函数的单调性及奇偶性-例题及练习-高中数学

./函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数在<0,+∞>上的单调性.证明：在<0,+∞>上任取x1、x2<x1≠x2>,令△x=x2−x1＞0则∵x1＞0,x2＞0,∴,,,∴上式＜0,∴△y=f<x2>−f<x1>＜0∴在<0,+∞>上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？<作差>[3]如何判断一个式子的符号？<对差适当变形>举一反三：[变式1]用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1,x2是区间上的任意实数,且x1＜x2,则∵0＜x1＜x2≤1∴x1−x2＜0,0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故,即f<x1>−f<x2>＞0∴x1＜x2时有f<x1>＞f<x2>上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2.判断下列函数的单调区间；<1>y=x2−3|x|+2；<2>解：<1>由图象对称性,画出草图∴f<x>在上递减,在上递减,在上递增.<2>∴图象为∴f<x>在上递增.举一反三：[变式1]求下列函数的单调区间：<1>y=|x+1|；<2><3>.解：<1>画出函数图象,∴函数的减区间为,函数的增区间为<−1,+∞>；<2>定义域为,其中u=2x−1为增函数,在<−∞,0>与<0,+∞>为减函数,则上为减函数；<3>定义域为<−∞,0>∪<0,+∞>,单调增区间为：<−∞,0>,单调减区间为<0,+∞>.总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用<比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值>3.已知函数f<x>在<0,+∞>上是减函数,比较f<a2−a+1>与的大小.解：又f<x>在<0,+∞>上是减函数,则.4.求下列函数值域：<1>；1>x∈[5,10]；2>x∈<−3,−2>∪<−2,1>；<2>y=x2−2x+3；1>x∈[−1,1]；2>x∈[−2,2].思路点拨：<1>可应用函数的单调性；<2>数形结合.解：<1>2个单位,再上移2个单位得到,如图1>f<x>在[5,10]上单增,；2>；<2>画出草图1>y∈[f<1>,f<−1>]即[2,6]；2>.举一反三：[变式1]已知函数.<1>判断函数f<x>的单调区间；<2>当x∈[1,3]时,求函数f<x>的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即可得到我们相对熟悉的形式.,第二问即是利用单调性求函数值域.解：<1>上单调递增,在上单调递增；<2>故函数f<x>在[1,3]上单调递增∴x=1时f<x>有最小值,f<1>=−2x=3时f<x>有最大值∴x∈[1,3]时f<x>的值域为.5.已知二次函数f<x>=x2−<a−1>x+5在区间上是增函数,求：<1>实数a的取值范围；<2>f<2>的取值范围.解：<1>∵对称轴是决定f<x>单调性的关键,联系图象可知只需；<2>∵f<2>=22−2<a−1>+5=−2a+11又∵a≤2,∴−2a≥−4∴f<2>=−2a+11≥−4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6.判断下列函数的奇偶性：<1><2><3>f<x>=x2−4|x|+3<4>f<x>=|x+3|−|x−3|<5><6><7>思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：<1>∵f<x>的定义域为,不关于原点对称,因此f<x>为非奇非偶函数；<2>∵x−1≥0,∴f<x>定义域不关于原点对称,∴f<x>为非奇非偶函数；<3>对任意x∈R,都有−x∈R,且f<−x>=x2−4|x|+3=f<x>,则f<x>=x2−4|x|+3为偶函数；<4>∵x∈R,f<−x>=|−x+3|−|−x−3|=|x−3|−|x+3|=−f<x>,∴f<x>为奇函数；<5>,∴f<x>为奇函数；<6>∵x∈R,f<x>=−x|x|+x∴f<−x>=−<−x>|−x|+<−x>=x|x|−x=−f<x>,∴f<x>为奇函数；<7>,∴f<x>为奇函数.举一反三：[变式1]判断下列函数的奇偶性：<1>；<2>f<x>=|x+1|−|x−1|；<3>f<x>=x2+x+1；<4>.思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：<1>；<2>f<−x>=|−x+1|−|−x−1|=−<|x+1|−|x−1|>=−f<x>∴f<x>为奇函数；<3>f<−x>=<−x>2+<−x>+1=x2−x+1∴f<−x>≠−f<x>且f<−x>≠f<x>∴f<x>为非奇非偶函数；<4>任取x＞0则−x＜0,∴f<−x>=<−x>2+2<−x>−1=x2−2x−1=−<−x2+2x+1>=−f<x>任取x＜0,则−x＞0f<−x>=−<−x>2+2<−x>+1=−x2−2x+1=−<x2+2x−1>=−f<x>x=0时,f<0>=−f<0>∴x∈R时,f<−x>=−f<x>∴f<x>为奇函数.举一反三：[变式2]已知f<x>,g<x>均为奇函数,且定义域相同,求证：f<x>+g<x>为奇函数,f<x>·g<x>为偶函数.证明：设F<x>=f<x>+g<x>,G<x>=f<x>·g<x>则F<−x>=f<−x>+g<−x>=−f<x>−g<x>=−[f<x>+g<x>]=−F<x>G<−x>=f<−x>·g<−x>=−f<x>·[−g<x>]=f<x>·g<x>=G<x>∴f<x>+g<x>为奇函数,f<x>·g<x>为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用<求值,求解析式,与单调性结合>7.已知f<x>=x5+ax3−bx−8,且f<−2>=10,求f<2>.解：法一：∵f<−2>=<−2>5+<−2>3a−<−2>b−8=−32−8a+2b−8=−40−8a+2b=10∴8a−2b=−50∴f<2>=25+23a−2b−8=8a−2b+24=−50+24=−26法二：令g<x>=f<x>+8易证g<x>为奇函数∴g<−2>=−g<2>∴f<−2>+8=−f<2>−8∴f<2>=−f<−2>−16=−10−16=−26.8.f<x>是定义在R上的奇函数,且当x＜0时,f<x>=x2−x,求当x≥0时,f<x>的解析式,并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称,∴x＞0时,−y=<−x>2−<−x>即y=−x2−x又f<0>=0,,如图9.设定义在[−3,3]上的偶函数f<x>在[0,3]上是单调递增,当f<a−1>＜f<a>时,求a的取值范围.解：∵f<a−1>＜f<a>∴f<|a−1|>＜f<|a|>而|a−1|,|a|∈[0,3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f<x>为增函数,偶函数g<x>在区间的图象与f<x>的图象重合,设a＞b＞0,给出下列不等式,其中成立的是_________.①f<b>−f<−a>＞g<a>−g<−b>；②f<b>−f<−a>＜g<a>−g<−b>；③f<a>−f<−b>＞g<b>−g<−a>；④f<a>−f<−b>＜g<b>−g<−a>.答案：①③.11.求下列函数的值域：<1><2><3>思路点拨：<1>中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域；<2>由单调性求值域,此题也可换元解决；<3>单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t范围.解：<1>；<2>经观察知,,；<3>令.12.已知函数f<x>=x2−2ax+a2−1.<1>若函数f<x>在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围；<2>当x∈[−1,1]时,求函数f<x>的最小值g<a>,并画出最小值函数y=g<a>的图象.解：<1>∵f<x>=<x−a>2−1∴a≤0或a≥2<2>1°当a＜−1时,如图1,g<a>=f<−1>=a2+2a2°当−1≤a≤1时,如图2,g<a>=f<a>=−13°当a＞1时,如图3,g<a>=f<1>=a2−2a,如图13.已知函数f<x>在定义域<0,+∞>上为增函数,f<2>=1,且定义域上任意x、y都满足f<xy>=f<x>+f<y>,解不等式：f<x>+f<x−2>≤3.解：令x=2,y=2,∴f<2×2>=f<2>+f<2>=2∴f<4>=2再令x=4,y=2,∴f<4×2>=f<4>+f<2>=2+1=3∴f<8>=3∴f<x>+f<x−2>≤3可转化为：f[x<x−2>]≤f<8>.14.判断函数上的单调性,并证明.证明：任取0＜x1＜x2,∵0＜x1＜x2,∴x1−x2＜0,x1·x2＞0<1>当时0＜x1·x2＜1,∴x1·x2−1＜0∴f<x1>−f<x2>＞0即f<x1>＞f<x2>上是减函数.<2>当x1,x2∈<1,+∞>时,上是增函数.难点：x1·x2−1的符号的确定,如何分段.15.设a为实数,函数f<x>=x2+|x−a|+1,x∈R,试讨论f<x>的奇偶性,并求f<x>的最小值.解：当a=0时,f<x>=x2+|x|+1,此时函数为偶函数；当a≠0时,f<x>=x2+|x−a|+1,为非奇非偶函数.<1>当x≥a时,[1]且[2]上单调递增,上的最小值为f<a>=a2+1.<2>当x＜a时,[1]上单调递减,上的最小值为f<a>=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项<>A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是<>A．B．C．D．3．已知函数为偶函数,则的值是<>A.B.C.D.4．若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是<>A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为,那么在区间上是<>A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数,则函数,在上一定是<>A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中,在区间上是增函数的是<>A．B．C．D．8．函数f<x>是定义在[−6,6]上的偶函数,且在[−6,0]上是减函数,则<>A.f<3>+f<4>＞0B.f<−3>−f<2>＜0C.f<−2>+f<−5>＜0D.f<4>−f<−1>＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知,则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数,则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数,且,则当,____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数,二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为,且同时满足下列条件：<1>是奇函数；<2>在定义域上单调递减；<3>求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时,求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围,使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是<>A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数,则的取值范围是<>A．B．C．D．3．函数的值域为<>A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是<>A．B．C．D．5．下列四个命题：<1>函数在时是增函数,也是增函数,所以是增函数；<2>若函数与轴没有交点,则且；<3>的递增区间为；<4>和表示相等函数.其中正确命题的个数是<>A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数,满足,且在区间上为递增,则<>A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数,当时,,那么时,______.3．若函数在上是奇函数,则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数,在区间上的最大值为8,最小值为−1,则__________.5．若函数在上是减函数,则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性<1><2>2．已知函数的定义域为,且对任意,都有,且当时,恒成立,证明：<1>函数是上的减函数；<2>函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且,是偶函数,是奇函数,且,求和的解析式.4．设为实数,函数,.<1>讨论的奇偶性；<2>求的最小值.综合探究1．已知函数,,则的奇偶性依次为<>A．偶函数,奇函数B．奇函数,偶函数C．偶函数,偶函数D．奇函数,奇函数2．若是偶函数,其定义域为,且在上是减函数,则的大小关系是<>A．＞B．＜C．D．3．已知,那么＝_____.4．若在区间上是增函数,则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是,且满足,,如果对于,都有,<1>求；<2>解不等式.6．当时,求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值,求的值.8．已知函数的最大值不大于,又当,求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B.奇次项系数为4.D.5.A.奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性6.A.7.A.在上递减,在上递减,在上递减8.D.二、填空题1..奇函数关于原点对称,补足左边的图象2..是的增函数,当时,3..该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小；自变量最大时,函数值最大4..5..三、解答题1．解：当,在是增函数,当,在是减函数；当,在是减函数,当,在是增函数；当,在是减函数,在是增函数,当,在是增函数,在是减函数.2．解：,则,3．解：,显然是的增函数,,4．解：对称轴∴<2>对称轴当或时,在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C.选项A中的而有意义,非关于原点对称,选项B中的而有意义,非关于原点对称,选项D中的函数仅为偶函数；2.C.对称轴,则,或,得,或3