工+=二+；•的最小值是.

X+lX-1

2e'i,x<2

15.f(x)={,则的值为

2

log3(x-1),x>2

16.在AABC中，已知AB=3,AC=2,P是边8c的垂直平分线上的一点，则0.丽=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设X,y,ZGR,z(x+2y)=〃?.

(1)若f+2/+3z2的最小值为4,求加的值;

(2)若/+4)2+；z?21,证明：1.

18.(12分)已知数列｛%｝满足q=],且%=短■+F(〃N2,〃eN*).

(1)求证：数列｛2%“｝是等差数列，并求出数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前〃项和S“.

19.(12分)已知函数/(x)=(x—a)2—2xlnx,其导函数为/'(x),

(1)若。=0,求不等式/(x)>l的解集；

(2)证明：对任意的0<s</<2,恒有/“)_/a).<1.

s-t

"ccqA

20.(12分)已知a*,c分别是AAHC的内角的对边，且丁=--一.

b2-cosB

(I)求色.

c

(n)若b=4,cosC=-,求AABC的面积.

4

(HI)在(II)的条件下，求cos(2C+q]的值.

22£7

21.(12分)已知椭圆C:・+%=1(。>人>0)的离心率为券，椭圆C的长轴长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线/:y=履-6与椭圆C交于AB两点，是否存在实数及使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点

0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

22.(10分)如图所示，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCD为正方形，PA±AB,PA=6,AB=S,PD=IO,

N为PC的中点，E为棱BC上的一点.

(1)证明：PAFA.^ABCD；

(2)当尸为8c中点时，求二面角A—NP—C余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据交集的结果可得3是集合B的元素，代入方程后可求机的值，从而可求3.

【详解】

依题意可知3是集合3的元素，即32-2x3+/n=O,解得机=-3,由一2%-3=0,解得x=T,3.

【点睛】

本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.

2.C

【解析】

E8=(T)xg(1-p)+gp=|p-g,O©=E(e)-炉⑹，判断其在(谷)内的单调性即可.

【详解】

1121,23、

解：根据题意EC)=(—1*2(1_〃)+2P=彳,_:在PwR］内递增，

E(^)=(-l)2xl(l-^)+lp=1

D(^)=£(^2)-E2(^)=1(1-p)+1p-(|p-1)2=+前+：=-1(夕-；)+g，

是以p=g为对称轴，开口向下的抛物线，所以在||，£|上单调递减，

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题.

3.B

【解析】

分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

从“八音,，中任取不同的“两音,，共有C2=28种取法；

“两音”中含有打击乐器的取法共有C；-C：=22种取法；

2211

.・所求概率p=—­=~•

2814

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.

4.A

【解析】

详解：由题意知，题干中所给的是樟头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有

一不可见的长方形，

且俯视图应为对称图形

故俯视图为

故选A.

点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

5.A

【解析】

计算x,y,代入回归方程可得.

【详解】

m+3+5.5+7相+15.5

777+155

---------=2.1x1.5+0.85,解得〃2=0.9.

故选：A.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点&J).

6.C

【解析】

解：因为P={y|y=-x2+l,xGR)={y|y<1),Q={y|y=2x,xCR}={y|y>0},因此选C

7.C

【解析】

由力4,可得(a-4=(c-^)(c+#),化简利用余弦定理可得85生="一+"：一.=1,解得他.即可得出三角形

32ab2

面积.

【详解】

解：m=(c—#,。一耳，n=(a-b,c+咐,且

.1.(a-h)2=(C-A/6)(C+\/6),化为：a2+b2-c2-2ab-6.

c_1,.「_1公G_36

••SMBC=-6f^sinC=-x6x—=.

故选：C.

【点睛】

本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.C

【解析】

设出点P的坐标，以A3为底结合的面积计算出点P到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于

”的方程，求出方程的解，即可得出结论.

【详解】

设点P的坐标为直线43的方程为=即x—y—2=0,

设点P到直线AB的距离为“，则S""=g|A即d=gx2夜xd=2,解得d=血，

另一方面，由点到直线的距离公式得［=匕"3=正，

V2

整理得=0或。-&-4=0,,/a>0>解得a=0或a=］或a=9.

2

综上，满足条件的点P共有三个.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.

【详解】

uIC1

5x+1,-2Wx<—

3

依题意,/(x)=2x-|3x+l|=<

-x—1,——<x<1

3

作出函数“X）的图象如下所示;

Io

由函数图像可知，当x=—§时，有最大值-

当x=—2时，“X）有最小值—9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.

10.D

【解析】

x+3

由题意作出可行域，转化目标函数z=7互为连接点0（-3,-2）和可行域内的点（x,y）的直线斜率的倒数，数形结合

即可得解.

【详解】

由题意作出可行域，如图，

x+3/、

目标函数z=不可表示连接点D（-3,-2）和可行域内的点（x,y）的直线斜率的倒数,

由图可知，直线D4的斜率最小，直线OB的斜率最大,

x-y=0/、\x+y=2

由x+l=0可得A(-l)，由x+「0可得B（-l,3）,

rr-rr7-]+213+252

所以=1।2=不'卜口8所以mWz<2.

-1+Jz-1+3

【点睛】

本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.

11.B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（-x）=f（x）,且定义域关于原点对称，a-1=-2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=,，又f(-x)=f(x),

3

/.b=0,a+b=—.故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

12.A

【解析】

根据正弦定理可得，-；“a=(c+b)(c-b),求出cos。，根据平方关系求出sinC.由2丽=5+而两端平方，

求a〃的最大值，根据三角形面积公式S=LaAinC,求出△A3c面积的最大值.

2

【详解】

△ABC中,a——hsinA=(c+/?)(sinC-sin,

由正弦定理可得=整理得。2=a2+/72

2

=

由余弦定理/=〃2+〃2-2"cos。，得cos。=Ce(0,^),sinC~~~9

•・.O是A3的中点，且CD=1,

2CD=CA+CB,.-.(2①丫=(瓦+函『，即4丽2=CA+CB+2CA.CB，

22

即4=〃+〃2+2/76ZCOSC=a+b+—ab>lab+—ah=—ab9

222

Q

:.ab<-,当且仅当a=b时，等号成立.

.1△ABC的面积S=—abs'mC<—x—

22545

所以△A6C面积的最大值为'叵.

5

故选：A.

【点睛】

本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3+2百

【解析】

建立平面直角坐标系，设NAOC=e,可得|玩1=1,进而可得出|丽|=2sine,

3了+2£石转化为以。为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.

【详解】

根据题意建立平面直角坐标系如图所示,设［砺，3=丽，以。4、OB为邻边作平行四边形OACB,mOC=a+b>

ZOAC=ZOBC=-,且|oc|=i,

6

在AOBC中，由正弦定理=2sin6,即忖=2sin(9,

Fl54-8),即忖=2sin葛-e).

在AOAC中，由正弦定理7i,得10d=2sin

sin一夕~6

6

二问~,a•B=HLcos=2sin6•2sin(-8卜os=-2>/3sin0sinf葛-0

则

3a+2a-b=3x2sin葛一。_4^sin^sin=12sin2-0^-45/3sin^sin-0

1-cos=61--cos2^+^-sin20-Gsin?6-Gsin2e

12x--------sinO+'cos。122J

2

7

=6-3cos20+36sin26—6x-―一百sin2。=3+2百sin20,

2

当sin26=l时，37+2£石取最大值3+2技

故答案为：3+273.

【点睛】

本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难

题.

14.8

【解析】

9191

根据2x+——+——=x+l+——+X-1+——(%>1),利用基本不等式可求得函数最值.

x+ix-1x+1x-1

【详解】

n1g1gi

Qx>l,:.2x+——+——=x+\+——+x-l+——>6+2=8,当且仅当x+l=——且x-l=——，即x=2

x+1x-\x+1%-1尤+lx—1

91

时，等号成立.，刀二？时，2x+上+」一取得最小值8.

x+lX-1

故答案为：8

【点睛】

本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键.

15.1

【解析】

先求/(I),再根据/(D值所在区间求/(7(D).

【详解】

由题意，f(1)=10g3=1,故/(/(D)=f(1)=lxe|-'=l,故答案为：1.

【点睛】

本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.

16.——

2

【解析】

作出图形，设点E为线段BC的中点，可得出通=g(AQ+/)且丽=荏+而，进而可计算出Q.前的值.

【详解】

设点E为线段8C的中点，则£P_L6C,.•.乔.豆亍=0，

.1.APBC=（A£+EP）BC=AEBC+EPBC=^（AC+AB）（AC-AB）

《阿一利f(27)5

2

故答案为：—-.

2

【点睛】

本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考

查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)2；(2)见解析

【解析】

(1)将V+2y2+3z2化简为(/+z2)+2(y2+z2),再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出加的值；

(2)根据/+0222M即2(/+从”仅+32,得出x2+4y2+gz2zg(x+2»+；z2,利用基本不等式求

出最值，便可得出“7的取值范围.

【详解】

解：(1)由题可知，X,y,zeR,z(x+2y)=m

x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)>2xz+4yz=2m-4,

••ITl=2・

(2)Vcr+b2>2pZ>|,

：.2(a2+b2)>(a+bf,

x2+4/+；z?>g(x+2y)2+^z2>^--2|(x+2j)z|>1,

\lT^>1,即：1或加之/.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.

,、、-5—2〃+1,、c-2〃+5

18.(1)证明见解析，a,,=2“：(2)S”=5-•>.

【解析】

(1)将等式。,=号+击变形为2"4=2一%,“+2,进而可证明出｛2"%｝是等差数列，确定数列｛2"a“｝的首项

和公差，可求得2"4的表达式，进而可得出数列｛《,｝的通项公式；

(2)利用错位相减法可求得数列｛4｝的前"项和S,,,

【详解】

(1)因为4=等+击(〃22,〃€1^*),所以2%“=2"-%,T+2,即2"a"—2"”,I=2,

所以数列｛2"%｝是等差数列，且公差d=2,其首项2%=3

所以2"a“=3+(〃—l)x2=2〃+l,解得4=^1；

,、。3572n-l2n+l〃

(2)S=1—rH-rH--1-:—I---;—>①

"222232"-1T

S,,3572n-12〃+1

=++++----+---r-②

TFFF2〃

①-②，^^=-+2xf4+4+-+—I52〃+5

22U2232")22"+'

2n+5

所以5“=5-

2"

【点睛】

本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

19.(1)｛x|x>l｝(2)证明见解析

【解析】

(1)求出/(X)的导数，根据导函数的性质判断函数/(x)的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；

(2)构造函数R(X)=/'(X)-X,利用导数判断。(x)在区间(0,2)上单调递减，结合0<s<t<2可得结果.

【详解】

(1)若a=0,则/(x)=x?-2xlnxJ'(x)=2x-2(l+lnx).

2

设〃(x)=2x-2(l+lnx),则"(x)=2-一，

x

所以〃(X)在(0,1)上单调递减，在(L”)上单调递增.

又当x-0时，〃(x)f+oo；当x=l时，h(x)=0；当xf+oo时，〃(x)->+8,

所以〃(x)NO

所以/(%)在(0,+8)上单调递增，

又/(1)=1,所以不等式/。)>1的解集为{x|x>l}.

(2)设g(x)=7'(x),再令9(x)=g(x)-x=x-2-21nx-2a,

奴x)在(0,2)上单调递减，

X*/0<5<Z<2»

<p(s)<(p(t),

:.g(s)-s>g(t)-t,

g(s)_gQ)>sT,

s—t<0,

.g(s)-g(r)<[

s-t

即/'(sf⑴<1

s-t

【点睛】

本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.

20.(I)-；(II)岳：(ni)士典.

216

【解析】

(I)由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；(II)由余弦定理可求。，然后结合三

角形的面积公式可求；(ni)结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.

【详解】

(I)因为公/4=当，

b2-cosBsmB

所以2sinA—sinAcosB=sinBcosA,

所以2sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,

asinA1

由正弦定理可得，—二二二二不；

csinC2

(H)由余弦定理可得，1/+16-4”,

48a

整理可得，3a2+2々-16=0,

解可得，。=2,

因为sinC=巫，

4

所以S^BC=；absinC=；x2x4x^^~=V15;

(III)由于sin2c=2sinCcosC=2x二^x[=—,cos2C=2cos2C-l=.

4488

所以cos(2C+匹)=^cos2c—避sin2C=」x(-Z)-^x^=^^.

322282816

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对

这些知识的理解掌握水平.

21.(1)—+/=1；(2)存在，当&=±®时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点0.

42

【解析】

(1)设椭圆的焦半距为c,利用离心率为无，椭圆。的长轴长为1.列出方程组求解。，推出〃，即可得到椭圆的

2

方程.

(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点。.设点以占，y),B(X2,%)，将直线/的方程

2

旷=匕-6代入工+V=i,化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0,转化为：玉々+乂%=0.求解即可.

【详解】

a=2

a=2

解：（1）设椭圆的焦半距为C,则由题设，得£=也，解得＜

C=5

a2

2

所以6=/一o2=4-3=1,故所求椭圆C的方程为土+9=1

4'

（2）存在实数A使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点0.理由如下:

2

设点A（%，x）,B（x2,y2）,将直线/的方程＞=依一g代入二+y=i,

4

并整理，得(1+4/一8Gx+8=0.(*)

1ml86k_8

则x+x--------T9

x12~1+4421+422

因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,所以）.砺=0,即玉光2+乂%=0・

又XK=k2x.x^-5/3^(%,+w)+3,于是一当f•一"——7=