X射线衍射方向

Chapter2X射线衍射方向

TheDiffractedDirectionofX-Ray1本章主要内容掌握劳埃方程、布拉格方程和产生衍射的条件。掌握倒易点阵的定义、倒易矢量的定义、性质及在衍射中的应用。掌握布拉格方程的厄瓦尔德反射球图解法。掌握常用三种衍射方法：劳埃法、转晶法、粉末法的工作原理及倒易点阵的解释。学习重点22.0引言

X射线学是以X射线在晶体中的衍射现象为基础的。衍射可归结为两方面的问题：

衍射方向劳厄方程、布拉格方程——基本理论倒易点阵和爱瓦尔德图解——工具

衍射强度3*S衍射屏观察屏a

☆1912年之前，物理学家对可见光的衍射现象已经有了确切的解释：回顾bafd光栅常数d(=a+b)只要与一个点光源发出的光的波长为同一数量级的话就可以产生衍射。4☆晶体学的假设☆X射线的发现及对其本质的探讨原子点阵.swf各共振体间距：1～10Å5☆劳埃的突出贡献☆布拉格父子俩的工作“物理学最美的实验”爱因斯坦衍射仪6

2.1

几何晶体学简单回顾

晶体：原子在三维空间中规则排列。

晶格：用假想的直线将原子中心连接起来所形成。

阵点：

直线的交点(原子、分子、离子或原子团中心)

空间点阵：结点形成的空间点的阵列

7空间点阵.swf8晶胞：能代表晶格原子排列规律的最小几何单元。9

晶系：根据晶胞参数不同，将晶体分为七种晶系。晶格常数：晶胞各边的尺寸a、b、c。各棱间的夹角用

、

、

表示。立方六方四方菱方正交单斜三斜10立方晶系晶面、晶向表示方法晶体中各方位上的原子面称晶面。各方向上的原子列称晶向。⑴晶面指数表示晶面的符号称晶面指数。其确定步骤为：11004.swf12⑵晶向指数

表示晶向的符号称晶向指数。

其确定步骤为：晶向指数的确定.swf13005.swf14

简单点阵的晶面间距公式ZXYNABCcos=ON/OA=d/OAcos=d/(ma)=d/(a/h)cos=d/(nb)=d/(b/k)cos=d/(pc)=d/(c/l)cos2+cos2+cos2=1Oγαβ(hkl)XANOdhkl15正交晶系晶面间距公式四方晶系晶面间距公式16立方晶系晶面间距公式六方晶系晶面间距公式17晶面指数与晶面间距和晶面上结点密度的关系009.swf18☆晶带和晶带定律在晶体结构和空间点阵中同时平行于某一轴向[uvw]的所有晶面构成一个晶带，这些晶面叫晶带面，而这个轴向[uvw]称为这一晶带的晶带轴。[001]凡属于[uvw]晶带的晶面，它的晶面指数(hkl)都必然符合关系式：

hu+kv+lw=0这个关系式就称为晶带定律。19☆若已知某晶带中任意两个晶面的面指数(h1k1l1)和(h2k2l2)时，可以根据晶带定律计算出晶带轴的指数[uvw]：h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0h1

k1

l1

h1

k1

l1h2

k2

l2

h2

k2

l2uvw20

2.2

劳埃方程((α0α0ααaABCDλ入射线衍射线a（cos

–cos0）=H

Δ＝AC-BD＝acos

-

acos0一维衍射（原子列）衍射线加强条件：相邻原子在该方向上散射线的波程差为波长的整数倍。0，±1，±2，±3...21衍射圆锥22二维衍射（原子网）a(cos-cos0)=H

b(cos-cos0)=K

在X方向和Y方向同时都满足衍射条件原子网的衍射图像Next23入射线OabCH=0K=0H=1H=2K=1K=2入射X射线完全在原子网平面内部时衍射线(

(

2

0))2

024OO’((

XYH=0K=0AK=1CDB入射X射线离开二维原子面而与此原子面成一定角

度入射时25返回入射线H=0K=0衍射线OABCDH=hK=kEFGM26总结二维原子面发生衍射的必要条件有三个特点：1.X射线可以以任意入射角入射，总有一条或二条零级干涉线；2.进一步增加入射角时还会有一条或两条干涉线，分布在原子面上下方；3.在此原子面内任意原子均向许多方向散射X射线，但，只有沿上述几个特殊方向的散射线才是相长干涉线，沿其他的方向散射的线为相消干涉而消失了。27对于三维情形，就可以得到晶体光栅的衍射条件：a(cos-cos0)=H

b(cos-cos0)=K

c(cos-cos0)=L

该方程组即为Laue方程。H，K，L称为衍射指数。

,

,

,

0,0,0分别为散射光和入射光与三个点阵轴矢的夹角。cos2

+cos2

+cos2

=1对于直角坐标系：衍射斑28劳埃方程式从本质上解决了X射线在晶体中的衍射方向问题，但三维的衍射圆锥，难以表示和想像，三个劳埃方程使用上亦欠方便，从实用角度来说，理论有简化的必要。晶体既可看成由平行的原子面所组成，晶体的衍射线，亦当是原子面的衍射线叠加而得。晶体对X射线的衍射，可视为晶体中某些原子面对X射线的“反射”。

29

2.3

布拉格方程方程的导出Δ＝ML+LN

＝d

sin

+d

sin

同一原子面(A)上：Δ＝PR-KQ=0不同原子面(A、B)：2dsin

=n

将衍射当成反射，是导出布拉格方程的基础。30AOBD(

I0(

)cddEab()

a

bL1L2)

=L1-L2=d/sin-L1cos2=d/sin(1-cos2)=2dsin31小知识：“衍射”与“反射”我们虽然习惯把X射线的衍射称之为X射线的反射，但，衍射和反射至少在以下几个方面是有本质区别的：被晶体衍射的X射线是由入射线在晶体中所经过路程上的所有原子散射波干涉的结果，而可见光的反射是在极表层上产生的，可见光反射仅发生在两种介质的界面上；32小知识：“衍射”与“反射”我们虽然习惯把X射线的衍射称之为X射线的反射，但，衍射和反射至少在以下几个方面是有本质区别的：单色X射线的衍射只在满足布拉格定律的若干个特殊角度上产生（选择衍射），而可见光的反射可以在任意角度产生；33小知识：“衍射”与“反射”我们虽然习惯把X射线的衍射称之为X射线的反射，但，衍射和反射至少在以下几个方面是有本质区别的：可见光在良好的镜面上反射，其效率可以接近100%，而X射线衍射线的强度比起入射线强度来说却是微乎其微的。34布拉格方程的讨论布拉格方程只是获得衍射的必要条件而非充分条件。反射级数入射线反射线d100d200(100)(200)

()2d100sin

=2

2d200sin

=

2(d100/2)sin

=

(hkl)的n级反射看作(nh

nk

nl)的一级反射35干涉面指数晶面(hkl)的n级反射面

(nh

nk

nl)，用符号(HKL)表示，称为反射面或干涉面。其中H=nh，K=nk，L=nl。(hkl)是晶体中实际存在的晶面，(HKL)只是为了使问题简化而引入的虚拟晶面。干涉面的面指数称为干涉指数。对立方晶系，干涉面的间距与干涉指数的关系为：在X射线衍射分析中，如无特别声明，所用的面间距一般是指干涉面间距。◆◆◆36掠射角掠射角θ是入射线（或反射线）与晶面的夹角，可表征衍射的方向。sin

由布拉格方程：2dsin

=

sin

=/(2d)

一定时d相同的晶面，必然在θ相同的情况下才能获得反射间距小的晶面，其掠射角必须是较大的37衍射极限条件掠射角

的极限范围是：0°~90°|sin|≤1反射级数n≤2d/

干涉面间距d≥

/

238应用2dsin

=

结构分析（衍射分析）X射线光谱学

，

dd，

39衍射方向布拉格方程晶面间距公式该晶系的衍射方向表达式立方晶系晶格常数为a的{hkl}晶面对波长为

的X射线的衍射方向公式40劳埃方程与布拉格方程的一致性入射线衍射线XYZTSRabc2

)波长为的单色X射线照射到晶体之上，当晶体处于合适的方位时，即可产生指数为H，K，L的衍射线。衍射线的方向由三个劳埃方程决定：a(cos-cos0)=H

b(cos-cos0)=K

c(cos-cos0)=L

O方程组表示在重复周期为a、b、c的结点列上，相邻原子散射线在衍射方向上的程差分别为H

，K

，L

。41我们在X方向上寻找一原子R，令OR＝(K×L)a，于是O与R原子散射线在特定方向上的程差即为(K×L)×(H)=(H×K×L)。同样可在Y方向和Z方向分别找到原子S和T，令OS=(H×L)b，OT=(H×K)c。于是R、S、T点与O点的程差均为(H×K×L)，即从R、S、T点发出的散射线，在衍射方向上是同光程的。◆这就说明，过R、S、T三个结点的晶面，正好处于入射线和衍射线的镜面反射位置，而这个晶面是结点晶面，是实际存在的。这样我们就证明了当晶体能产生H、K、L的衍射线时，就必然有一个实际存在的晶面RST，使得入射线与衍射线正处在该平面的反射位置上。◆◆42下面以立方晶系为例，从劳埃方程推导布拉格方程：a2(cos2-2coscos0+cos2

0)=H2

2b2(cos2-2coscos0+cos2

0)=K2

2c2(cos2-2coscos0+cos2

0)=L2

2将三个劳埃方程平方：a=b=c，故a2[(cos2+cos2+cos2)+(cos2

0+cos2

0+cos2

0)-2(coscos0+coscos0+coscos0)]=

2(H2+K2+L2)根据直角坐标系中直线方向余弦的性质：a2(1+1

-2cos2

)=

2(H2+K2+L2)43而1

-cos2

＝2sin2

所以：立方晶系中有面间距公式：故，有：2dsin

=n

44

2.4X射线衍射方法（透射及背反射劳埃法）劳埃法实验条件：连续X射线照射、单晶样品功能：测定晶体的对称性、确定晶体的取向和单晶的定向切割45周转晶体法摄照时让晶体绕选定的晶向旋转，转轴与圆筒状底片的中心轴重合。◆特点是入射线的波长

不变，而依靠旋转单晶体以连续改变各个晶面与入射线的

角来满足布拉格方程的条件。◆实验条件：单色X射线、转轴单晶样品46功能：通过周转晶体法可确定晶体在旋转轴方向上的点阵周期，通过多个方向上点阵周期的测定，即可确定晶体的结构。47粉末法利用晶粒的不同取向来改变

，以满足布拉格方程。◆主要特点在于试样获得容易、衍射花样反映晶体的信息全面，可以进行物相分析、点阵参数测定、应力测定、织构、晶粒度测定等。◆4849

2.5倒易点阵与厄瓦尔德（P.P.Ewald）图解问题的提出

ABOO’C1/1/1/dhkl)反射球（Ewald球）Hhkl50

2.5倒易点阵与厄瓦尔德（P.P.Ewald）图解问题的提出ABO1/dhkl反射球（Ewald球）Hhkl51

2.5倒易点阵与厄瓦尔德（P.P.Ewald）图解问题的提出ABO1/dhkl反射球（Ewald球）Hhkl521.倒易点阵的定义倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间（几何）点（的）阵（列），此对应关系可称为倒易变换。

定义：对于一个由点阵基矢a、b、c定义的点阵（可称正点阵），若有另一个由点阵基矢a*，b*，c*定义的点阵，满足则称由a*，b*，c*定义的点阵为a、b、c定义的点阵的倒易点阵。倒易点阵a·a*=b·b*=c·c*=1a·b*=a*·b=b·c*=b*·c=c·a*=c*·a=0P144532.例易点阵基矢表达式正空间点阵体积V=a•(b×c)，则

a*=b×c

/V

b*=c×a

/V

c*=a×b

/V倒易点阵矢量54按正点阵与倒易点阵互为倒易，类比上式，可直接得出由倒易点阵基矢表达正点阵基矢的关系为a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V*c=(a*×b*)/V*式中：V*——倒易阵胞体积(=a*•(b*×c*))

，55倒易点阵参数及

*（b*与c*夹角）、

*（c*与a*夹角）和

*（a*与b*夹角）由正点阵参数表达为a*=(bcsin

)/Vb*=(casin

)/Vc*=(absin

)/Vcos

*=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

56以立方晶系为例：立方晶系有a=b=c，

=

==90，V=a3；将其代入上式，则有

*=90

同理可得b*、c*、

*、

*，即

a*=b*=c*=1/a

*=

*=

*=90

573.倒易矢量及其基本性质

以任一倒易阵点为坐标原点（以下称倒易原点，一般取其与正点阵坐标原点重合），以a*、b*、c*分别为三坐标轴单位矢量。由倒易原点向任意倒易阵点（以下常简称为倒易点）的连接矢量称为倒易矢量，用r*表示。若r*终点（倒易点）坐标为（HKL）（此时可将r*记作r*HKL），则r*在倒易点阵中的坐标表达式为

r*HKL的基本性质为：r*HKL垂直于正点阵中相应的（HKL）晶面，其长度r*HKL等于(HKL)之晶面间距dHKL的倒数。NOXYZ(HKL)r*PHKL（图示）58acOa*c*b*晶体点阵基矢与倒易点阵基矢的关系

ba*⊥b和c，即⊥(100)面a*=1/d100b*⊥c和a，即⊥(010)面b*=1/d010c*⊥a和b，即⊥(001)面c*=1/d00159晶面与倒易矢量（倒易点）的对应关系d100d200(100)(200)000100200H100=1/d100H200=1/d200晶面倒易结点60abcO*a*b*c*100010001111011021O61d110r*110bab*a*000100010110r*110220倒易点阵与正点阵的关系简单点阵62衍射条件通过倒易点阵概念导出衍射矢量方程