-人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件 教学设计

课程根本信息课题数学活动：探究四点共圆的条件教科书书名：《义务教育教科书数学〔九年级上册〕》出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月教学目标教学目标：〔1〕探索并证明对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论. 〔2〕在探究的过程中，体会由特殊到一般的数学思想，积累数学活动经验.教学重点：四点共圆的条件的探究.教学难点：四点共圆的条件的证明.教学过程时间教学环节主要师生活动一、创设情境，提出问题【创设情境】〔1〕经过一点A，可以在平面内作无数个圆.〔2〕经过两点A，B，可以在平面内作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.〔3〕经过三点：假设A，B，C三点共线，那么不能作出过三点的圆；假设A，B，C三点不共线，可以作出一个圆.即：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆.〔4〕经过平面内四点：假设四个点中有任意三点共线，那么不能作出过四点的圆；假设其中任意三点都不共线，能否作出过四点的圆呢？【提出问题】过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？二、探究问题，提出猜测【引例】过以下四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形 矩形 平行四边形 等腰梯形 直角梯形想一想：正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有这些特征的其它四边形，过它的四个顶点是否一定能作一个圆？【猜测1】有一组对边平行的四边形的四个顶点共圆.【猜测2】有两个角是直角的四边形的四个顶点共圆.分析：需要分情况讨论.当两个直角相邻时，由直角梯形可知，四个顶点不一定共圆.当两个直角相对时，如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.如图2，连接BD，作BD的中点O，连接OA，OC，那么OA=OB=OD=OC，所以A，B，C，D在圆O上. 图1 图2【猜测3】过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.三、证明猜测，得出结论：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A，B，C，D四点共圆.证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，那么点D在⊙O内或点D在⊙O外. 假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，那么∠B+∠E=180°.又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.这与△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以点D不在⊙O内.假设点D在⊙O外，〔请自己完成后面的画图和证明〕……综上，假设不成立，点D在过A，B，C三点的圆上.结论：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.四、运用迁移【例】三角形的三条高线交于一点.：如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长交BC于F.求证：AF⊥BC.【例】如图，∠ABC=∠ADC.求证：A，B，C，D四点共圆.五、总结提升【课堂小结】你可以用哪些方法证明四点共圆？如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？【布置作业】如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，添加以下条件中的一个后，不一定使A，B，C，D四点共圆的是〔〕.〔A〕∠B+∠D=180° 〔B〕∠A=∠BCD〔C〕∠A=∠DCE 〔D〕∠A=∠BCD=90°如图，将一个含45°角的直角三角板ABC和一个含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜边AC恰好重合，那么∠BDC=________°.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点〔不与B，C重合〕，∠AEF=9