28.1　锐角三角函数 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数28.1

锐角三角函数(第1课时)学习新知问题思考

意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1

m.1972年比萨地区发生地震，这座高54.5

m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2

m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险.当地从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8

cm.你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度吗?为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35

m，需要准备多长的水管?

[在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35

m，求AB(如右图所示)]思考一(1)你能不能把该实际问题转化为几何语言?(2)你能求出AB的长度吗?为什么?(根据直角三角形中30°的锐角对应的直角边等于斜边的一半，可得AB=2BC=70

m)

(3)计算题目中∠A的对边与斜边的比是多少.(4)在该题目中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管?此时的值是多少?(需要准备100

m长的水管，)

(5)出水口的高度改变，∠A不变时，∠A的对边与斜边的比是否变化?(不变，都等于)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.(

)

(1)如下图所示，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，你能计算出∠A的对边与斜边的比

吗?(2)通过计算，你能得到什么结论?【结论】

在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.思考二

思考三

【猜想】

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?如图所示，Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么与有什么关系?用语言叙述你的结论.由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都不变，是一个固定值.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin

A，即sin

A=(1)当∠A=30°或∠A=45°时，∠A的正弦为多少?(当∠A=30°时，sinA=sin30°=；当∠A=45°时，sinA=sin45°=.)

(4)sin

A有单位吗?(2)∠A的正弦sin

A表示的是sin与A的乘积还是一个整体?(sin

A表示的是一个整体)(3)当∠A的大小变化时，sin

A是否变化?(sin

A随着∠A的大小变化而变化)(sin

A是一个比值，没有单位)(5)∠B的正弦怎么表示?(6)要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和斜边)(教材例1)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sin

A和sin

B的值.思考:

(1)求sin

A实际上要确定什么?依据是什么?sin

B呢?

(2)sin

A，sin

B的对边和斜边是已知的吗?

(3)直角三角形中已知两边如何求三角形的第三边?解：（1）Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABCABC34135

(1)正弦是一个比值，没有单位.

(2)正弦值只与角的大小有关，与三角形的大小无关.

(3)sin

A是一个整体符号，不能写成sin

·A.

(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC.

(5)sin2A表示(sin

A)2，不能写成sin

A2.[知识拓展]

检测反馈1.如图所示，△ABC的顶点都是正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的格点，则sin∠ABC等于(

)解析:如图所示，过点A向BC引垂线，与BC的延长线交于点D.在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，∴AB=

，∴sin∠ABC=

.故选C.CA.B.C.D.

2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(

)

A.不变

B.缩小为原来的

C.扩大为原来的3倍

D.不能确定解析:因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦值也不变.故选A.A3.在ABC中，∠C=90°，sin

A=，AB=20，则BC=

.

解析:∵AB=20，sin

A=，∴sin

A=

，∴BC=×20=12.故填12.124.如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=8

cm，sin

A=，则菱形ABCD的面积是

cm2.

解析:在菱形ABCD中，DE⊥AB，在Rt△DEA中，DE=8cm，sinA=，则，则AD=10cm.所以AB=AD=10cm，所以菱形ABCD的面积=DE×AB=8×10=80(cm2).故填80.805.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，且sin

B=

，试分别求出AC，AB的值.解:在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴sin

B=

.设AC=3x，则AB=5x.又AB2=AC2+BC2，

∴(5x)2=(3x)2+62=9x2+36，即25x2=9x2+36，

∴x=

，∴AC=3x=

，AB=5x=

.人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数28.1

锐角三角函数(第2课时)学习新知问题思考观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.【思考】

在不同的直角三角形中，当锐角A的度数相同时，它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?已知:如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α.证明:由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，【思考】

大家能不能得出锐角B的度数一定时，∠B的邻边与斜边、∠B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?1.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.

2.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ABC邻边b对边a斜边c

当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即

把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin

A,cos

A,tan

A的值.【思考】

(1)根据余弦、正切的定义,要求cos

A,tan

A的值必须求出哪条边的长?

(2)怎样求出AC的长?(补充拓展)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sin

A=，求cos

A，tan

B的值.【解析】(1)已知sinA和BC的值，根据正弦定义，可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?

(3)根据余弦、正切定义，你能求出cos

A，tan

B的值吗?(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC.[知识拓展]

(1)余弦和正切都是一个比值，没有单位.（2)余弦值和正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关.(3)cos

A，tan

A都是一个整体符号，不能写成cos·A，tan·A.检测反馈1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cos

A的值是(

)

A.

B.

C.

D.4解析:根据余弦定义可得cos

A=.故选B.B2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则下列选项正确的是(

)A.sin

A=

B.cos

A=

C.tan

A=

D.以上都不对解析:由勾股定理可得BC==5，∴sin

A=

，cos

A=

，tan

A=

.故选B.B3.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tan

B'的值为

.

解析:由旋转可得∠B'=∠B，所以tan

B'=tan

B=.故填.4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，cos

A=

，AB=12，求△ABC的面积.解:∵cos

A=

，AB=12，∴AC=4

.由勾股定理可得BC=

∴S△ABC=

AC·BC=

×4

×4

=24.人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数28.1

锐角三角函数(第3课时)学习新知问题思考如图所示，这是一块三角形草皮，∠A=60°，AB=2米，AC=1.8米，那么这块三角形的草皮面积为多少呢?动手操作:画出含有30°，45°角的直角三角形，分别求出30°，45°，60°角的所有三角函数值.

锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana【思考】观察表格中特殊角的三角函数值，你能发现什么结论?(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin

30°=cos

60°，sin

60°=cos

30°，sin

45°=cos

45°，故sin

α=cos

(90°-α)，cos

α=sin

(90°-α)，其中α为锐角.(3)0<sin

A<1，0<cos

A<1.例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）解：（1）cos260°＋sin260°＝1（2）＝0(1)你知道cos260°与sin260°表示的意义吗?

(cos260°表示(cos

60°)2，sin260°表示(sin

60°)2)(2)cos

60°，sin

60°，cos

45°，sin

45°，tan

45°各等于什么值?例2（1）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数．解：在图中，ABC（2）如图所示，AO是圆锥的高，OB是底面半径，，求α的度数．解：

在图中，ABO【归纳】

要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊值，那么我们就可以求出这个角的度数.(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果.[知识拓展]

(2)对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，15°，22.5°，75°角等.(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°，45°，60°角相关联的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答.检测反馈1.计算3tan

30°的值等于(

)

A.

B.3

C.

D.解析:3tan30°=3×=.故选A.2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin

A=

，且∠B=90°-∠A，则sin

B等于(

)

A.

B.

C.

D.1解析:∵sin

A=，∴∠A=30°，又∠B=90°-∠A，∴∠B=60°，∴sin

B=sin60=.故选C.CA3.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin

A=

，cos

B=

，则△ABC的形状为

三角形.

解析:∵sinA=，cos

B=，∴∠A=30°，∠B=45°，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=105°，∴△ABC为钝角三角形.故填钝角.4.计算.

(1)2sin

30

-cos

45°;

(2)tan

30°-sin

60°·sin

30°;

(3).解：钝角(1)2sin30°-cos45°(2)tan

30°-sin

60°·sin

30°人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数28.1

锐角三角函数(第4课时)学习新知问题思考如图所示，工件上有一V形槽，AC=BC.测得它的上口宽AB为20

mm，深CD为19.2

mm，求V形角(∠ACB)的大小.

根据题意可得∠ACB=2∠ACD，在Rt△ACD中，tan∠ACD=

≈0.5208.∠ACD的正切值不是特殊值，我们能不能求这个角呢?用计算器求任意锐角的三角函数值求出下列各角的三角函数值.

(1)sin18°；

(2)cos

21°28'30″；

(3)tan30°36'.解:(1)sin

18°≈0.309016994.

(2)cos

21°28'30″≈0.930577395.

(3)tan

30°36'≈0.591398351.已知锐角的三角函数值求角度

已知下列锐角三角函数值，求出其对应的锐角的度数.

(1)sin

A=0.5018;

(2)cos

A=0.707;

(3)tan

A=1.280.

解：(1)约为30.12°或30°7'9″.

(2)约为45.01°或45°0'31″.

(3)约为52°.用计算器求出下列各角的三角函数值，说明你的发现，并尝试验证.

(1)sin

62°25'30″；(2)sin80°；

(3)sin

12°25'；

(4)cos27°34'30″;

(5)cos10°；

(6)cos77°35'.【结论】

(1)锐角α的正弦值随着α的增大而增大;

(2)sin

α=cos(90°-α)，其中α为锐角.[知识拓展]

(1)用计算器可以求出锐角的正弦值、余弦值、正切值，由于计算器的类型不同，因此使用方法也不同，所以要根据计算器的使用说明书来选择按键顺序.

(2)使用计算器求出的值多数是近似值，具体计算中必须按要求确定近似值.

(3)由于不同计算器的操