18.1.2 平行四边形的判定 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第18章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定（第一课时）人教版数学八年级下册复习回顾，引入新知练习如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．（1）已知AB=5，求DC的长；（2）已知∠DAB=60°，求∠BCD的度数；（3）已知AC=8，BD=5，求CO和BO的长．DACBO解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

AB=DC．

又AB=5，

∴

DC=5．DACBO解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠DAB．

又∠DAB=60°，

∴∠BCD=60°．DACBO解：（3）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

CO=AC，BO=

BD．

又AC=8，BD=5，

∴

CO=4，BO=2.5．DACBO平行四边形的性质定理性质定理1

平行四边形的对边相等．性质定理2平行四边形的对角相等．性质定理3平行四边形的对角线互相平分．性质定义判定平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．DABC∵

AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．性质判定ABC等腰三角形

互逆命题如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．题设结论等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．（简写成“等角对等边”)等边对等角等角对等边互逆定理等腰三角形的性质定理等腰三角形的判定定理互逆关系平行线的判定和性质等腰三角形的性质和判定勾股定理及其逆定理平行四边形的性质性质定理1

平行四边形的对边相等．性质定理2平行四边形的对角相等．性质定理3平行四边形的对角线互相平分．如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别相等．如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对角分别相等．如果一个四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分．题设结论平行四边形两组对边分别相等平行四边形两组对角分别相等平行四边形对角线互相平分平行四边形的性质题设结论两组对边分别相等平行四边形两组对角分别相等平行四边形对角线互相平分平行四边形获得猜想，规范证明猜想1

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．猜想2

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．猜想3

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

猜想1

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．题设结论已知：如图，在四边形ABCD中，

AB=CD，AD=BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．如果一个四边形两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．DABC分析：两组对边分别平行四边形ABCD是平行四边形DABC两角相等（或互补）全等三角形边等（已知）方法一：AB=CD，AD=BCDABC连接BD（公共边）方法一：AB=CD，AD=BCDABC1234△ABD≌△CDB∠2=∠1，∠3=∠4AB∥DC，AD∥BC四边形ABCD是平行四边形证明：连接BD．∵

AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB．∴∠2=∠1，∠3=∠4．∴

AB∥DC，AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．DABC1234证明：连接AC．∵

AB=CD，AD=BC，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴

AD∥BC，AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．1234DABC方法二：AB=CD，AD=BC△ABD≌△CDB∠2=∠1，∠3=∠4AB∥DC，AD∥BC∠ABC+∠C=180°∠ADC+∠C=180°连接BD（公共边）DABC1234四边形ABCD是平行四边形证明：连接BD．∵

AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB．∴∠2=∠1．DABC1234∵∠1+∠4+∠C=180°，∴

∠2+∠4+∠C=180°．即∠ABC+∠C=180°．∴

AB∥CD．同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．DABC1234判定定理1

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．∵

AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．DABC平行四边形的对边相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形互逆定理性质定理判定定理两组对边分别平行两组对边分别相等四边形判定平行四边形的方法平行四边形已知：如图，在四边形ABCD中，

∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．

猜想2

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．题设结论如果一个四边形两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．DABC分析：两组对边分别平行四边形ABCD是平行四边形两组对边分别相等定义判定定理1DABC分析：AD∥BC，AB∥DC∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=180°∠B+∠C=180°（已知）∠A+∠B+∠C+∠D=360°四边形ABCD是平行四边形DABC证明：∵多边形ABCD是四边形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∠A=∠C，∠B=∠D，∴

2∠A+2∠B=360°．∴

∠A+∠B=180°

．同理∠B+∠C=180°．∴

AD∥BC，AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．DABC判定定理2

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

∵

∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．DABC平行四边形的对角相等两组对角分别相等的四边形是平行四边形互逆定理性质定理判定定理平行四边形两组对边分别平行两组对边分别相等四边形两组对角分别相等判定平行四边形的方法已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD

相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．猜想3

对角线互相平分的四边形是平行四边形．题设结论如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．DACBOOA=OCOD=OBAD∥BC（同理AB∥DC）DACBO（已知）∠AOD=∠COB△AOD≌△COB∠OAD=∠OCB方法一：四边形ABCD是平行四边形证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴

∠OAD=∠OCB．∴

AD∥BC．同理AB∥DC．∴

四边形ABCD是平行四边形．DACBOOA=OCOB=ODAD=CB（同理AB=CD）DACBO（已知）∠AOD=∠COB△AOD≌△COB方法二：四边形ABCD是平行四边形证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴

AD=CB．同理AB=CD．∴

四边形ABCD是平行四边形．DACBO判定定理3

对角线互相平分的四边形是平行四边形．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．DACBO平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形互逆定理性质定理判定定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．

平行四边形的判定定理：平行四边形两组对边分别平行两组对边分别相等四边形两组对角分别相等判定平行四边形的方法对角线互相平分

例

如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O

，

E，F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．运用知识，巩固提升DABCOEF分析：BE∥DFDE∥BFBE=DFDE=BF∠EBF=∠EDF∠BED=∠BFDBO=DOEO=FODABCOEF四边形BFDE是平行四边形边角对角线□ABCDBO=DO，AO=CO方法一：EO=FOAE=CF(已知)DABCOEF四边形BFDE是平行四边形证明：∵

四边形ABCD是平行四边形，∴

AO=CO，BO=DO．∵

AE=CF，∴

AO−AE=CO−CF．∴EO=FO．又BO=DO，

∴

四边形BFDE是平行四边形．DABCOEF□ABCD（已知）AD∥BC方法二：AE=CF(已知)∠DAC=∠BCAAD=BC△AED≌△CFBED=FB(同理BE=DF)DABCOEF四边形BFDE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AD=BC，AD∥BC

．∴∠DAC=∠BCA．∵

AE=CF，∴

△AED≌△CFB．∴

ED=FB．同理

BE=DF．∴四边形BFDE是平行四边形．DABCOEF平行四边形的判定边角对角线方法多能判断会选择两组对边分别平行两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分

练习

如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？AFE

DCB

练习

如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？AB=DC，AD=BC分析：AD∥BC，AB∥DCAFE

DCB四边形ABCD是平行四边形

练习

如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？AFE

DCB分析：DC=EF，DE=CFDE∥CF，DC∥EF四边形DCFE是平行四边形

练习

如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？解：∵AB=DC，AD=BC，∴

四边形ABCD是平行四边形．∴

AB∥DC，AD∥BC．∵

DC=EF，DE=CF，∴

四边形DCFE是平行四边形．∴

DE∥CF，DC∥EF．AFE

DCB

练习

如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？解：综上所述，图中互相平行的线段有AB∥DC∥EF，AD∥BC，DE∥CF

．AFE

DCB反思回顾，总结提升判定性质定义边角对角线两组对边分别平行两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分数量关系位置关系互逆平行四边形课后作业1．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分

别是OA，OC的中点．求证BE=DF．AEF

DCBO

课后作业2．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE

平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F．

求∠1的大小．AEF

DCB1

第18章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定(第二课时）人教版数学八年级下册边角对角线数量关系位置关系边角对角线复习回顾，引入新知判定

性质

数量关系位置关系平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．复习回顾，引入新知DACBOAB∥DCAD∥BC四边形ABCD是平行四边形边AB=DCAD=BC角∠DAB=∠BCD∠ADC=∠CBA对角线BO=DOAO=CO两组两组两组两组获得猜想，规范证明猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

如果一个四边形一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．

题设结论已知：如图，在四边形ABCD中，

AB∥CD，AB=CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．DABC分析两组对边分别平行一个四边形是平行四边形两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分一组对边平行且相等DABC方法一：AB∥CDBC=DAAB∥CDDABC12□ABCD方法一：AB=CD△ABC≌△CDA∠1=∠2

连接AC∠3=∠4AB∥CD□ABCD方法二：△ABC≌△CDA∠1=∠2

连接ACDABC1243BC∥ADAB=CD连接AC△ABC≌△CDA∠3=∠4，∠B=∠DAB∥CDDABC12∠1=∠2

□ABCD方法三：43∠BAD=∠DCBAB=CD连接AC，BD△AOB≌△CODAO=CO，BO=DOAB∥CD∠1=∠2（∠AOB=∠COD）□ABCD方法四：ODABC21AB=CD证明：连接AC．∵AB∥CD，∴∠1=∠2．又

AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴BC=DA．∴四边形ABCD是平行四边形．DABC12方法一判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

∵

AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．DABC例

如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．运用知识，巩固提升DABCEF

分析DABCEF

AB=CD，AB∥CD□ABCDE是AB中点F是CD中点EB∥FDEB=AB，FD=CD□EBFDEB=FD证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AB=CD，EB∥FD．又

EB=AB，FD=CD，∴

EB=FD．

∴

四边形EBFD是平行四边形．DABCEF

平行四边形一组对边位置关系数量关系平行相等判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．四边形四边形边角对角线两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分平行四边形平行四边形的判定方法练习如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，在AB上截取BF=AE，试猜想EF与BD的关系，并证明你的结论．ABEFCDABEFCDAD为△ABC的角平分线分析DE∥AB∠BAD=∠DAC∠BAD=∠ADE∠DAC=∠ADEAE=DE（已知）（已知）ABEFCD分析BF=AEAE=DEBF=DE，DE∥AB（已知）BF∥DE□BDEFEF=BD，

EF∥BD（已证）ABEFCD猜想：EF=BD，EF∥BD．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE．∴

∠DAC=∠ADE．∴

AE=DE．ABEFCD∵BF=AE，∴BF=DE．又

BF∥DE，∴四边形BDEF是平行四边形．∴

EF=BD，EF∥BD．四边形边角对角线两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分平行四边形位置关系数量关系练习如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．求证：四边形AFCE是平行四边形．AFDCBEAE∥CF思路一一组对边平行且相等对角线BDAE⊥BD，CF⊥BD思路二对角线互相平分点E，F在BD上方法一：AFDCBE□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AD∥BC∠ADB=∠CBDAD=BC△AED≌△CFB证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AD∥BC，AD=BC．∴∠ADB=∠CBD．∵

AE⊥BD，CF⊥BD，∴

∠AEF=∠CFE=90°，∠AED=∠CFB=90°．AFDCBE∴

△AED≌△CFB．∴AE=CF．又∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF．∴

四边形AFCE是平行四边形．AFDCBE□ABCDAFDCBE（已知）方法二：□ABCDAO=CO(∠AOE=∠COF)EO=FO△AEO≌△CFOAFDCBEO

□AFCE（已知）AE⊥BDCF⊥BD（已知）连接AC方法二：∠AEO=∠CFO证明：连接AC交BD于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AO=CO．∵

AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO=∠CFO=90°．AFDCBEO

∵

∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO．∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．AFDCBEO

方法一：AFDCBE□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AD∥BC∠ADB=∠CBDAD=BC△AED≌△CFB方法三：□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AFDCBEAB∥CD∠ABD=∠CDBAB=CD△AEB≌△CFD练习如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．（1）已知∠A=∠B，求证AD=BC；（2）已知AD=BC，求证∠A=∠B．ADCB练习如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．

（1）已知∠A=∠B，求证AD=BC；ADCB思路一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．思路二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．ADCBE过点D作DE∥CB，交AB于点E．ADCBE在AB上截取线段EB，使EB=DC，连接DE．方法一：ADCB

AD=ED∠A=∠B（已知）AB∥DC（已知）DE∥CBAD=BC□DEBCADCB1

EED=BC∠1=∠B∠A=∠1方法一：证明：过点D作DE∥CB，交AB于点E．∴∠1=∠B．∵∠A=∠B，∴∠A=∠1．∴

AD=ED．ADCB1

EADCB1

E∵DE∥CB，EB∥DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴

ED=BC．∴AD=BC．ADCB方法二：∠A=∠1ADCB1

EED∥BC∠A=∠B（已知）∠B=∠1ED=BCAB∥DC(已知)□DEBCAD=BC方法二：EB=DCAD=ED证明：在AB上截取线段EB，使