2022届高考：数学模拟测试卷04（解析）

2022届高考数学•备战热身卷4

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，有一项符合

题目要求。）

1.（2022•湖北武汉•高三阶段练习）已知集合4=k*一28<0},8-石<x<君},

则（）

A.AC|B=0B.A\JB=RC.BcAD.AcB

【答案】D

【详解】A={x|0<x<2}(AcB={x[0<x<2},A错误；A\JB={x\-y[5<x<^],B

错误；AcB,C错误，D正确.

TC71

2.（2022.山西.怀仁市大地学校高中部高一阶段练习）己知巴na+cosa=3,----<a<——,

sina-cos。22

则sina-cosa=

A._典小「3石

DR.------V-«-----D

555-T

【答案】D

・、士m^sina+cosa所以tana+l=3,解得tana=2.

【详解】因为^---------=3o,

sina-cosatana-1

所以。<〃<g.sina=2",cosa=

又因为一工<a〈工，tan«>0,所以

22255，

.75

sina-costz=——

5

3.（2022•湖北武汉・高三阶段练习）下列抛物线中，以点尸（1,0）为焦点的是（)

A.y2=4xB.x2=4yC.y2=-4xD.x2=-4y

【答案】A

【详解】.••抛物线为尸（l,o），.•.可设抛物线方程为y2=2px（p>0）,.•q=1即p=2,

•••抛物线方程为y2=4x.

4.（2022.全国•高三专题练习）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内

接圆柱，且内接圆柱的体积为区,则该圆锥的体积为（）

2回8石兀

A.8代乃rD.4岳

33

【答案】C

【详解】圆锥与内接圆柱的轴截面如图所示：其中S为圆锥的顶点，。为底面的圆心，”为

内接圆柱的上底面的圆心.

设内接圆柱的高为九，则%xl?x%=6万,故九=百，

设圆锥的高为力，则学故h=26,

hBO2

所以圆锥的体积为V=—x^x4x2A/3=TC-

33

5.（2022・湖北武汉•高三阶段练习）如图，已知两个模都为10的向量力，砺,

它们的夹角为TT]，点C在以。为圆心，10为半径的AB上运动，则徐•丽的最小值为（）

A.100-10072B.-100C.10072-100D.-100立

【答案】A

【详解】CACB=（OA-OC）（OB-OC）=OA.OB-（OA+OB）.dC+OC2

=0+\00-（OA+OB）OC

要使百•丽最小，即（9+砺）•祝最大

而|乐+丽|=10夜为定值，|玩|为定值10,只要（况+砺）与反同向即可使

西+两灰最大

.•.5■画的最小值为100-1000.

6.（2022•湖北武汉•高三阶段练习）若数列｛七｝满足4=2,贝1]“70,小可*,%+,=%%”是"｛。"｝为

等比数列''的（)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充

分也不必要条件

【答案】A

【详解】不妨设厂=1,则与“=。陷,也=2.•.｛《,｝为等比数列；故充分性成立

%

p+r+r2

反之若｛a„｝为等比数歹IJ,不妨设公比为9,a/产%qPe=2q"Z,apar=a；q-=V-

当〃2时所以必要性不成立

7.(2022・广东・金山中学高三阶段练习)已知随机变量X,丫分别满足，X〜8(8,p),7-

N(〃，4),且期望E(X)=E(D,又产(｝>3)=1,则2=()

A.-B.-C.-D.；

4382

【答案】C

【详解】y~N(〃,〃)且p(y..3)=g,知〃=3,所以E(x)=E(y)=3,又

X~8(8,p),E(X)=8p,所以

O

8.(2022・湖北武汉•高三阶段练习)如图,将平面直角坐标系中的纵轴绕原点。顺时针旋转30

后，构成一个斜坐标平面xOy.在此斜坐标平面xOy中，点P(x,y)的坐标定义如下：过点

尸作两坐标轴的平行线，分别交两轴于M、N两点，则M在3轴上表示的数为x,N在Oy

轴上表示的数为V.那么以原点。为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为()

A.x2+y2+xy-1=0B.x24-y2-xy+1=0C.x2+y2-xy-]=0

D.x2+y2+xy+1=0

【答案】A

【详解】设平面直角坐标系中的点为(〃?,〃)，其对应斜坐标系中的点为(x,y),

贝！]w=x+ycos6(r+,w=ysin60,=^y,

以原点。为圆心的单位圆在平面直角坐标系中的方程为：/+〃2=1,

WjlJC+—_yI+—y=1,整理可得：x2+y2+xy-l=0.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分。）

9.（2022・湖北武汉•高三阶段练习）下列命题中正确的是（）

A.若x,yeR,x+yi=2+2i,贝ijx=y=2

B.若复数Z[,Z]满足z：+z；=0,则Z1=z?=。

C.若复数z为纯虚数，则，=z2

D.若复数z满足|z-l|=2,则|z+i|的最大值为2+应

【答案】AD

【详解】A：由复数相等知：x+yi=2+2i,有x=y=2,正确；

B：若=i,有才+z：=0,错误；

22

C：若z=i时，|z|=l^z=-l,错误；

D：^z^x+yi,则|z-l|=2为圆。：（x-l）2+V=4,而以+必、表示圆。上的点到A（0,—l）

的最大距离，所以|z+4nx=2+|。4|=2+0,正确.

10.（2022・湖北武汉•高三阶段练习）下图是相关变量x，N的散点图，现对这两个变量进行线

性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：y=b.x+a,,相关系数为4；

方案二：剔除点（10,32）,根据剩下数据，得到线性回归方程：y=b2x+a2,相关系数为4；

则（）

A.0<4<々<1B.0<G<4<1C.-\<rx<r2<0D.

【答案】A

【详解】由散点图分布图可知，变量X和y成正相关，所以0<4<L0<4<1，

在剔除点（10,32）之后，且可看出回归直线3=的线性相关程度更强，为更接近1.所以

0<彳<&<1.

11.（2022.湖北武汉.高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆K:（x-k）2+（y-4）2=],

其中ZwO,贝i]()

A.圆K过定点B.圆K的圆心在定直线上C.圆K与定直线相切D.圆K与

定圆相切

【答案】BC

【详解】对于A选项，圆K的方程可化为V+y2—2左(工+力+弓-=0,

X24-y2=0r

y=0

若圆K过定点，则x+y=o,可得z；,矛盾，A错；

%=0

2

对于B选项，圆K的圆心坐标为小㈤，则圆心在直线y=%上，B对；

对于C选项，圆心到直线y=(2-6卜的距离为《=

_V6-V2-2因

故直线y=(2-6卜与圆K相切，

同理可知，直线y=(2+g)x与圆K也相切，c对；

对于D选项，设定圆的圆心为(a,b),半径为厂，设4>0,

若定圆与圆K外切，则"犷+9-犷="+争'化简得

-k2~(2a+2b+>/2ry+a2+h2-r2=0,

由二次函数的性质可知，关于Jt的二次函数“左)=,&2-(24+北+0厂*+，/+〃-产在

%>0时的值不可能恒为零，舍去；

若定圆与圆K内切，则，(a-犷+他-叶=r-qk,化简可得

(2〃+26—0厂*+/+/一/=0,

由二次函数的性质可知，关于k的二次函数g(无)=|/-(2a+2b-&r卜+病+b2-r2隹

%>0时的值不可能恒为零，舍去.

同理可知，当k<0时，不存在定圆与圆K相切，D错.

12.（江苏省泰州中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）已知三棱柱

ABC-A^G为正三棱柱，且AA=2,43=2百，。是的中点，点P是线段AQ上的动

点，则下列结论正确的是（）

A.四面体A-8孰与外接球的表面积为20万

B.若直线P8与底面ABC所成角为仇则sin。的取值范围为孚］

C.若4尸=2,则异面直线AP与BG所成的角为g

4

D.若过BC且与AP垂直的截面a与AP交于点£,则三棱锥P—8CE的体积的最小值也

2

【答案】ABD

【详解】四面体A-BC声外接球即为正三棱柱48C-4蜴£外接球，

因为4钻。外接圆的半径/=乎乂26=2，用/切|=2,设正三棱柱ABC-A,4G外接球的

半径为R，设正三棱柱的高为/?=|M|=2，

则由正=［3）+,得/?=行，故其表面积为4万代=20万，故A正确；

取8C的中点尸，连接QP,AF，BZ），A。，由正三棱柱的性质可知平面MCFL平面4BC,

所以当点P与A重合时，。最小为N8A4，sinNBAA=£j=a=5

DF\22不

/DBF=—=।=—

DB7

当点P与。重合时，（9最大为N/切尸，sin\J2>/3?2，，

所以sinOeg,乎］,故B正确：

将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则NG4P（或其补角）为异面直线AP与SC；所成的角，

|AG|=|BC,|=4,\AF\=2^,

NGAG=60°,NG40=30°,ZGA0=90°,；.附=#厨+22=4,

所以cosNGAP=也，即NGAPH三，故C错；

44

因/一诙=卜2乂¥、（2后）2=26,故要使三棱锥尸-BCE的体积最小，则三棱锥E-ABC的

34

体积最大，设BC的中点为F,作出截面如图所示，

•..AP_L。，...ARLEF,...点E在以AF为直径的圆上,

点E到底面ABC距离的最大值为g|AF|=26卜■!,

••・三棱锥SCE的体积的最小值为处3|4*（2回考，故D正确;

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.（2022.湖北武汉.高三阶段练习）己知等比数列｛4｝的公比为4=2,则

【答案】]

22

14.（2022•湖北武汉•高三阶段练习）若圆锥曲线上——匕=1的离心率为0，则2=

5-4A—1

【答案】4

y-[5—A>0

【详解】：若」——J=1表示椭圆，则，，八，得;1<1,

5-22-1[A-l<0

*>4

设离心率为e,则e2==2，解得；1=1或几=4,两解均不合题意；

5一4

若』——匚=1表示双曲线，则（5-彳）（/1一1）>0,得1<2<5,

5—4A—1

设离心率为e,则02=1=4,得2=1（舍去）或;1=4.

15.（2022•湖北武汉•高三阶段练习）己知函数f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇

函数，且满足fM+g（x）=2x-x,若关于x的方程2*2阳_A/（x-2022）-2万=0有唯一的

实数解，则实数4的值为.

【答案】-1或3

【详解】因为函数/(X),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

所以/(r)=f(x)，g(r)=_g(x),g(0)=0,

因为F(x)+g(x)=2，-x,所以f(O)+g(O)=l,所以"0)=1,

令/?(x)=2忖-Af(x)-2A2,贝ij/Z(-X)=2H-2/(-X)-222=2H-A/(X)-2A2=/I(X),

所以函数人⑴为偶函数，则函数h(x)关于y轴对称，

则函数〃(x—2022)=[”破21-27(x-2022)-222关于x=2022对称，

因为关于x的方程2g2g-2/&-2022)-2/12=。有唯一的实数解，

22

所以〃(2022)=0,Bpi-A/(0)-2/l=0>BP1-2-2/1=0.解得4=-1或

16.(2022.湖北武汉.高三阶段练习)已如函数小丑皿⑺+⑼侬,**,若/图=。，

且f(x)在(年,与)上是单调函数，则。的最大值是.

【答案】7

【详解】由=且/(幻在(£，手)上是单调函数，易得：

旦/田=0,可得当X€(*,g)时与X€(g，M)均单调，

k4；28447

可得T咛，同呜吟T

枭丁吟，

242)、2万

练上可得：r>y,即：可得网47,故”的最大值是7,

四、解答题(本题共6小题，共70分。第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤。)

17.(2022・湖北•监利市教学研究室高一期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游

客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.据工作人员介绍，某个摩

天轮直径125米，逆时针方向匀速运行一周约需30分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点建立如

图所示的平面直角坐标系，若游客甲从最低点P处坐上摩天轮(点P与地面的距离忽略不计)

（1）试将游客甲离地面的距离表示为坐上摩天轮的时间f的函数；

（2）若游客乙在甲后的7.5分钟也在点P处坐上摩天轮，则在乙坐上摩天轮后的多少分钟甲乙

的垂直距离首次达到最大？

【答案】（1）砌=毕-学cos壮0；⑵?分钟.

'/22154

12527r

【解析】（1）圆的半彳仝为厂=詈米，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为第=色弧度/分

钟的匀速圆周运动，

设经过f分钟后甲到达Q,则/PO。吒/,

由三角函数定义知点。的纵坐标为y=

则其离地面的距离为九（。=号+号sin倍苧-苧cos/f20

⑵由（1）可知游客乙离地面的距离=+*7.5）-g,

其中时间/表示游客甲坐上摩天轮的时间.

TC

则甲乙的垂直距离为一//（0=

4

jrjrjr4、

当各-：=g+2Z肛（ZeN）,即f=5+30N（A:wN）时，甲乙离地面距离达到最大

所以，=彳，即游客乙坐上摩天轮'-7.5=彳-7.5=］分钟后,甲乙的垂直距离首次达到最

大.

18.（2022•河南•温县第一高级中学高三阶段练习（文））如图，四棱锥S-ABCD中，是

正三角形，四边形A8CD是菱形，点E是8S的中点.

D

（1）求证：S。//平面ACE；

（2）若平面ABS_L平面ABC。，AB=2,NABC=120。，求三棱锥E-AS£>的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）g

【解析】（1）：连接80,设ACnBO=O,连接OE,

因为四边形A8CD是菱形，所以点。是的中点，

又因为E是5S的中点，所以OE是三角形BDS的中位线，所以SD//OE,

又因为SQ工平面ACE,OEu平面ACE,所以S。//平面ACE.

（2）：因为四边形ABCD是菱形，且NABC=120。，所以

ZABD=-ZABC=60°,

2

乂因为=所以△AB。是正三角形，

取AB的中点F,连接跖，则DFJ_AB,

乂平面"SJ"平面ABC。，。尸u平面ABC。，平面ABSn平面=所以。尸，平

面A8S,

在等边△A8O中，DF=BDsinZABD=2sin600=百，

又由△ASB的面积S△.后=-SA-SE-sinZASE=三，所以

VJADS~VD-AES=gS«SE,DF=-X4x>/3=—.

19.（2022・贵州毕节•模拟预测（理））某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生

的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如

图.

，频率

53489

63446777889

713344466678889(

8

U'

9

0..0

oV5060708090100分救

（1）求频率分布直方图中〃的值，并根据直方图估计该市全体高中学生的测试分数的中位数

和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；

（2）将频率作为概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分

的人数为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】（1）。=0.02,中位数为74.3,平均数为74.5；（2）分布列答案见解析，数学期望为

【解析】⑴；测试分数位于［50,60）的频数为4,频率为0。x10=0.1,A抽取个数为：4=40，

Q

测试分数位于［80,90）的个数为：40-（4+10+14+4）=8,=^^-10=0.02.

设由直方图估计分数的中位数为t,

贝IJ有：（Z-70）x0.035=0.5-0.1-0.25,解得：r°74.3,

估计平均数为：55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.2+95x0.1

=55+10x0.25+20x0.35+30x0.2+40x0.1=74.5.

⑵测试分数不低于90分的频率为：之二，；.X=0,1,2,3,4,丫~44,士］,

即P（X=i）=C；（演弦,

i=0,l,2,3,4）

•••X的分布列为:

X01234

P0.65610.29160.04860.00360.0001

X~B（4.）,.・.E（X）=4

20.（辽宁省名校联盟2021-2022学年高三3月联合考试数学试题）已知S.为数列｛4｝的前〃

项和，4=3,Sn+1+1=4an.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）从下面两个条件中选择一个，求数列他,｝的前几项和刀,.

%+2（-1）"・（2"2+10“+13”4"-2

①"；②b.=

（S,+i+2

%q+i

【答案】（l）q=（〃+2>2"\（2）选①，T,=g-2“二网;选②，（，=-3+热子•

【解析】（1）由6=3,5川+1=44得：邑+1=40=12,则S?=《+%=3+%=11，解得:

/=8：

当〃22时，Sn+l=4an_t,则/u=(S,用+l)-(S,+l)=4a“-4a,i，

-'-an+l-2a„=2(a„-2a„_l),

•••数歹|J｛。向一2%｝是以4-2q=2为首项，2为公比的等比数列，

%—2%=2.2“T=2”,..•当一券=1,

数列｛券｝是以争=3为首项，1为公差的等差数列,

2“：]=3+(〃-1)x1=〃+2f/.=(〃+2)•2":

(2)若选①，由(1)得：S旬=--1=(〃+2)・2'川一1,

…二*2(〃+4)-2〃〃+4=__1__________

一"一(■+1)•—(〃+2)-2吸(〃+3)2'_2"(〃+2)(〃+3)2”«+2)2"(«+3)

11

•7=-^______U-_____^+_*_______+…+__________

'"2"x32'x42'x422x522x523x62"一(〃+2)2”(〃+3)

1_______1___」_1

20x3~2"(n+3)~3~2"(n+3);

(-l)n-(2n2+10n+13)-24B-2(-1Y'(2n2+10//+13)

若选②’由(1)得：2==(A"),=

z_.]_

L]r[(〃+2)2+(〃+3)21

111111111

当〃为偶数时，(=_示_不+不+1下下+・■一西厂而产金行+

---1-=1-1----1-----1---1

(724-3)~32(〃+3)~(〃+3)29，

当〃为奇数时，7>7--%+产6&一"一焉一帚=一"一号；

(T"

综上所述：＜=-"+(〃eN*).

("+3)2

21.（2022•全国•模拟预测）已知双曲线C:5-£=l（a＞0力＞0）的右焦点为尸（2,0）,点F

到C的渐近线的距离为1.

（1）求（7的方程.

3

（2）若直线乙与C的右支相切，切点为P,乙与直线4：》=万交于点。，问x轴上是否存在定

点M,使得若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）,-丁=1；（2）存在定点〃（2,0）

【解析】⑴由题意，双曲线。京-专■=1（〃>0,。〉0）的渐近线方程为乐士故=0,

又由双曲线C的右焦点为F（2,0）,可得c=2,所以F（2,0）到渐近线的距离

2b2b,

d=-=b1

\la"+h2c

所以/=/—b2=3,所以。的方程为彳>—y2=i

（2）由题意易知直线乙的斜率存在，设其方程为y=H+“,

联立4与C的方程，消去y,得（3产―1）/+6也吠+3机2+3=0,

因为「展/」C的乙支相切，所以（双曲线右支上的点需满足的条件）

km<0

A=36A:W-12（3^-l）（/n2+l）=12（/M2+l-3F）=0,得川=3公_[,则„,=（）,

m

设切点P（x，y）,则X|=i彳弘2不=一式，yi=kxl+m=-—+m=

-1J/〃mmm

zQ3

设。因为。是直线4与直线4的交点，所以々=彳，y2=^k+m,

假设x轴上存在定点M（为,0），使得MPVMQ,

则MPMQ=（苦-为,yj•（&-与,%）=（%-%）（工2-与）+X%

/、29k3k、（33八，

=x,x2+yl>>2-x（）（xl,yl）+^=-----1-xJl+x0

=片-lxo-1+~（%o-2）