云南省普洱市重点中学2023-2024学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

云南省普洱市重点中学2023-2024学年高考全国统考预测密卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则2．在中，，则=（）A． B．C． D．3．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A． B． C． D．4．函数的大致图象为（）A． B．C． D．5．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A． B． C． D．6．若满足约束条件则的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．37．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．9．从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．10．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（）A． B． C． D．12．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.14．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.15．已知公差大于零的等差数列中，、、依次成等比数列，则的值是__________．16．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.19．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的周长.20．（12分）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.21．（12分）在本题中，我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.（1）若在区间上是闭函数，求常数的值；（2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数.22．（10分）已知函数f(x)=ex-x2-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k的取值范围；（2）证明：f(x)的极大值不小于1．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；对于，由，知：，又，，正确；对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.2、B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．【详解】如下图，，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．3、C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.4、A【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.【详解】，排除掉C，D；，，，.故选：A．【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.5、B【解析】

甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．6、D【解析】

画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.7、C【解析】

根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，当且仅当时取“＝”号．

答案：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.8、D【解析】

易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.故选D．【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.9、A【解析】

根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解.【详解】设点的坐标为，由题意知，焦点,准线方程，所以，解得，把点代入抛物线方程可得，，因为，所以，所以点坐标为，代入斜率公式可得，.故选：A【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.10、D【解析】

设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．【详解】设，因为，所以，所以，解得：，所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．11、C【解析】

设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，，，则，设，则，两式相减得到：，，，即，，，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12、B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据递推公式，以及之间的关系，即可容易求得，再根据数列的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求.【详解】当时，，解得.所以.因为，则，两式相减，可得，即，则.两式相减，可得.所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，故，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题.14、【解析】

确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体中，记的中点为，连接，则平面即为平面．证明如下：由正方体的性质可知，，则，四点共面，记的中点为，连接，易证．连接，则，所以平面，则．同理可证，，，则平面，所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，其对角线，，所以其面积．故答案为：【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.15、【解析】

利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的关系，然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为，则，由于、、依次成等比数列，则，即，，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.16、；【解析】

求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值．【详解】圆：的标准方程为，圆心为，由题意，即，∴，当且仅当，即时等号成立，故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）连接，，则且为的中点，又∵为的中点，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，．取平面的一个法向量为，由，得：，令，得同理可得平面的一个法向量为∵平面平面，∴解得，得，又，设直线与平面所成角为，则.所以，直线与平面所成角的正弦值是．18、（1）；（2），理由见解析.【解析】

（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；（2）设点的坐标为，求出直线的方程，求出点的坐标，由此计算出直线和的斜率，可计算出的值，进而可求得的值，即可得出结论.【详解】（1）由题意可知，椭圆的上焦点为、，由椭圆的定义可得，可得，，因此，所求椭圆的方程为；（2）设点的坐标为，则，得，直线的斜率为，所以，直线的方程为，联立，解得，即点，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，，，因此，.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.【详解】（1）由题设得.由正弦定理得∵∴，所以或.当，（舍）故，解得.（2），从而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周长为.【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.20、（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把点代入椭圆方程，求得，所以椭圆方程为；（2）由题易得直线、斜率均存在，又，所以，设直线代入椭圆方程，化简得，其一解为，另一解为，可求，用代入得，，为定值.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率21、（1）；（2）.【解析】

（1）依据新定义，的定义域和值域都是，且在上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨论的单调性，列出方程求解即可。【详解】（1）当时，由复合函数单调性知，在区间上是增函数，即有，解得；同理，当时，有，解得，综上，。（2）若在上是闭函数，则在上是单调函数，①当在上是单调增函数，则，解得，检验符合；②当在上是单调减函数，则，解得，在上不是单调函数，不符合题意。故满足在区间上是闭函数只有。【点睛】本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。22、（1）；（2）见解析【解析】

（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解