新教材数学人教A版学案4-2-1指数函数的概念

4．2.1指数函数的概念必备知识·探新知基础知识知识点1指数函数函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．思考1：(1)为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?(2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，该函数无意义．③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.(2)①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.知识点2指数型函数模型形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．思考2：设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)．基础自测1．下列函数中一定是指数函数的是(C)A．y＝2x＋1 B．y＝x2C．y＝3－x D．y＝－2·3x[解析]只有y＝3－x＝(eq\f(1,3))x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．2．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%，5年后支取，本利和为人民币(B)A．2(1＋0.3)5万元 B．2(1＋0.03)5万元C．2(1＋0.3)4万元 D．2(1＋0.03)4万元3．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(eq\r(2))x．[解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(2)＝2得a2＝2，∴a＝eq\r(2)或－eq\r(2)(舍去)．∴f(x)＝(eq\r(2))x.关键能力·攻重难题型探究题型一指数函数的概念例1(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(B)A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(C)A．a＝1或2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1[分析]利用指数函数的定义进行判断．[解析](1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数；函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B．(2)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，解得a＝2，故选C．[归纳提升]1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．【对点练习】❶(1)下列函数中是指数函数的是(D)A．y＝2·(eq\r(2))x B．y＝xxC．y＝3－eq\s\up6(\f(1,x)) D．y＝(eq\r(3))x(2)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(C)A．a＝1或－1 B．a＝1C．a＝－1 D．a>0且a≠1[解析](1)由指数函数定义可知，函数y＝(eq\r(3))x是指数函数，故选D．(2)由条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,2－a>0，,2－a≠1，))解得a＝－1.题型二指数函数解析式例2(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，eq\r(2))，则f(－π)＝eq\f(\r(2),2)．(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，eq\f(1,4))，那么f(4)·f(2)＝64．[解析](1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则aπ＝eq\r(2)，∴f(－π)＝a－π＝eq\f(1,aπ)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则a－2＝eq\f(1,4)，∴a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(4)·f(2)＝24·22＝26＝64.[归纳提升]求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式．【对点练习】❷(1)若点(a，27)在函数y＝(eq\r(3))x的图象上，则eq\r(a)的值为(A)A．eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．0(2)若指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，eq\f(1,16))，则f(－eq\f(3,2))＝eq\f(1,8)．题型三指数型函数的实际应用角度1增长型指数函数模型例3随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(B)A．3000×1.06×7元 B．3000×1.067元C．3000×1.06×8元 D．3000×1.068元[解析]由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3000×(1＋6%)7＝3000×1.067，故选B．角度2衰减型指数函数模型例4调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过__________小时后才可以驾驶机动车．(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]设n小时后才可以驾车，据题意得0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤eq\f(1,4)，∴n≥2，即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B．[归纳提升]关于指数型函数模型设原有量为N，每次的增长(衰减)率为p，经过x次增长(衰减)，该量增长到y，则y＝N(1±p)x(x∈N)．【对点练习】❸已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6400元/件，那么2020年底的生产成本为2_700元/件．[解析]2020年底生产成本6400×(1－25%)3＝2700元．课堂检测·固双基1．下列函数中，是指数函数的是(D)A．y＝(－8)xB．y＝2x2－1C．y＝axD．y＝(2a－1)x(a>eq\f(1,2)，且a≠1)2．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为(B)A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2xC．f(x)＝(eq\f(1,2))x D．f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,3))3．(2020·吉林乾安七中高一期中测试)指数函数f(x)的图象经过点(2，4)，则f(3)＝8．[解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由题意，得4＝a2，∴a＝2.∴