2020-2021学年浙江省温州市永嘉县东方外国语学校九年级（下）期末数学复习试卷一（附答案详解）

2020-2021学年浙江省温州市永嘉县东方外国语学校九年

级（下）期末数学复习试卷（1）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

八25

.36

D.1

2.如图，△力BC是边长为6的等边三角形，点。在边AB上，/人

4。=2,点E是BC上一点，连结DE,将CE绕点。逆时针尸。\

旋转60。得DF,连结CF,则CF的最小值为（）/

ADB

B.V3

C.2V3-2

D.6-3V3

3.已知二次函数y=/-4%+"（九是常数），若对于抛物线上任意两点

8（%2〃2）均有力>、2，则与，％2应满足的关系式是（）

A.与一2>%2—2B.—2V%2—2

C.|%i-2|>|%2-2|D.|%i"2|<|%2-2|

4.如图，矩形。4BC的顶点0在坐标原点，顶点4,C分别

在x,y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数y=久上为常Jg

数，k>0,x>0）的图象上，将矩形OABC绕点B逆时c'、、（

针方向旋转90。得到矩形BC'0'4',点。的对应点。恰好落3H-----今*X

在此反比例函数图象上.延长A。'，交x轴于点D,若四边形C'4。。'的面积为2,则

k的值为（）

A.V5+1B.V5-1C.2V5+2D.2V5-2

5.文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成

的许多图形的面积问题.如图所示称为达芬奇的“猫眼”，

可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为4B,C,D,

命所在圆的圆心为点/（或C）.若正方形的边长为2,则图中

阴影部分的面积为（）

A.V2B.2C.TT—1

6.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为百，点G,H,/,],

K,L依次在正六边形的六条边上，月SG=BH=CI=DJ=

EK=FL,顺次连结G,/,K,和H,J,L,则图中阴影部

分的周长C的取值范围为（）

A.6<C<6V3

B.3<C<3V3

C.3V3<C<6

D.3V3<C<6V3

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

7.如图,在矩形2BCD中=16,AD=9,线段PQ位于边4B上（AP<4Q）,PQ=2,

E为PQ中点，以E为顶点在矩形内作直角AFFG,其中4EFG=90。，EF=1,

sinzFE（?a|,当GF所在的直线与以CD为直径的圆相切时，AP的长度为.

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的面积______

10.如图，点4在第一象限，作4B_Lx轴，垂足为点8,反比

例函数y=1的图象经过48的中点C,过点4作AD〃x轴,

交该函数图象于点D.E是4c的中点，连结OE,将aOBE沿

直线OE对折到AOB'E,使OB'恰好经过点D,若B'D=

AE=1,贝味的值是.

11.如图，矩形4BCO和正方形EFGH的中心重合,AB=12,

BC=16,EF=分别延长PE,GF,HG和EH交48,

BC,CD,AD于点J,J,K,L.若tan乙4LE=3,则4/的

长为,四边形4/EL的面积为.

三、解答题(本大题共11小题，共88.0分)

12.如图，四边形4BCD中,4B=90°,AD//BC,AD=AC,

AB=6,BC=8.点P以每秒5个单位长度由点A沿线段

4c运动；同时，线段EF以相同的速度由CD出发沿方

向平移，与4C交于点Q，连结PE,PF.当点尸与点B重

合时，停止所有运动，设P运动时间为t秒.

(1)求证：△APE^J\CFP.

(2)当t<l时，若APEF为直角三角形，求t的值.

(3)作APEF的外接圆。。.

①当。。只经过线段4c的一个端点时，求t的值.

②作点P关于EF的对称点P',当P'落在CD上时，请直接写出线段CP'的长.

13.如图，在平面直角坐标系中，4(0,4),B(3,4),P为线段。4上一动点，过0,P,B三

点的圆交x轴正半轴于点C,连结力B,PC,BC,设OP=/n.

y

(1)求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形.

(2)连结PB,求tan/BPC的值.

(3)记该圆的圆心为M,连结。“，BM,当四边形P0M8中有一组对边平行时，求所

有满足条件的m的值.

(4)作点。关于PC的对称点0',在点P的整个运动过程中，当点。'落在△力PB的内部

(含边界)时，请写出m的取值范围.

14.某甜品店用4B两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售，制作每份甜品的原料

所需用量如表所示.该店制作甲款甜品x份，乙款甜品y份，共用去4原料2000克.

原料款式4原料(克)B原料(克)

甲款甜品3015

乙款甜品1020

(1)求y关于x的函数表达式.

(2)已知每份甲甜品的利润为a元(a正整数)，每份乙甜品的利润为2元.假设两款甜

品均能全部卖出.

①当a=3时，若获得总利润不少于220元，则至少要用去B原料多少克？

②现有B原料3100克，要使获利为450元且尽量不浪费原材料，甲甜品的每份利润

应定为多少元？

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15.一连锁店销售某品牌商品，该商品的进价是60元.因为是新店开业，所以连锁店决

定当月前10天进行试营业活动，活动期间该商品的售价为每件80元，据调查研究

发现：当天销售件数y1(件)和时间第天)的关系式为

2已知第天销售件数是件，第天销售件数是

yr=x+bx+c(<l<x<10),440644

件.活动结束后，连锁店重新制定该商品的销售价格为每件100元，每天销售的件

数也发生变化：当天销售数量先(件)与时间第双天)的关系为：

y2=2x+8(11<

x<31).

(1)求力关于％的函数关系式；

(2)若某天的日毛利润是1120元，求x的值；

(3)因为该连锁店是新店开业，所以试营业结束后，厂家给这个连锁店相应的优惠

政策：当这个连锁店日销售量达到60件后(不含60),每多销售1件产品，当日销售

的所有商品进价减少2元，设该店日销售量超过60件的毛利润总额为W,请直接写

出W关于x的函数解析式，及自变量x的取值范围：.

16.在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,BE14C于点E,点。是线段4C上的一点，以4。

为半径作圆0交线段4c于点G,设40=m.

(1)直接写出AE的长：AE=；

(2)取BC中点P,连接PE,当圆。与ABPE一边所在的直线相切时，求出m的长；

(3)设圆。交BE于点F,连接ZF并延长交BC于点

①连接GH,当=时，求ABFH的面积；

②连接DG,当tan/HFB=3时，直接写出。G的长，DG=.

17.已知如图，抛物线丫=一(/+£%+4交支轴于4、C两点，点。是支轴上方抛物线上

的点，以4,。为顶点按逆时针方向作正方形ADEF.

(1)求点4的坐标和抛物线的对称轴的表达式：

(2)当点尸落在对称轴上时，求出点。的坐标；

(3)连接。D交E尸于点G,记。A和EF交于点H,当△4FH的面积是四边形4QEH面积

的3时，则寰=•(直接写出答案)

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18.如图，抛物线y=ax2-bx+4与坐标轴分别交于4,

B,C三点，其中4-3,0),B(8,0),点。在％在轴上，

AC=CD,过点D作DE1x轴交抛物线于点E,点P,

Q分别是线段CO,CD上的动点，且CP=QD.

(1)求抛物线的解析式.

(2)记△APC的面积为Si，△PCQ的面积为S2,△QED的面积为S3,若S】+S3=4s2,

求出Q点坐标.

(3)连结4Q,则4P+AQ的最小值为.(请直接写出答案)

19.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点E是线段4B上的一个动点，经过4D,

E三点的。。交线段4c于点K,交线段C。于点H,连接DE交线段4c于点F.

(1)求证：AE=DH；

(2)连结DK,当DE平分乙4DK时，求线段DE的长；

(3)连结HK,KE,在点E的运动过程中，

①当线段。H,HK,KE中满足某两条线段相等，求所有满足条件的4E的长.

②当D4=AE时，连结04,记△40F的面积为^EFK的面积为S2,求尚的值.(

请直接写出答案)

(备用图)

20.如图，已知平面直角坐标系中，点C(3,4),以OC为边作菱形048C,且点4落在x轴

的正半轴上，点。为y轴上的一个动点，设。(0,m),连结DB,交直线OC于点E.

(1)填空：B的坐标为(),sin乙4。。=；

(2)当点。在y轴正半轴时，记ADE。的面积为Si，ABCE的面积为S2,当S1=S?时，

求m的值.

(3)过点。，0,4作OM,交线段OC于点F.

①当。M与菱形04BC一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值.

②当OC=DE0t,直接写出OE：EF的值.

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21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=；--|x交工轴

正半轴于点4"是抛物线对称轴上的一点，0M=5,过

点M作X轴的平行线交抛物线于点B,C(B在C的左边)，交

y轴于点。，连结OB,0C.

(1)求04。。的长.

(2)求证：乙BOD=^AOC.

(3)P是抛物线上一点，当NP0C=ND0C时，求点P的坐标.

22.如图，A.BA0=90°,AB=8,动点P在射线4。上，以PA为半径的半圆P交射线4。

于另一点C,CD〃BP交半圆P于另一点。，BE〃40交射线PD于点E,EF140于点

F,连结BD,设4P=m.

(1)求证：乙BDP=90°.

(2)若m=4,求BE的长.

(3)在点P的整个运动过程中.

①当月尸=3。尸时，求出所有符合条件的m的值.

②当tan/OBE=卷时，直接写出4CDP^ABDP面积比.

A0

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：设点4的横坐标为＞0）,则点B的坐标为（爪,0）,

把x=m代入y=得：y—|m,

则点4的坐标为：（mJ皿），线段4B的长度为jm,点。的纵坐标为

・・•点4在反比例函数y=g上，

・•・k=-m2,

4

即反比例函数的解析式为：y=—,

••・四边形4BCD为正方形，

•••四边形的边长为

点C,点。和点E的横坐标为7n+：m=；m,

44

把％=*代入旷=型得：

4,4%

5

y=/，

即点E的纵坐标为|m,

则EC=Sm,DE=-m--m=­m,

94936

DE_5

EC-4f

故选：A.

设点4的横坐标为＞0）,则点B的坐标为（科0）,把％=zn代入y=得到点4的坐

标，结合正方形的性质，得到点C,点。和点E的横坐标，把点力的坐标代入反比例函数

y=p得到关于m的k的值，把点E的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐

标，求出线段DE和线段EC的长度，即可得到答案.

本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握代入法和正方

形的性质是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质，分析出CF垂直4B时C尸有最小值是解

题的关键.把△CDB绕点。逆时针旋转60。，得到ACOB',过点C作CF'时，此时

的CF'就是CF最小值的情况.因为等边小CB4底边4B上的高（点C到4B的距离）为3遍，

根据;•累=等=£解得CF'值就是最小值.

CoO

【解答】

解：把△CDB绕点。逆时针旋转60。，得到△C'DB',

•:乙B=ABDB'=60°,所以B'在BC上，BB'=BD=4.

•••4C'B'D=60°,乙CB'C'=60°,

B'C'//AB.

过点C作CF'18'C'时，此时的CF'就是CF最小值的情况.

•••等边△CB4底边4B上的高（点C到AB的距离）为3次，

二冬=须=］解得CF'=b.

3V3CDO

即CF最小值为V5.

故选B.

3.【答案】C

【解析】解：•.・抛物线的对称轴为直线％=2,

而抛物线开口向上，

••.当4点到直线x=2的距离大于点B到直线x=2的距离时，yi>y2,

-

•••|xx-2|>|x22|.

故选：C.

先确定抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质判断4点到直线x=2的距离大于点B

到直线x=2的距离，然后对各选项进行判断.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也

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考查了二次函数的性质.

4.【答案】A

【解析】解：设则。4=3BA=p

•••矩形（MBC绕点B逆时针方向旋转90。得到矩形BC'O'A,

BC=BC=t,BA'=BA=^,

.­.AC'=^-t,

•1'。’点的坐标为（t+py—t）,

•・•点。的对应点O'恰好落在此反比例函数图象上.

变形得（A—产=%①，

•••四边形C'A。。'的面积为2,

•••7（7-0=2,即（｝2=1+2②，

②一①得严=2,

把£2=2代入②得q=k+2,

整理得/一2/c-4=0,解得七=1—遍（舍去），/c2=1+V5

即k的值为1+遍.

故选:A.

设利用旋转的性质得BC'=BC=t,BA'=BA=p则4C'=，-t,从而可表

示出O'点的坐标为（t。，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到（t+今6一

t）=k,再利用四边形CZ。。'的面积为2得到BE-t）=2,然后解关于鼠t的方程组即

可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（（k为常数，k力0）的图

象是双曲线，图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即町/=k.也考查了矩形的性质

和旋转的性质.

5.【答案】B

【解析】解：•••圆与正方形的各边均相切，切点分别为4B,C,D,

••.4B,C,。分别是正方形各边中点，

如图所示，分别连接2D，AB,BD,

则NZMB=90°,

•.•正方形边长为2,

・•・AD=BD=V2,

S/^ABD-S„ABD=907R（V^）2--xV2xV2=--1.

二S隰=S窗一2（5-1）=7TX12_2（葭_1）=2.

故选:B.

分别连接AD,AB,BD,构造扇形2BD,等腰直角ABD及弓形，用扇形4BD的面积减去

等腰直角ABD的面积，即得到弓形面积，再用圆的面积减去2倍弓形面积即可.

本题考查了切线的性质定理，正方形的性质，扇形的面积公式等，解题关键是对于不规

则的阴影，要将其转化为几个规则图形的和或差来计算面积.

6.【答案】C

【解析】解：根据对称性可知，AGKl,△HL/是等边三角形.阴影部分是正六边形，

边长为GK的

・••GK的最大值为3,GK的最小值为这，

2

・•・阴影部分的正六边形的边长的最大值为1,最小值为立，

2

・••图中阴影部分的周长C的取值范围为：3痘WCW6.

故选：C.

根据对称性可知，4GKI,AHLJ是等边三角形.阴影部分是正六边形，边长为GK的：.求

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出正六边形边长的最大值以及最小值即可解决问题.

本题考查正多边形的相关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于选择题

中的压轴题.

7.【答案】|

【解析】

【分析】

本题考查圆的切线的判定，锐角三角函数定义，方程思想.解题的关键是通过设未知数

X,建立等量关系列出方程求解.设以CC为直径的圆为。。，与FG相切于点H,FG与直

线CD,AB分别交于点N,M,与40交于点K,连接0H,则。HJ.MN,因为EF=1,

sin/.FEQS~,可得EM=m证明zJVKD=乙4KM=Z.FEQ,因为AB=16,可得OH=8,

OQ

ON=10,所以DN=2,得。K=-,设4P=x,=AP+PE+EM=x+-,AK=

34

=+根据g+*%+》=9,即可得出/P的长.

【解答】

解：设以CD为直径的圆为。0,与FG相切于点H,FG与直线CD,AB分别交于点N,M,

与交于点K，连接0H,则OH_L

MN,

3

vEF=1,

EM=

4

-AB//CD,

・•・4N=乙KMA,

・,•乙N+乙NKD=90°,Z-FEQ+乙KMA=90°,

・・・Z.NKD=N4KM=Z-FEQ,

-AB=16,AD=9,

:.OH=8,

・•・ON=10,

DN=ON-OD=10-8=2,

o

・・.DK=

3

设4P=x,

VPE=1,EM=-,

4

9

・•・AM=4P+PE+EM=x+

4

,-.AK=14AM=4^x+Q^),

手8抵4+》9=%

解得％=|.

故答案为|.

8.【答案】9：5

【解析】

【分析】

如图，作DF//BC交4B于凡作DH14B于H.想办法证明DE：DB=3：5,推出为..=

1Si，根据产=发即可解决问题.

3xS^ADB3

本题考查等腰直角三角形的性质和判定，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题.

【解答】

解：如图，作DF〃BC交AB于F,作于H.

vCA=CB,ZC=90°,

・♦・乙CAB=Z.CBA=45°,

・••DF//BC,

:.^DFA=Z-CBA=45°,

・•・Z.DAF=Z-DFA,

・•・DA—DF,

•・•DH1.AF,

:,AH=HF,

・・•DF"BC,

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一

・•・一AF=—AD=3,

FBDC

AH3

—―，

HB5

-DHLAB,AELAB,

・・・DH//AE,

•.*DE_AH_3•

DBBH5

'•S&ADB=多•S],

..S&BQC|

SAADB3，

年一

衿3，

・•・S]：S2=9：5,

故答案为9：5.

Qr容宏】■

【解析】解：设4点坐标为(1,a),过点B作BM,X轴于点M,过点C作CNJ.x轴于点N,

过点4作4F1X轴于点F,如下图所示，

由4(1,a),

由对称性质有B(-l,-a),

OB=OA=Va24-1»

BM=AF=a,OM=0F=1,

vtanzFOF=tanz/lOF,

BEAF□口BEa

•••——=—，即17、-=

OBOFVa2+11

:.BE=a>Ja24-1，

・•・EM='BE2-8M2=M，

•：BE=CE,乙CEN=^BEM,乙CNE=LBME,

C/VF=ABME,

•••CN=BM=a,NE=EM=a2,CE=BE=aVa24-1»

・•・ON=2a2+1,

C(-2彦—l,a),

•・・A(LQ),B(-l,-Q),BC//AD,AD=BC,

•・・D(1-2Q2,3Q),

•••4、。都在反比例函数图象上，

・•・3a(l-2a2)=a-1,

解得a=立，

3

AB=20A=2必卫I=BC=2BE=2a>[a7Tl=

33

二矩形4BCD的面积处工

9

故答案为：3.

9

过点B作BM1x轴于点M,过点C作CN1.x轴于点N,过点4作4FJ.x轴于点F,设4点

坐标为(l,a),则。8、BE、EM均可用a表示，易知ACNE三ABME,通过线段等量关系

可求用a表示的C点坐标，继而求得。点坐标，根据4、。都在反比例函数图象上，得到

关于a的方程，求解a值，再求出4B和8c值，则矩形面积可求.

本题主要考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上的点的坐标特征，解决反

比例函数问题要把握以下两点：

①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值匕即xy=k；

②在y=：图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值生|.

10.【答案】12

【解析】解：如图，过。作DF_LOB于F,

•••ABlx轴，4D//X轴，

四边形ABF。是矩形，

由折叠可得，43'=90。=乙4,

又•；B'D=AE=1,Z.DGB'=AEGA,

DB'EAG,

DG=EG,B'G=AG,

第18页，共47页

AD=B'G=BE,

又rE是4c的中点，C是4B的中点，

：.AE=CE=1,AC=BC=2,

BE=3=AD,AB=4=DF,

设C(a,2),则D(a—3,4),

•反比例函数y=：的图象经过点C点。，

・•.2a=4(a—3),

解得a=6,

(6,2),

fc=6x2=12,

故答案为：12.

过。作OF108于尸，判定△DB'G三ZkE/G,即可得至必。=8'G=BE,依据E是AC的中

点,C是的中点，即可得到BE=3=AD,AB=4=DF,设C(a,2),则。(Q—3,4),

根据反比例函数y=$的图象经过点C点。，可得2a=4(a-3),求得a的值，进而得到

k=6x2=12.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质的运用，正确

掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

11.【答案】5等

6

【解析】解：延长LE交BC于M,延长/G交4。于T,延长KH交AB于R,延长/F交CD于川,

作MNJ.AO于N,LZLJT^Z,WS1AB^S,1Q工KR于Q.

•••矩形2BCD和正方形EFGH的中心重合，

・•・根据对称性可知：BM=DT,AL=CJ,AR=CW,BI=DK,

•四边形A8MN,四边形BCWS,四边形EHQ/,四边形GHLZ都是矩形,

BM=AN=DT,CW=BS=AR,

由题意：在RtASW/中，tan4W/S=5=3,

在RtAR/Q中，IQ=EH=V10.tanz.IRQ=3,

RQ=—■RI=当

33

.-M/?=5B=(12-y-y)-2=|)

Al=^-+1=5,IE=QH=GK=(必更---VW)+2=2A/10,

同法可得4L=^.LH=ZG=FJ=(4A410---V10)+2=—.EL=—,

J333

.••四边形力/EL的面积为=lX5x-+ix2V10x途=咨，

23236

故答案为5,等.

延长LE交BC于M,延长/G交4。于7,延长KH交4B于R,延长//交C。于勿，作MN_L4。

于N,LZ1〃'于Z,WS_LAB于S,/Q，KR于Q.根据对称性，解直角三角形即可解决问

题；

本题考查正方形、矩形的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.【答案】解：(1)证明：---AD//BC,EF//CD

•••四边形CDEF是平行四边形，/.EAC=乙ACF

•••ED=FC=5t

v乙B=90°,AB=6,BC=8

AD=AC=y/AB2+BC2=10

AE=CP=10-5t

在△4「？与4CFP中，

AP=CF

/.EAP=4PCF

AE=CP

•••△APE^^CFP(SAS)

(2)过点「作「“_L4D于点M,延长MP交BC于N,

4EMP=4PNF=90°,MN//AB

^MEP+^MPE=90°,四边形ZBNM是矩形，4PNC*ABC

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・・・PN_NC_PC_10-5t

MN=4B=6,AB~BC~AC~10

・・・PN=6—33NC=8-4t

:.PM=MN-PN=33NF=NC—FC=8—9t

丁△APE=^,CFP

・・・PE=PF,

・••△EPF为直角三角形

・・・乙EPF=90°

・•・乙MPE+(NPF=90°

・・・乙MEP=乙NPF

在AEMP与APNF中,

Z.EMP=乙PNF

乙MEP=乙NPF

PE=PF

・•・△EMPNAPNF(AAS)

・•・PM=NF

：•3t=8—9t

图1

(3)①(0)当。。过点C时(如图2),连接CE,过点E作EMLAC于M.

・.・PE=PF,

・•・弧PE=弧「尸

・•・乙PCE=乙PCF

vAD//BC

・•・乙PCF=Z.DAC

・•・乙PCE=Z.DAC,

1

CE=AE=10-5aCM=AM=-AC=5

2

vcosZ-PCM=cosZ-PCF

-----------——

CEAC10-5t10

解得：t=:

4

(ii)当。。过点4时(如图3),可得4F=FC=5£

・•・cosZ-FAP=cosZ-PCF

AMBC58

--=—即nn--=—

AFACSt10

综上所述，t的值为与码

44

②过点C作CH_L4。于H,连接PP',交EF于点G

G为PP'和EF的中点

在CD上，EF//CD

•••△PGQfpp'C

GQ_PQ_PG_1

'''CPi=~PC='pP'=2

110-5t

■■PQ=CQ=-PC=—^—

■：AC=AD

・•・Z-ACD=Z.D

:，Z-AQE=Z.ACD=Z,D=Z-AEQ

vZ-AQE=乙CQF,乙AEQ=Z.CFQ

・•・(CQF=乙CFQ

・•・CQ=CF

10-5t

=5t

解得：t=l

第22页，共47页

・•・C“F=—10,A/IEL=d1M0---1--0=—20

333

VZ-CHD=90°,CH=AB=6,DH=AD-AH=AD-BC=2

EF=CD=y/CH2+DH2=历+/=2V10

，FG=2=m,FQ=g"=当

VTo

•••GQ=FG-FQ=~

,2V10

•••CP'=2GQ=-y-

【解析1(1)根据运动速度可得两对应边相等，根据4D〃BC找到对应角，得证.

(2)由(1)得PE=PF,所以4EPF=90。，过点P作MNJL4D,构造三垂直模型，易证△

EMP三&PNF,所以PM=NF,用t把PM、NF表达，即列得方程求解.

(3)①过点4或过点C作分类讨论,利用点4或点C在圆上时出现的圆周角相等进行角度转

换，利用相等角的余弦值作为等量代换列方程求得t；②点P与P'关于EF对称时，得PP'

与EF互相垂直平分，利用相似用t能把所有线段表示出来，根据CF=CQ作为等量关系

列方程求得3再利用CP，=2GQ求得答案.

本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三

角形的性质，锐角三角函数.利用相似的性质用t表示需要的线段，再寻找等量关系列

方程求3是解决这类动点问题的常用做法.

13.【答案】解：(1)•；“0A=90°

PC是直径，

乙PBC=90°

•••4(0,4)8(3,4)

•••AB1y轴

.••当4与P重合时，4OPB=90°

二四边形POCB是矩形

(2)连结。B,(如图1)

・♦・乙BPC=Z-BOC

vABIIOC

:.Z-ABO=Z.BOC

・♦・乙BPC=乙BOC=Z.ABO

AO4

・•・tanZ-BPC=tanZ-ABO=——=-

AB3

图1

(3)•；PC为直径

•••M为PC中点

①如图2,当。P〃BM时，延长8闻交汇轴于点N

OP//BM

•••BN10C于N

•••ON=NC,四边形OABN是矩形

NC=ON=AB=3,BN=OA=4

设。M半径为r,贝=CM=PM=r

MN=BN-BM=4-r

•••MN2+NC2=CM2

■.(4-r)2+32=r2

解得：r=?

o

257

・•・MN=4——=-

88

•・・M、N分别为PC、。。中点

7

・•・m=OP=2MN=-

4

第24页，共47页

V

②如图3,当。M//P8时，乙BOM=(PBO

•:乙PBO=Z^PCO,^LPCO=Z.MOC

・・•乙OBM=乙BOM=Z.MOC=4MCO

在ABOM与ACOM中

2BOM=4COM

乙OBM=Z-OCM

.BM=CM

・•・△BOM"COM(AAS)

・••OC=OB=yjOA2+AB2=5

••AP=4-m

...BP?=AP2+AB2=(4-m)2+32

・••Z.ABO=Z.BOC=乙BPC,4BA。=乙PBC=90°

•••△ABO~XBPC

OB_AB

,,证=丽

OB•BP5

：•PC=———=-BP

AB3

2525

・・・PC2=—BP2=—[(4-m)2+32]

99

又PC?=Op2+0C2=m2+52

25

—[(4-m)2+32]=m24-52

9

解得：m=I或m=10(舍去)

综上所述，血=：或771=1

(4)•••点。与点O'关于直线对称

^PO'C=Z.POC=90°,即点O'在圆上

当。'与。重合时，得m=0

当O'落在48上时，得m=|

当O'与点B重合时，得m=B

0<m<|或m=得

【解析】⑴由NPOC=90。可知PC为直径，所以"BC=90°,P、4重合时得3个直角，

即证四边形POCB为矩形.

(2)题干已知的边长只有04、AB,所以要把ZBPC转化到与04、。8有关的三角形内.连

接。,B据圆周角定理,得4COB=乙BPC,又AB〃OC有乙ABP=乙COB,得/8PC=/.ABP.

(3)分两种情况：①OP〃BM即BM1X轴，延长8M交x轴于N,根据垂径定理得ON=

CN=3,设半径为r,利用RtACMN的三边关系列方程即求出；©OM//PB,根据圆周

角定理和等腰三角形性质得到ABOM三△COM,所以8。=CO=5,用小表达各条线段，

再利用勾股定理为等量关系列方程求得

(4)因为点。与点。，关于直线对称，所以ZPO(=NPOC=90。，即点。，在圆上；考虑点P

运动到特殊位置：①点0'与点0重合；②点0'落在AB上；③点0'与点B重合.算出对应

的m值再考虑范围.

本题考查了圆周角定理(同弧所对•的圆周角相等)，矩形的判定，勾股定理，全等三角形

的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论.第(2)题关

键是把NBPC进行转换；第(3)题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程

来解，这是圆中已知弦长(或弦心距)求半径时常用做法；第(4)题可先把点0'到达AAPB

各边上为特殊位置求出m,再讨论小的范围.

第26页，共47页

14.【答案】解：(1)由题可得，30x+10y=2000,即y=200-3x,

故y关于x的函数表达式为y=200-3x；

(2)①由题意：3x+2y>220,

而由(1)可知3x=200-y代入可得200-y+2y>220,

y>20,

设B原料的用量为w,则w=15x+20y,即w=15y+1000,

•••k=15,w随y的增大而增大，

二当y取最小值20时，可得w的最小值为15X20+1000=1300,

故若获得总利润不少于220元，则至少要用去B原料1300克；

②由题意：15x+20yW3100,

即15x+20(200-3x)W3100,解得x220,

又ax+2y-450,

即ax+2(200-3久)=450,a=6+y,

而a,x均为正整数且x220,

于是可得x=50,a=7或x=25,a=8.

当x=50时，需要8原料1750克；

当x=25时，需要B原料2875克，

为了尽量不浪费原材料•，a应取8.

故在设定条件下，甲甜品的每份利润应定为8元.

【解析】本题考查的是一次函数的应用，充分结合了方程、不等式的综合应用，学会利

用函数求最值及特殊解是解题的关键.

(1)根据甲、乙两种甜品所需4种原料及其总的消耗量得出30x+10y=2000,变换成函

数解析式即可；

(2)①根据利润的要求3x+2y>220与(1)中的关系求出变量y的范围，把B原料用量表

示成％、y的函数，即可利用y的范围求出B原料使用的最小值；

②根据B原料的总量15x+20y<3100与利润总量ax+2y=450的要求，结合不等式

与方程，求正整数解即可解决问题.

15.【答案】(1)根据题意得,

r40=16+4b+c

(44=36+6b+c'

解得,忆u

二Yi=x2—8x+56；

(2)若前10天某天毛利润是1120元时，有

(80-60)(/-8x4-56)=1120,

解得，x=8或x=0(舍去);

若10天后某天毛利润是1120元时，有

(100-60)(2%+8)=1120,

解得，%=10(舍去).

・•・x=8；

(3)26<%<31

【解析】(1)把“已知第4天销售件数是40件，第6天销售件数是44件”代入“当天销售

件数月(件)和时间第%(天)的关系式%=4+故+c(l4%410)w中，便可求得b和c；

(2)分10天前与10天后的销售量与每件商品的利润分别列出日毛利润的方程进行解答；

(3)根据题意得，了2=2x+8>60,

解得，x>26,

二自变量x的取值范围：26cx<31；

根据题意得，W=(100-60)(2%+8)4-2(2x+8)=84x+336.

故答案为：26cx<31.

16.【答案】(1)3.6

(2)如图，若。。与BE相切

2AO=AE=3.6

第28页，共47页

・•・40=m=1.8

若O。与BP相切于点H,连接。”,

・•.0H//AB

COH^LCAB

OH_0G

：'~AB=~AC

OA10-0/1

n即n一=-------

610

15

：­OA=m=—

4

如图，若。。与EP相切于点H，连接OH

・・・OH1PE

・・•点P是Rt△CEB斜边8c的中点

・・・PE=PC=PB

・•・Z.PCE=乙PEC

•・•乙PCE=Z.PEC=Z-OEH,且40HE=/.ABC=90°

*••△HE0~ABCA

EO_HO

’•正=屈

3.6-OA_A0

-10-=~6~