吉林省普通高中友好学校联合体2023-2024学年高一上学期第三十七届基础年段期末联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1吉林省普通高中友好学校联合体2023-2024学年高一上学期第三十七届基础年段期末联考数学试题一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，又，由并集的运算可知：.故选：.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗全称量词命题的否定是存在量词命题，故原命题的否定是：，.故选：D.3.已知，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由结合函数是上的增函数，可得，由结合函数是上的减函数，可得，故“”是“”的充分不必要条件.故选：C.4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，连续函数，且单调递增，由零点存在性定理得：的零点所在区间为.故选：C.5.设函数，（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗.故选：C.6.半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为（）A.8 B.6 C.5 D.4〖答案〗D〖解析〗不妨设扇形的弧长为，所对的圆心角的弧度数为，则有，即，解得，所以该扇形圆心角的弧度数为4.故选：D.7.若，则下列大小关系正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故选：C.8.角的终边经过点，且，则（）A. B. C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗因为角的终边经过点，，所以，解得，所以，.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；选项B：当时，，B错误；选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；选项D：，，两边同除以得，，D正确.故选：ACD.10.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质（）A.周期为 B.图象关于直线对称C.图象关于点对称 D.在上单调递增〖答案〗AD〖解析〗由题意可得，所以的最小正周期，故A正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；因为，所以的图象不关于点对称，故C错误；因为时，，所以在上单调递增，故D正确.故选：AD.11.已知函数的图像经过点，则（）A.的图像经过点B.的图像关于原点对称C.若，则D.当时，恒成立〖答案〗BCD〖解析〗函数的图像经过点，，得，∴函数，由，故A错误；函数为奇函数，它的图像关于原点对称，故B正确；若，函数在上单调递减，则，即，故C正确；当时，，∴恒成立，故D正确.故选：BCD.12.下列四个结论中，正确的是（）A.当时，函数的最小值为3B.若，y>1，x+y=4，则函数的最小值为4C.当时，函数有最小值为D.当时，函数的是大值为0〖答案〗ABC〖解析〗对于A：，设，则，由于，所以，因此，故函数在上单调递增，所以当时取最小值3，A正确；，当且仅当时取等号，所以B正确；，所以C正确；当时，，∵，∴，当且仅当时，等号成立，此时有最小值，所以D错误．故选：ABC.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则＝_____．〖答案〗3〖解析〗函数为定义在上的奇函数，则.故〖答案〗为：3.14.不等式的解集为__________．〖答案〗{x|-a＜x＜3a}〖解析〗，因为，，不等式的解集为.故〖答案〗为：.15.数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则_________.〖答案〗2〖解析〗.故〖答案〗为：2.16.已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是___________；若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗时，函数的图象如下图所示：要使在区间上单调递增，则，解得，又，所以的取值范围是；要使关于的方程有三个不同的根，则，即，所以的取值范围是.故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明计算步骤.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1），sinθ＝2cosθ，.（2）原式﹒18.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求实数取值范围．解：（1）当时，，，因此，，∴.（2），①当时符合题意，此时，即；②当时，要满足，则，综上所述，当时，实数的取值范围是．19.已知函数，且.（1）求a的值及的定义域；（2）求不等式的解集.解：（1）因为，解得，由题意可得，解得，故的定义域为.（2）不等式等价于，即，由于在上单调递增，则，解得，故不等式的解集为.20.为了加强“疫情防控”建设，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室.由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米（），公司甲的报价为y元.（1）试求y关于x的函数〖解析〗式；（2）现有公司乙也要参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由.解：（1）由题意，得：，即y关于x的函数〖解析〗式为.（2）对于公司甲：，当且仅当，即时取等号，即当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的报价最低为28800元；对于公司乙：当时，，即公司乙的最高报价为26000元，因为所以无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙高，故公司乙竞标成功.21.已知函数是定义在上的函数，恒成立，且（1）确定函数的〖解析〗式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式．解：（1）由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数.（2）设