上海市四校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1上海市四校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.）1.已知集合，集合，则__________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗为：.2.“”是“”的_________条件.〖答案〗必要非充分〖解析〗取，满足，但推不出成立，当时，一定有成立，故“”是“”的必要非充分条件.故〖答案〗为：必要非充分.3.已知，若函数定义域为，则的取值范围为_________.〖答案〗〖解析〗若函数定义域为，则恒成立，有，解得，即的取值范围为.故〖答案〗为：.4.设，则满足的x的取值范围为__________．〖答案〗〖解析〗，解得，故x的取值范围为.故〖答案〗为：.5.已知，，试用、表示_________.〖答案〗〖解析〗由可得：，即，故.故〖答案〗为:.6.已知函数，，则______.〖答案〗3〖解析〗根据原函数与其反函数的关系，要求的值，只需使函数()的函数值取，即，解得，因，故，即得：故〖答案〗为：.7.已知，若函数的值域为，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗函数的值域为，当时，，，则有，时，，不合题意，由二次函数的性质可知，时不合题意，故，又由，故时，，解得，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.8.已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为_______________.〖答案〗〖解析〗因为定义域为的偶函数在区间上严格减，则，所以，即或，解得或，即所求解集为.故〖答案〗为：.9.设函数定义域为，对于下列命题：①令，则函数为偶函数；②若存在常数，使得对任意的，都有成立，则是的最大值；③若对于任意的，都有成立，则在上严格递减；④若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上不存在零点.其中，所有真命题的序号为_________.〖答案〗①③〖解析〗令，则函数定义域为，，所以函数为偶函数，命题①正确；若存在常数，使得对任意的，都有成立，若是的最大值，还需要，，命题②错误；若对于任意的，都有成立，则任意的，有，都有，即，所以在上严格递减，命题③正确；若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上可能存在零点，如函数，满足，函数区间上有零点0，命题④错误.故〖答案〗为：①③.10.已知，若不等式有解，则的取值范围是_______________.〖答案〗〖解析〗由题意得有解，即为有解，即有解，即有解，所以，解得或，即的取值范围为.故〖答案〗为：.11.给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则______.〖答案〗3〖解析〗由题意设，则一次操作后该机器人落点为，即在安全区域内，所以且，由，可知，所以，即能成立，又因为，且等号当且仅当，即时成立，综上，.故〖答案〗为：3.12.某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的〖提示〗，可求得该问题中的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗，，由可得，由于不等式恒成立，当且仅当时取等号，且存在，使得，所以，，当且仅当时，等号成立，，因此，实数的取值范围是.故〖答案〗为：.二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分.）13.下列选项中的两个函数表示同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与〖答案〗C〖解析〗A：定义域为，定义域为，故A错误；B：定义域为，的定义域为，故B错误；C：两函数的定义域都为，又，所以两个函数表示同一函数，故C正确；D：当时，无意义，而，故D错误.故选：C.14.已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为，第二年的增长率为，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设企业这两年生产总值的年平均增长率为，可得，解得.故选：D．15.已知，，若，则的最小值为（）A.7 B.9 C.11 D.13〖答案〗B〖解析〗由题意知，，，则，当且仅当时，结合，即时等号成立，故当时，.故选：B.16.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程解的个数为（）A.14 B.16 C.18 D.20〖答案〗A〖解析〗依题意，是偶函数，定义域为，时，；当时，，；当时，，；当时，，；当，，，以此类推可知当时，，由此画出在区间上的图象如下图所示，由图可知，与的图象有个交点，所以方程解的个数为.故选：A.三、解答题（本大题共5题，满分78分.）17.求下列不等式（组）的解集：（1）；（2）.解：（1）不等式，等价于或，解得或，则所求解集为.（2）不等式，即，解得，所以，故所求解集为.18.某公司欲将一批货物从地运往地，现有汽车、火车和飞机三种运输工具可供选择三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具速度（）途中费用（元）装卸时间（）装卸费用（元）汽车50821000火车100442000飞机2001621000若这批货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元，问采用哪种运输工具比较合适（即运输过程中的费用和损耗最小）？解：设、两地间距离为；用汽车、火车、飞机运输时的总支出分为、、，则有：，；，；，，所以，又，所以当时，，此时用汽车运输较好；当时，，此时用汽车或火车运输均可；当时，，此时用火车运输较好.19.已知，.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当时，判断函数在区间上的单调性，并证明；（3）当时，求函数在区间上的最小值.解：（1）函数有意义，需使，函数定义域显然关于原点对称，又由，故为奇函数.（2）当时，在上为增函数；（证明）任取，有，由可得，，故成立，所以函数在区间上为增函数.（3）易知当时，函数上单调递减，在上单调递增；①当即时，在[2，4]上单调递增，则；②当即时，在上单调递减，则；③当，即时，，综上，20.在数学中，双曲函数是与三角函数类似函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦：.（是自然对数的底数，）（1）解方程：；（2）求不等式的解集；（3）若对任意的，关于的方程有解，求实数取值范围.解：（1），故所求解为.（2）因为，恒成立，故是奇函数；又因为在上的严格增，在上的严格减，故是上的严格增函数，所以，即所求解集为.（3）因为是上的严格增函数，所以当时，成立；又因为，等号成立当且仅当，而当时，，所以函数的值域为，所以若关于的方程有解，只需对任意关于都成立，故只需，即.21.记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质.（1）判断函数，是否具有性质，并说明理由；（2）设，，求的反函数，并判