新教材2023版高中数学课时作业四几个基本函数的导数湘教版选择性必修第二册

课时作业(四)几个基本函数的导数练基础1.已知函数f(x)＝t2，g(x)＝2cosx，则()A．f′(x)＝0，g′(x)＝－2sinxB．f′(x)＝2t，g′(x)＝－2sinxC．f′(x)＝0，g′(x)＝2sinxD．f′(x)＝2t，g′(x)＝2sinx2．已知f(x)＝x3－2xf′(1)，则f′(2)等于()A．11B．10C．8D．13．曲线y＝eq\f(9,x)在点(3，3)处的切线的倾斜角为________.4．分别求出曲线y＝eq\r(x)在(1，1)处与(2，eq\r(2))处的切线方程．提能力5.已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,e)D．－eq\f(1,e)6．(多选)直线y＝eq\f(1,2)x＋b能作为下列函数图象的切线的是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝x3C．f(x)＝x2D．f(x)＝－x27．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切于点P，则a＝________，P的坐标为________．8．求与曲线y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．9．设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax(a>0)，g(x)＝bx2＋2b－1.若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值，并写出切线l的方程．培优生10.设f1(x)＝sinx，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2022(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx11．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx．是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．课时作业(四)几个基本函数的导数1．解析：因为f(x)＝t2，g(x)＝2cosx，则f′(x)＝0，g′(x)＝－2sinx.答案：A2．解析：由题意，函数f(x)＝x3－2xf′(1)，可得f′(x)＝3x2－2f′(1)，令x＝1，可得f′(1)＝3－2f′(1)，解得f′(1)＝1，所以f′(x)＝3x2－2，所以f′(2)＝3×22－2＝10.答案：B3．解析：∵y′＝－eq\f(9,x2)，∴y′|x＝3＝－1，∴曲线在点(3，3)处的切线斜率为－1，即tanα＝－1，其中α为倾斜角，因为α∈[0，π)，所以α＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)4．解析：f′(x)＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2\r(x))，f′(1)＝eq\f(1,2)，所以曲线y＝eq\r(x)在(1，1)处的切线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，化简为x－2y＋1＝0；同理f′(2)＝eq\f(\r(2),4)，所以曲线y＝eq\r(x)在(2，eq\r(2))的切线方程为y－eq\r(2)＝eq\f(\r(2),4)(x－2)，化简为x－2eq\r(2)y＋2＝0.5．解析：设切点为(x0，lnx0)，对函数y＝lnx求导，则y′＝eq\f(1,x)，所以切线斜率为k＝eq\f(1,x0)，又因为直线y＝kx是y＝lnx的切线，所以lnx0＝eq\f(1,x0)·x0＝1⇒x0＝e，所以k＝eq\f(1,e).答案：C6．解析：若f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(x)＝－eq\f(1,x2)，令－eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2)，无解，故排除A；若f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，令3x2＝eq\f(1,2)，得x＝±eq\f(\r(6),6)，即曲线在点(eq\f(\r(6),6)，eq\f(\r(6),36))与点(－eq\f(\r(6),6)，－eq\f(\r(6),36))处的切线斜率为eq\f(1,2)，B正确；若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令2x＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(1,4)，故曲线在点(eq\f(1,4)，eq\f(1,16))处的切线斜率为eq\f(1,2)，C正确；若f(x)＝－x2，则f′(x)＝－2x，令－2x＝eq\f(1,2)，得x＝－eq\f(1,4)，故曲线在点(－eq\f(1,4)，－eq\f(1,16))处的切线斜率为eq\f(1,2)，D正确．答案：BCD7．解析：曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.设其与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切于点(x0，axeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－a)，则g′(x0)＝2ax0＝1，且axeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－a＝x0＋1.解得x0＝－1，a＝－eq\f(1,2)，切点坐标为(－1，0).答案：－eq\f(1,2)(－1，0)8．解析：因为y＝eq\r(3,x2)，所以y′＝(eq\r(3,x2))′＝(xeq\f(2,3))′＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)，所以f′(8)＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为eq\f(1,3).所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.9．解析：∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax(a>0)，g(x)＝bx2＋2b－1，∴f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx.∵曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，∴f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即eq\f(1,3)－a＝b＋2b－1，且1－a＝2b，解得a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,3)，得切点坐标为(1，0).∴切线方程为y＝eq\f(2,3)(x－1)，即2x－3y－2＝0.10．解析：∵f1(x)＝sinx，∴f′1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝cosx，f3(x)＝f′2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f4(x)＝f′3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f5(x)＝f′4(x)＝(－cosx)′＝sinx，由此可知f2022(x)＝f2(x)＝cosx.答案：C11．解析：不存在，理由如下：设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0).由于y