专题5.3 正余弦函数的图像与性质（十一个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.3正余弦函数的图像与性质知识点1正余弦函数的图象1.正弦函数的图象（五点法）①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)．2．余弦函数图象方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于.方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接．温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．（2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．重难点1“五点法”作图的应用1．用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取内五个关键点，即分别令x＝0，，，π，2π即可．【详解】∵，∴周期T＝2π．由“五点法”作图可知:应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得点的坐标分别为，∴B正确．故选：B．【点睛】本题考查五点法作图，取内五点即可，属于基础题．2．已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：

x0π2π【答案】填表见解析；作图见解析【分析】根据“五点法”列表，描点作图即可得解.【详解】补充完整的表格如下：x0π2π13531描点、连线得函数的图象如图所示，

3．函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）【答案】答案见解析【分析】先写出分段函数，列出表格，从而画出函数图象.【详解】，按五个关键点列表：0010003010描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：4．用“五点法”画出下列函数的简图：(1)，；(2)，．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）（2）先列表，再描点，然后连线即可【详解】（1）按五个关键点列表：0010012101描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图，

（2）按五个关键点列表：010012002描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图．

5．作出函数的图象【答案】见解析【分析】去绝对值后，结合函数的图象，即可画出函数的图象.【详解】，，作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图

重难点2利用正余弦函数的图象求不等式6．若，且，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解，，再求解交集即可.【详解】由，可得或；由，可得．综上，的取值范围是．故选：B.7．（1991·全国·高考真题）满足的x的集合是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】根据正弦函数图象，解不等式.【详解】，故，，解得：，，所以满足的x的集合是.故选：A8．当，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案.【详解】由题意，，当时，，而在上单调递减，在上单调递增，故的取值范围为，故选：B9．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，得，充分性成立；由，得，必要性不成立，从而可判断.【详解】由，得，但由，得，不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A10．不等式在上的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果.【详解】∵，则，注意到，结合余弦函数图象解得.故选：D.11．根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据正余弦函数的图象，结合诱导公式求解即可.【详解】（1）

即，当时，或，故由正弦函数的图象可得解得.（2）即，当时，或，故解得（3）即，故当时，或，故，解得.（4）即，故当时，或，故，解得重难点3正余弦曲线与其他曲线的交点问题12．方程的实数解有A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个【答案】D【解析】分别作出与的图象再观察图像判定即可.【详解】解析:作出函数与的图象,如图,观察图象可知,的图象向左无限延伸,且与x轴无限靠近,因此与的图象有无穷多个交点,∴方程的实数解有无穷多个.故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数图像分析函数零点个数的问题,属于基础题.13．已知方程，.若，则方程有（

）解A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【答案】D【分析】在同一平面直角坐标系中分别画出和的函数图象，通过平移的函数图象即可得解.【详解】如图所示：

当时，方程在上有唯一解，当且时，方程在上有两个解，综上所述：方程在上有1个或2个解.故选：D.14．函数，，若方程有个不同的实数解，则的值为.【答案】或【分析】化简函数在上的函数解析式，数形结合可得出实数的值.【详解】当时，，因为方程在上有三个不同的实数解，所以，直线与函数在上的图象有三个交点，如下图所示：

由图可知，当或时，直线与函数在上的图象有三个交点，故或.故答案为：或.15．如果方程在上有两个不同的解，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】结合三角函数图像判断即可；【详解】

结合三角函数图像可知，当时，直线有两个交点，故答案为：16．若函数有两个零点，则实数取值范围是.两个零点之和为.【答案】或【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线，根据图像可得实数m的取值范围，利用对称性可得零点之和.【详解】由得.在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线.如图所示.

由图知,当时,两图像有两个交点,则原函数有两个零点,此时.设两个零点分别为,,由于两交点关于直线或关于对称,所以或,或.故答案为：；或.知识点2周期函数1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期知识点3正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数图象定义域定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在()上单调递增;在上单调递减在上单调递增;在()上单调递减最值当()时，;当()时，;当()时，;当时，对称性对称中心为(),对称轴为直线()对称中心为(),对称轴为直线()温馨提示：（1）正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．（2）正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．重难点4三角函数的周期问题17．函数的最小正周期为．【答案】/【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数的最小正周期.【详解】因为的最小正周期为，所以的最小正周期为．故答案为：.18．求下列函数的周期：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），（2）中利用三角函数周期可求解，（3）根据周期函数定义结合正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以：的周期为：，故所求周期为：.（2）由题意知：，所以：的周期为：，故所求周期为：.（3）由题意可得：，根据函数周期的定义可得：的周期为.又的图象可以看成将在轴下方的图象翻折到轴上方得到的，故其最小正周期为，故所求周期为：.19．请写出一个最小正周期为的函数．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据三角函数周期公式确定即可得答案.【详解】由的周期为，得，不妨取，得一个满足题意的函数.故答案为：（答案不唯一）20．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则.【答案】6【分析】根据余弦函数相邻两零点的距离与周期的关系即可得到答案.【详解】∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为，∴周期，由，得.故答案为：6.21．已知函数的最小正周期为，则.【答案】12【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值.【详解】由于，依题意可知.故答案为：22．函数的最小正周期是，则．【答案】【分析】利用周期公式直接构建关于参数的方程求解即可.【详解】因为函数的最小正周期是，所以可得，解得，故答案为：.重难点5三角函数的奇偶性问题23．下列函数中是偶函数的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数，对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数，对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数，故选：B24．函数是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对【答案】B【分析】利用诱导公式化简给定的函数，再利用余弦函数性质判断作答.【详解】依题意，函数，化为是偶函数.故选：B25．若函数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据函数的奇偶性可排除BD，再根据时函数值的符号即可排除A.【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故排除BD，当时，，，所以，故排除A，而C满足题意故选：C.26．已知函数是偶函数，则.【答案】1【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式求解即得.【详解】函数的定义域为R，依题意，，则，，即，整理得，而不恒为0，，因此，所以.故答案为：127．已知，若，则．【答案】【分析】构造新函数，利用的奇偶性求解．【详解】设，易知的定义域是，又，∴是奇函数，∵，所以，∴，故答案为：．28．若函数为奇函数，当时，，则.【答案】【分析】首先利用奇函数的性质求，再求值.【详解】因为函数是奇函数，所以，得，即时，，所以.故答案为：重难点6求三角函数的单调区间29．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（

）A．在上单调递增，在上单调递减B．在上单调递增，在上单调递减C．在及上单调递增，在上单调递减D．在上单调递增，在及上单调递减【答案】C【分析】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可.【详解】解：，当时，函数y单调递增；当时，函数y单调递减；当时，函数y单调递增．故只有C正确．故选：30．已知函数，则在上的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解.【详解】当时，，所以当，即时，函数单调递增．故选：B.31．已知函数，则的一个单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】函数，由正弦函数的性质知，函数在、上都不单调，在上单调递减，即选项BCD都不是，函数在上单调递增，A是.故选：A32．函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间，利用复合函数性质，可得所求区间为，，化简即可求解.【详解】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间,令，，解得，，所以原函数的单调递减区间为，.故选：．33．函数和都单调递增的区间是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调递增区间即可求解.【详解】函数的单调递增的区间是，函数的单调递增的区间是，由，可得函数和都单调递增的区间是.故选：A.34．已知函数．(1)求函数的最小正周期及；(2)求函数的单调递增区间；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据三角函数周期公式即可求函数的最小正周期；（2）根据三角函数单调性即可求函数的单调增区间；【详解】（1）对于函数，它的最小正周期为；；（2）令，，求得，，即，．所以，函数的单调递增区间是．重难点7利用单调性比较三角函数值的大小35．给出下列各式的值：①②③④其中符号为负的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A【分析】首先判断出各角所处的象限，再根据不同象限三角函数值的符号即可得出①②③符号为负，利用三角函数单调性即可求得，即可得出结论.【详解】对于①，易知，即5弧度的角位于第三象限，其正弦值为负，符合题意；对于②，易知是第二象限角，其余弦值为负，正弦值为正，所以可得符号为负，符合题意；对于③，易知弧度的角与弧度的角终边相同，又弧度的角位于第二象限，其正切值为负，即的符号为负，符合题意；对于④，由三角函数单调性可知，所以，符号为正，不符合题意.所以符号为负的是①②③.故选：A36．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指对数函数及余弦函数性质判断大小关系即可.【详解】由，则，而，所以.故选：D37．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦函数的单调性可判断的大小关系，利用可得，结合两边取对数可得的大小关系，即可得答案.【详解】因为，故，即，又，即，故，即，即，故选：D38．已知a，b是两个连续整数，若，则.（从“，，”这三个符号中选择一个填空）【答案】【分析】先根据不等式求出，然后利用正弦函数单调性比较大小即可.【详解】因为a，b是两个连续整数，且，所以，因为函数在上单调递减，所以.故答案为：39．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦函数的单调性比较大小即可.（2）利用余弦函数的单调性比较大小即可.【详解】（1）由于，且在区间上单调递增，所以．（2）由于，且在区间上单调递增，所以．重难点8求三角函数的对称性40．函数的图象的一条对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断是否成立即可.【详解】时，不是对称轴；时，不是对称轴；时，是对称轴；时，不是对称轴；故选：C41．已知函数，，则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令，得，所以曲线关于直线对称．令，得，所以曲线关于直线对称．因为所以“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件．故选：42．（多选）函数具有性质（

）A．最小正周期为 B．图象关于点对称C．图象关于直线对称 D．在区间是减函数【答案】ABD【分析】根据正弦函数的性质一一判断可得.【详解】因为，所以函数的最小正周期，故A正确；因为，所以函数图象关于点对称，故B正确；又，所以函数图象不关于直线对称，故C错误；当，则，因为在上单调递减，所以函数在区间是减函数，故D正确；故选：ABD43．（多选）已知函数（），下列结论错误的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上是减函数D．函数的图象关于直线对称【答案】BC【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确；当时，，的图象不关于点对称，故B错误；当时，，因为在上不单调，所以函数在区间上不是减函数，故C错误；当时，为最大值，的图象关于对称，故D正确．故选：BC．44．函数，的图象的对称中心的坐标是.【答案】，，.【分析】利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标，即可得解.【详解】由可得，又，所以或或，所以函数的对称中心为，，.故答案为：，，.重难点9求三角函数的值域45．设函数，.(1)求函数的最小正周期和对称轴方程以及单调递增区间；(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【分析】（1）利用三角函数周期定义即可求得函数的最小正周期，利用整体代换法即可求得函数的对称轴方程以及单调递增区间；（2）利用正弦函数图像性质和换元法即可求得函数在区间上的最小值和最大值，进而得到取最值时的值.【详解】（1）的最小正周期为，由，可得，则的对称轴为，由，可得，则的单调递增区间为.（2）由，可得，则，故函数在区间上的最小值为最大值为，当即时函数取得最小值为，当即时函数取得最大值为.46．已知函数，，若函数的值域为，则.【答案】/【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】因为，则，则，则，即，则.故答案为：.47．已知函数.(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)求在区间上的单调递减区间.【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)，.【分析】（1）根据正弦函数的性质结合条件即得；（2）利用正弦函数的单调性结合条件即得.【详解】（1）由可得,，当得即时，函数取得最大值，当得即时，函数取得最小值，即在区间上的最大值为，最小值为；（2）∵时单调递减，∴时单调递减，当时，；当时，；∴的单调递减区间是，.48．已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)求函数单调递减区间；(3)求在区间上的最值．【答案】(1)(2)(3)最小值为，最大值【分析】（1）先通过周期公式求出参数,再求的值;（2）利用整体的思想令求解即可;（3）还是利用整体的思想,先算出的范围，再求出的范围，即可求得最值.【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，可得，则，（2），令解得则函数单调递减区间.（3）因为，所以，可得，，所以在区间上的最小值为，最大值.49．（1）函数，的值域为；（2）函数的最大值是.【答案】【分析】（1）由的范围可得的范围，结合余弦函数性质可求得结果；（2）令，将问题转化为关于的二次函数最大值的求解问题，结合的范围可求得结果.【详解】（1）当时，，，，即的值域为；（2），；令，则，，则当时，，即的最大值为.故答案为：；.50．已知函数．(1)若，求实数的值；(2)求的最大值．【答案】(1)或(2)答案见解析【分析】（1）将条件代入运算可得解；（2）换元，令，，化为，分类讨论求出的最大值.【详解】（1）函数，所以整理得，解得或．（2）因为，设，则，化为，则为二次函数，开口向下，对称轴为，所以当，即时，的最大值为；当，即时，的最大值为；当，即时，的最大值为；所以当时，的最大值；当时，的最大值为；当时，的最大值为．重难点10根据单调性求参数51．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围.【详解】，∵函数在区间内单调递增，∴，∴，∵，∴，若在区间上单调递增，则，解得，当时，，又因为，∴.故选：A52．已知函数在上单调递增，则的最大值为．【答案】【分析】求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系，列式计算即得.【详解】函数中，由，得，即函数的单调递增区间为，依题意，，则，解得，由，得，即，而，因此，所以的最大值为.故答案为：53．若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是．【答案】【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据，结合角的范围确定是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.【详解】函数，令，解得：，令，解得：则的单调递增区间为，单调递减区间为，若函数在区间上是单调递增函数，则，是一个三角形的内角，，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，是一个三角形的内角，，若函数在区间上是单调递减函数，则，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，与矛盾，函数在区间上是不能是单调递减函数，综上所述，，故答案为：.54．已知函数在上单调递增，则取值范围是.【答案】【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，然后列不等式求解即可.【详解】令，解得，所以的单调递增区间为，因为在上单调递增，所以，解得，所以.故答案为：55．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为