2021年中考数学冲刺训练：《中考数学新定义题型》测试卷、练习卷（答案及解析）

《中考数学新定义题型》测试卷、练习卷（答案及解析）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.已知a,b,c,"为有理数，现规定一种新的运算J：^\=ad-bc,那么当

1（1-r）以=一时,则x的值是（）

711

A.x=1B.x=-C.%=—D.x=—1

117

2.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号表示①b中的较大值，如：

Max{5,8}=8,按照这个规律，那么方程Max{x,一行=手的解为（）

A.3,1B.-3,-1C.±3D.土3或±1

3.定义新运算%*b":对于任意实数a,b,都有a*b—（a+b）（a~b）-1,其中等

式右边是通常的加法.减法.乘法运算，例如：4*3=（4+3）（4-3）-1=7-1=6.

若x*k=x（々为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

4.对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为：当时，max{a,b}=a；当

a<b时,max{a,b}=b；如:max{4,—2]=4,max{3,3}=3.若关于x的函数为

y=max[x+3,-x+1},则该函数的最小值是（）

A.4B.3C.2D.0

5.我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为渔二，那

2

么这个矩形就称为黄金矩形.如图，A、B两点都

在反比例函数y=[（k>0）位于第一象限内的图像

上，过A、B两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别

为C、。和E、F,设AC与BF交于点G,已知四边形OC4O和四边形CEBG都是

正方形.设FG、OC的中点分别为尸、Q,连接PQ.给出以下结论：①四边形4OFG

为黄金矩形；②四边形。CGF为黄金矩形；③四边形OQPF为黄金矩形.以上结

论中，正确的是（）

A.①B.②C.②③D.①②③

6.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）

A.y=x2+x+2B.y=Vx4-1C・y=%+：D.y=|%|—1

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7.定义：如果一个关于x的分式方程三=匕的解等于‘小我们就说这个方程叫差解方

xa-b

程，比如：2就是一个差解方程.如果关于X的分式方程当=血-2是一个差解

x3x

方程，那么加的值是（）

C.-7D.-2

8.已知max{4,x2,x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当％=9时，

max{y[x,x2,x}=max（V9,92,9]=81.^imax（Vx,x2,x}=,则x的值为（）

A.一；B.4C.-D.i

41642

9.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”

如（8=32-仔,16=52-32,即8,16均为“和谐数”），在不超过2017的正整

数中，所有的“和谐数”之和为（）

A.255054B.255064C.250554D.255024

10.我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为与i,那\

么这个矩形就称为黄金矩形.如图，A、8两点都\

在反比例函数y=：（k>0）位于第一象限内的图像尸用泞、-

（AQCE"

上，过A、3两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别I

为C、。和E、F,设AC与BF交于点G,已知四边形OC4O和四边形CEBG都是

正方形.设FG、OC的中点分别为尸、Q,连接PQ,给出以下结论：①四边形AOFG

为黄金矩形；②四边形OCGF为黄金矩形；③四边形OQPF为黄金矩形.以上结

论中，正确的是（）

A.①B.②C.②③D.①②③

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

定义运算"：》回）/=言2020团2020团20200…团202002020

共100个0

12.对于实数a,b,c,d,规定一种运算「：|=ad-bc,那么当，玛卜

2023时，x=.

13.我们规定这样一种运算：如果ab=N（a>0,N>0）,那么6就叫做以a为底的N

的对数，记作b=logaN.例如：因为23=8,所以10g28=3,那么log381的值为

韩哥智慧之窗-精品文档2

14.已知实数a,b,定义运算：a*b=F,>h/ZaK0),若但_2)*(a+1)=1,

lai9<b且a*0).

则a=.

三、解答题(本大题共7小题，共58.0分)

15.某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在4x4的正方形

网格中，黑色正方形表示数字1,白色正方形变式数字0.如图1是某个学生的身份

识别图案.约定如下：把第，・行，第/列表示的数字记为a”(其中i,/=1,2,3,

4),如图1中第2行第1列的数字由,=0；对第i行使用公式4=83+4ai2+

2%3+七4进行计算，所得结果4表示所在年级，&表示所在班级，4表示学号的

十位数字，4表示学号的个位数字•如图1中，第二行&=8x0+4x1+2x04-

(2)请仿照图1,在图2中画出八年级4班学号是36的同学的身份识别图案

16.阅读下列材料:

一般地,"个相同的因数a相乘a•a・a•a••••a记作a”,如2x2x2=23=8.此时，

3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为5(8),则乙2(8)=3.一般地，若4=b(a>0

且aKl),则"叫做以a为底的b的“劳格数”，记为%8)=几，如3,=81,则

4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为人(81)=4.

(1)下列各“劳格数”的值：L3(9)=；L3(27)=；

区(243)=:

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(2)观察⑴中的数据易得9x27=243,此时心(9)，A3(27),Q(243)满足关系式

(3)由(2)的结果，你能归纳出一般性的结果吗？〃(“)+%(')=;

(a>0且aHl,M>0,N>O')

(4)根据上述结论解决下列问题：

已知，La(2)=0.3,求人(4)和人(16)的值.(a>OMa*1)

17.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为

“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为120。，40°,20。的三角形是“三倍角三

角形”.

(1)△力BC中，乙4=35。，=40°,△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？

(2)若A/IBC是“三倍角三角形"，且NB=60。，求△ABC中最小内角的度数.

18.对于任意有理数a,b,c,d我们规定符号(a,b)®(c,d)=ad-be,例如:

(1,3)0(2,4)=lx4-2x3=-2

(1)计算：(-2,3)0(4,5)

韩哥智慧之窗-精品文档4

(2)求(3a+l,a-2)®(a+2,a-3)的值，其中a=1

19.对于有理数a,b,定义a*b=3a-4b.

(1)计算：①(一5)*3；②3*-2)*1];

(2)化简式子(x-y)*(x+y)；

(3)求(x+3y)*t(5y-x)]*(-丫)的值，其中％=-1,y=2.

20.我们已经学过了对顶角，邻补角、同位角等，知道了它们的特征.现在有两个角,

它们没有共同的顶点，但这两个角的两边互相平行，我们把满足这种条件的两个角

称作“平行角”.如下图①，已知AB〃CD,AD11BC,因此/B和ND是“平行

角”.(1)如下图①，求证：4B=4D；

C

①

(2)如下图②，延长。C到点E,可知和4BCE也是“平行角”，但它们的数量关

系是.

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(3)如下图③，OE平分乙4DC,BF平分乙ABC,试说明N1和42是“平行角”.

21.若一次函数y=mx+n与反比例函数y=£同时经过点P(x,y)则称二次函数y=

为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点.

(1)判断、=2%-1与丫=：是否存在“共享函数”，如果存在,请求出“共享点”.如

果不存在，请说明理由；

(2)已知：整数"3n,/满足条件t<n<8m,并且一次函数y=(1+n)x+2m+2

与反比例函数y=存在"共享函数"y=(m+t)x2+(10m-t)x-2020,求

的值.

(3)若一次函数y=x+ni和反比例函数y=吟U在自变量x的值满足的zn<x<

TH+6的情况下.其“共享函数”的最小值为3,求其“共享函数”的解析式.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了解一元一次方程，根据题意得出一元一次方程是解题关键.

根据题意，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案.

【解答】

解：由题意，得

2x5x-4(l-x)=18,

解得X=y,

故选C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

方程利用题中的新定义变形，计算即可求出解.

【解答】

解：当》>—x,即x>0时，方程变形得：x=—

4

x2—4x+3=0

解得：与=3=1

当x<-x,即x<0时，方程变形得：一万=3,

4

/+4%+3=0

解得：x3=-3,x4=-1

综上，方程的解为%=3,%2=1，X3=—3,%4=—1

故选：D

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3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a力0)的根与A=b2-4ac有

如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根;当△=()时，方程有两个相等的实数

根;当4<0时，方程无实数根.利用新定义得到(x+fc)(x-fc)-l=x,再把方程化为一

般式后计算判别式的值，然后利用4>。可判断方程根的情况.

【解答】

解：x*k=x,

■.(x+/c)(x-k)-1=x,

整理得》2一%一炉一1=(),

•••△=(-1)2-4(-fc2-1)

=4fc2+5>0,

二方程有两个不相等的实数根.

故选C.

4.【答案】C

【解析】略

5.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查正方形的性质，新定义问题，反比例函数图像上点的坐标特征，关键

是掌握黄金矩形的定义，应用黄金矩形的定义逐一判断即可解答.

【解答】

解：设正方形。。。的边长为正方形CEBG的边长为江

则点A的坐标为(a,a),点B的坐标为(a+b,b).

由题意，得axa=b(a+b)=k,

所以/+。匕一°2=0,解得b=1卢a(负值舍去)，

所以2=在二，

a2

所以四边形OCGF是黄金矩形；

韩哥智慧之窗-精品文档8

因为矩形AOFG的一边长是a,另一边长是a-b,

则rrii-\a-—b=1-----=1----y-/-S-—--l=--3-—--y/-S。-V-5---1,

aa222

所以四边形AOFG不是黄金矩形；

因为。是0C的中点，

所以矩形。QPF的一边长为从另一边长是看

则卷=2==在二，

b2b2V5-142

所以四边形OQPF不是黄金矩形.

6.【答案】D

［解析】A.y=%2+x+2=(%+|)2+^>0,故不存在零点；

B.y=《+121,故不存在零点；

C.y=x+p若y=0,则％=-：，即/=一1,无解，故不存在零点；

D.y=\x\-l,若y=0,则|x|=1,即》=±1,故存在零点.

7.【答案】D

【解析】略

8.【答案】C

【解析】

【分析】

此题主要考查了新定义，二次根式的应用，实数的大小比较，正确理解题意分类讨论是

解题关键.

直接利用己知分别分析得出符合题意的答案.

【解答】

解：当max｛闷炉,行=：时,

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①«=j解得：X=p此时符合题意；

L4

@x2=i解得：》=立(负值舍去)，此时不合题意；

N2

@X=yfx>X>X2>不合题意；

故只有％=；时，max{y/x,x2,x)=

故选：C.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键.

由(2n+I)2-(2n-I)2=8n<2017,解得n<252：,可得在不超过2017的正整数中，

8

“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解.

【解答】

解：由(2n+l)2-(2n-l)2=8nW2017,解得nW252：,

8

则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为

32-I2+52-32+…+5052-5032=5052-I2=255024.

故选£>.

10.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查正方形的性质，新定义问题，反比例函数图像上点的坐标特征，关键

是掌握黄金矩形的定义，应用黄金矩形的定义逐一判断即可解答.

【解答】

解：设正方形OC4。的边长为“，正方形CEBG的边长为尻

则点A的坐标为(a,a),点3的坐标为(a+b,b).

由题意，得aXa=b(a+b)=k,

所以炉+ab-a2=0,解得b=二产a(负值舍去)，

所以色=更二，

a2

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所以四边形OCGF是黄金矩形；

因为矩形AOFG的一边长是m另一边长是a-b,

则曰=1，=1一匹二=上正中匹二，

aa222

所以四边形ACFG不是黄金矩形；

因为。是0C的中点，

所以矩形。。尸尸的一边长为6,另一边长是看

则_1=?=工x3=出于生i，

b2b2VS-l42

所以四边形OQP/不是黄金矩形.

11.【答案】20

【解析】

【分析】

本题考查数字的变化规律；运用定义，通过逐步求出部分结果，从而总结出所求式子的

规律是解题的关键.由己知定义逐项求出部分结果，从而得到所求式子的规律为

2020

2020团2020团2020团・・・图2020团2020=—

'-----------------.-----------------'101.

共100曲

【解答】

解：TX”=急，

2020

.-.202002020=—,

2

20202020

2020团202002020=—02020=—,

23

20202020

202002020团2020图2020=-132020=—,

34

2020

2020团2020图20200…团202002020=—=20

'----------------------------------'101.

共100个0

故答案为20.

12.【答案】一2020

【解析】提示：根据题意得(x+l)(x—3)—(x—3)(x+2)=2023,整理得—x+3=

2023,解得x=-2020.

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13.【答案】4

【解析】

【分析】

本题主要考查有理数的乘方和新定义问题，读懂题目信息并灵活运用是解题的关键.

先把81转化以3为底的幕，再根据有理数的乘方定义和题目所提供的信息，即可得到

log381等于以3为底数的81的对数.

【解答】

解：V34=81,

由题意可得log381=4.

故答案为4.

14.【答案】3或1或-1

【解析】略

15.【答案】解：(1)7;28；

(2)画图如下图：

【解析】

【分析】

本题考查了有理数混合运算，新定义问题，实数与图形；理解题意，将所求问题转化为

实数运算是解题的关键.

(1)根据所给公式分别求出a=8x0+4x14-2x1+1=7,43=8x0+4x0+

2x14-0=2,44=8x1+4x0+2x0+0=8,即可求解；

(2)由所给信息画出图形即可.

【解答】

解：(1)41=8x04-4x1+2x1+1=7,713=8x0+4x04-2x1+0=2,A4=

8x14-4x0+2x0+0=8,

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故答案为7；28；

(2)见答案.

16.【答案】解：(1)2；3；5；

(2乂3(9)+七(27)=13(243)；

(3"a(MN)；

(4)7La(M)+La(N)=La(MN),即〃(MN)=La(M)+La(N),

La(4)=La(2x2)=%Q)+La(2)=0.3+0.3=0.6；

La(16)=La(4x4)=La(4)+La(4)=0.6+0.6=1.2.

【解析】

【分析】

本题主要考查同底数第的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本

题的关键是理解给出的“劳格数”的定义.

(1)根据“劳格数”的定义求解即；

(2)根据(1)的结果进行观察，即可解答；

(3)根据(2)得到的关系，由特殊到一般，设La(M)=m,La(N)=n,再根据嘉的运算

法则：a机-a"=以及“劳格数”的含义可得结论；

(4)根据(3)的结论进行计算即可.

【解答】

解：(1)：9=32,27=33,243=35,

£3(9)=2；"(27)=3；L3(243)=5；

故答案为2；3；5；

(2)v9x27=243,

•••5(9)+&(27)=5(243)；

故答案为心(9)+L3(27)=L3(243)；

(3)设L(M)=m,儿3)=n,

则a771=M,an=N,

am-an=am+n,

：.MN=am+n

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・•・La(MN)=m4-n,

・•・LQ(M)+LQ(N)=m+n=L0(MN)；

故答案为La(MN)；

(4)见答案.

17.【答案】解：(1)••・=35°,乙B=40°,

•••ZC=180°-Z-A-^B=105°,

,:Z-C=

.•.△4BC是“三倍角三角形"，因为“的度数是乙4的三倍；

(2)vZ.B=60°,

•••z/1+ZC=180°一乙B=120°,

①当NB为△4BC中最小内角时，

•••△ABC是“三倍角三角形”，

•••若乙4或NC=3/B=180°,不符合三角形内角和，故舍去，

若41=3NC或/C=3/4时，设较小角为x,则x+3x=120。，

解得：x=30°,与NB为△ABC中最小内角矛盾，故舍去，

②当4B不为△力BC中最小内角时•，可设△4BC中/C为最小内角，且度数为x,

若ZJ1=3/C时，x+3x=120°,

解得：x=30°,

•••乙4=90°,ZC=30°,NB=60°,

若4B=3z_C时，3x=60°,

解得：x=20°,

/-A=100°,ZC=20°,Z.B=60°,

若4A=3NB时，44=180。，不符合三角形内角和，故舍去，

若NB=3/4时，44=20。，则4c=100。，与ZC为最小内角矛盾，故舍去，

综上所述，AZBC中最小内角的度数为20。或30。.

【解析】此题考查三角形的内角和定理以及新定义型，掌握三角形的内角和180。是解决

问题的关键.

(1)根据三角形内角和等于180。，求出4C,可得ZC=3乙4,即可求解；

(2)根据三角形内角和等于180。，如果一个“三倍角三角形”有一个角为62。，可得另两

个角的和为120。，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角，

由此比较得出答案即可.

韩哥智慧之窗-精品文档14

18.【答案】解：(1)(-2,3)0(4,5)=-2x5-3x4=-10-12=-22；

(2)(3Q+1,Q—2)g(a+2,CL—3),

=(3a+l)(a-3)-(a-2)(a+2),

=3a2一9a+Q—3—(a?-4),

=3Q2-9a+Q-3-Q2+4,

=2a2—8Q+1,

va=1,

:.(3a+1,Q—2)⑤(Q+2,a—3)=2—8+1=-5.

【解析】本题考查了整式的混合运算-化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应

字母的值代入求整式的值.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运

算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.

⑴利用新定义得到(一2,3)0(4,5)=-2x5-3x4,然后进行有理数的混合运算即可;

(2)利用新定义得到原式=(3Q+l)(a—3)—(a—2)(Q+2),然后去括号后合并,最后

代入。的值计算.

19.【答案】解：⑴①(一5)*3=3x(—5)—4x3=—27,

(?)(-2)*1=3x(—2)—4x1=-10,

3*(-10)=3x3-4x(-10)=49.

(2)(%—y)*(%4-y)=3(%—y)—4(%+y)=3%—3y—4%—4y=—%—7y.

(3)(x+3y)*[|(5y-x)]=3(x+3y)-4x[|(5y-%)]=5x-y,

(5x—y)*(—y)=3(5x—y)—4x(—y)=15x+y,

当x=-，，y=2时，原式=15x—2=—5+2=-3.

【解析】本题考查的是有理数的混合运算，整式的混合运算，代数式求值，新定义有关

知识.

(1)根据新定义的运算法则直接进行计算即可：

(2)根据新定义的运算法进变形，然后再进行合并即可；

(3)根据新定义的法则对该式变形，然后再合并同类项，最后将x,y代入计算即可.

20.【答案】解:(1)证明："AB//CD,

Z.A+/.D=180°,

■■■AD//BC,

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・•・Z/l4-ZB=180°,

:.Z-B=NO;

(2”A+乙BCE=180°；

(3)-AB//CD,

AEB//DF,zl=Z.AED,

由(1)知乙4DC=Z.ABC,

•・・。£平分440。，3/平分ZJ18C,

:.2zl=2z2,

:.zl=z2,

:.z2=Z-AED,

・・・ED//BF,

・・,乙1和42是“平行角”.

【解析】

【分析】

本题考查了新定义型、平行线的判定与性质和角的平分线，熟练掌握平行线的判定与性

质是解题的关键.

(1)根据平行线的性质,得乙4+4。=180。和乙4+48=180°,即可得到结论;

(2)根据平行线的性质和第(1)问，得乙D=△BCE,即可得到结论；

(3)根据平行线的判定和性质定理、角的平分线以及“平行角”的定义即可得到结论.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)乙4+Z.BCE=180°；

理由：由(1)得乙4+NO=180。，

■■■AD//BC