高考数学理北师大版一轮复习测评9-7-2利用空间向量求二面角与空间距离

核心素养测评五十一利用空间向量求二面角与空间距离1.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D.(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值.(3)求点C到平面B1DP的距离.【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.因为B1P∥平面BDA1,B1P平面AB1P,平面AB1P∩平面BA1D=OD,所以B1P∥OD.又因为O为B1A的中点,所以D为AP的中点.因为C1D∥AA1,所以C1为A1P的中点.所以DC1=QUOTEAA1=QUOTECC1,所以C1D=CD.(2)建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,则B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,QUOTE,所以QUOTE=(1,0,0),QUOTE=(1,0,1),QUOTE=0,1,QUOTE.设平面BA1D的一个法向量为n=(x1,y1,z1).由QUOTE得QUOTE令z1=2,则x1=2,y1=1,所以n=(2,1,2).又QUOTE=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,所以cos<n,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由图形可知二面角AA1DB为锐角,所以二面角AA1DB的平面角的余弦值为QUOTE.(3)因为C(0,1,1),D0,1,QUOTE,B1(1,0,0),P(0,2,0),所以QUOTE=0,0,QUOTE,QUOTE=1,1,QUOTE,QUOTE=0,1,QUOTE.设平面B1DP的一个法向量为m=(x2,y2,z2).由QUOTE得QUOTE令z2=2,则x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以点C到平面B1DP的距离d=QUOTE=QUOTE.2.(2020·咸阳模拟)如图,在多面体ABCDE中,已知四边形BCDE为平行四边形,平面ABC⊥平面ACD,M为AD的中点,AC⊥BM,AC=BC=1,AD=4,CM=QUOTE.(1)求证:BC⊥平面ACD.(2)求二面角DBME的余弦值.【解析】(1)在△MAC中,因为AC=1,CM=QUOTE,AM=2,所以AC2+CM2=AM,所以由勾股定理的逆定理,得MC⊥AC,又AC⊥BM,BM∩CM=M,所以AC⊥平面BCM,因为BC平面BCM,所以BC⊥AC,因为平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,BC平面ABC,所以BC⊥平面ACD.(2)因为BC⊥平面ACD,所以BC⊥CM.又BC⊥AC,MC⊥AC,故以点C为坐标原点,CA,CB,CM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,所以AQUOTE,BQUOTE,MQUOTE,DQUOTE,EQUOTE,所以=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE.设平面DBM的法向量为m=QUOTE.由得QUOTE取z1=1,所以m=QUOTE.设平面EBM的法向量为n=QUOTE.由得QUOTE取z2=1,所以n=QU