河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以角与角终边相同.故选：C.2.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得，，∴，∴．故选：C．3.已知函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得．故选：A.4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易知函数在其定义域上连续不断，且，则函数的零点在区间上．故选：B．5.“”的一个必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，要成为“”的必要条件，则是其对应的集合的真子集，而均不满足题意，因为是的真子集，所以“”的一个必要条件是“”.故选：C.6.设，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，．故选：A．7.已知，点都在二次函数的图象上，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗二次函数，其图象的对称轴方程为，而，所以，即，当时，是单调增函数，因为，所以，所以，即，综上，．故选：D．8.若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点，当时，函数至多两个零点，因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点，当时，令，可得，必有，解得，所以，，解得；当时，由，可得或，所以，，解得，综上所述，实数取值范围为.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角和的终边关于x轴对称，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为角和终边关于x轴对称，可得，对于A，由，A正确；对于B，由，B错误；对于C，由，C正确；对于D，由，D错误.故选：AC.10.下列说法正确的是（）A.若，则有最小值2 B.若，则有最大值2C.若，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗，则，当且仅当时等号成立，A正确；，．，当且仅当，即时等号成立，因此的最大值是，B错；由不等式的性质知C正确，因为，所以，所以，即，D正确.故选：ACD．11.关于幂函数，下列结论正确的是（）A.的图象经过原点 B.为偶函数C.的值域为 D.在区间上单调递增〖答案〗BC〖解析〗由题意，，所以，即，对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误；对于B，因为的定义域为，，故为偶函数，B正确；对于C，由于，故值域为，C正确；对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误．故选：BC．12.设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数则称为的“界函数”.若函数，则（）A. B.的最小值为C.在上单调递减 D.为偶函数〖答案〗ABD〖解析〗根据题意，由，解得，，所以，故A正确；当时，，且在上单调递增，在上单调递减，，所以，即的值域为，故B正确，C错误；因为，则的图象如图所示：由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为________.〖答案〗〖解析〗由扇形面积，得，解得，所以该扇形的圆心角（正角）.故选：.14.已知集合，若，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗，，因为，所以，所以的范围是.故〖答案〗为：．15.函数的单调递增区间为______________.〖答案〗〖解析〗，由，得，当时，单调递减，单调递增；当时，单调递减，单调递增，所以的单调增区间为．故〖答案〗为：．16.已知函数与函数的图象交于三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.〖答案〗〖解析〗不妨记，函数与是奇函数且关于坐标原点对称，易知两个函数的图象均以点为对称中心，所以三个交点中一个必是点，另外两个点关于点对称，不妨记，设，所以，即，解得，，则，所以此三点中最远的两点间的距离为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角的终边经过点．（1）求，的值；（2）求的值．解：（1）由，故角的终边经过点，所以，.（2）.18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知均为正数，且，求证：；（2）已知，求证：.解：（1）因为，所以，又因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以．（2），因为，所以，所以，所以，即．19.已知函数．（1）求证：函数是定义域为的奇函数；（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明．解：（1）函数的定义域为，对于，都有，且，所以函数是定义域为的奇函数．（2）函数在上单调递增，证明如下：对于，且，，因为，所以，则，则，即，故函数在上单调递增.20.已知（a，b均为常数），且．（1）求函数的〖解析〗式；（2）若对，不等式成立，求实数m的取值范围．解：（1）由，得，即，由，可得解得所以.（2）由，可得，所以对，都有成立，由于，所以在上单调递减，且，因此当时，，要使，则，且，解得，故实数m的取值范围为．21.已知函数和的图象关于原点对称，且.（1）求函数的〖解析〗式；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.解：（1）设点是图象上任意一点，则关于原点的对称点在函数的图象上，所以，即，所以．（2），①当时，在上单调递减，满足题意；②当时，要使上单调递减，由二次函数的性质可得，解得，所以；③当时，要使在上单调递减，由二次函数的性质可得，解得，所以，综上，实数的取值范围是．22.两县城和相距，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与对城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧的中点处，求垃圾处理厂对城和城的总影响度；（2）求垃圾