2023-2024学年河北省保定市定州市高二（上）期末数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省保定市定州市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系中，直线x+3yA.30° B.60° C.150°2.已知直线l1：(t+4)x−2yA.2 B.−2 C.3 D.3.圆O1：x2+y2=1与圆A.1 B.2 C.3 D.44.已知数列{an}的首项a1=3，且A.3 B.−2 C.43 5.在三棱锥P−ABC中，M为AC的中点，则A.12BA+12BC+

6.已知双曲线C：x2a2−y2b2A.233 B.3247.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4A.144 B.324 C.400 D.3648.已知双曲线C：x2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=2x−m与C相交于AA.2 B.42 C.2或4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若椭圆E：x2m2+y23mA.−1 B.1 C.3 D.10.关于空间向量，以下说法正确的是(

)A.若非零向量a，b，c满足a⊥b，c⊥b，则a/​/c

B.若对空间中任意一点O，有OP=12OA+23OB−16OC，则P，A，B，C四点共面

C.11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，EA.三棱锥D−EFG的体积为定值

B.存在点G，使得平面EFG/​/平面AB1D1

C.当CG=112.已知抛物线C：y2=2px，点P(1,−2)在C上，过点Q(0,1)的直线l与CA.k1+k2=−2 B.k1+k三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,214.已知A(4,1)，B(3,0)，M是抛物线15.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为______．16.在数列{an}中，a1=1，an+an+四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4=4a1，S3=36．

(1)求{an}的通项公式；18.(本小题12分)

已知圆C与圆D：(x−3)2+(y−1)2=4关于直线l：x−y=0对称．

(19.(本小题12分)

一动圆经过点F(0,2)且与直线y=−2相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线l与C交于20.(本小题12分)

在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC，E为AB的中点．

21.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2=6，2Sn=4Sn−1−n2+3n22.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过A(0,1),P(85,−35)两点．

(1)求C的方程；

(2)斜率不为0的直线l与椭圆C答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．

把直线的方程化为斜截式，根据斜率求出它的倾斜角．【解答】

解：在平面直角坐标系中，直线x+3y−3=0，即y=−33x+3，

它的斜率为−32.【答案】B

【解析】解：因为两条直线垂直，所以(t+4)×1−2×(t+3)=3.【答案】D

【解析】解：圆O1：x2+y2=1与圆O2：(x−3)2+(y−4)2=4.【答案】A

【解析】解：因为数列{an}的首项a1=3，且an+1=22−an，可知a2=−2，a3=125.【答案】B

【解析】解：PM=BM−BP=16.【答案】C

【解析】解：因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距是虚轴长的4倍，

所以c=4b，7.【答案】D

【解析】解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，

所以S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，

所以(S4−S2)2=S28.【答案】B

【解析】解：双曲线C：x2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=2x−m与C相交于A，B两点，

设F1到直线AB的距离为d1，F2到直线AB的距离为d2，则d1=|−22−m|5，d2=|22−m|5．

因为9.【答案】CD【解析】解：①若m2>3m+2>0，则m2−3m−2=2，解得m=4或m=−1(舍去)；

②若3m10.【答案】BC【解析】解：对于A，∵非零向量a，b，c满足a⊥b，c⊥b，∴由向量垂直的性质得向量a与向量c不一定平行，故A错误；

对于B，∵OP=12OA+23OB−16OC，12+23−16=1，∴由共面向量定理得P，A，B，C四点共面，故B正确；

对于C，由由投影向量得：

a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=12b=(12,12,1)，故11.【答案】AB【解析】解：对于A选项，∵△DEF的面积为定值，

又B1C/​/平面DEF，∴点G到平面DEF的距离为定值，

∴三棱锥D−EFG的体积为定值，∴A选项正确；

建立如图所示的空间直角坐标系，

则根据题意可得A1(2,0,2)，C(0,2,0)，E(1,0,0)，

F(0,0,1)，B1(2,2,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)．

对于B选项，易知A1C=(−2,2,−2)是平面AB1D1的一个法向量．

设平面EFG的法向量为n=(x1,y1,z1)，

又CB1=12.【答案】BC【解析】解：抛物线C：y2=2px，点P(1,−2)在C上，

将(1,−2)代入y2=2px，得p=2．

过点Q(0,1)的直线l与C相交于A，B两点，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=t(y−1)，

联立方程组x=t(y−1),13.【答案】14【解析】解：A(2,0,2)，B(1,2,−1)，

所以OA=14.【答案】7+【解析】解：由题可知B(3,0)为抛物线C的焦点，C的准线方程为x=−3，

设d为点M到C的准线的距离，则|MA|+|MB|=|MA|+d≥7，

当且仅当M15.【答案】38

【解析】解：该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3，

设该阶梯大教室共有n排，则5n+n(n−1)2×3=258，

解得n=12或−433(舍去)，

所以该阶梯大教室最后一排的座位数为16.【答案】1−【解析】解：由Sn=a1+1ea2+1e2a3+⋯+1en−1an，得eSn=ea1+a2+1e17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由a4=4a1，S3=36，可得a1+3d=4a1，3a1+3d=36，

解得a1=d=6【解析】(1)由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；

(2)由等差数列的求和公式，结合数列的裂项相消求和，可得18.【答案】解：(1)由题可知，圆D的圆心为D(3,1)，半径为2，

则原C的半径为2，设圆C的圆心C(a,b)，

因为圆心C与圆心D关于直线l：x−y=0对称，

所以b−1a−3=−1a+32−b+【解析】(1)求出点D关于直线l：x−y=0的对称点即为圆心C，再写出圆C的标准方程即可；

(2)由点到直线的距离公式求出D到直线19.【答案】解：(1)设动圆半径为r，圆心为P，

则|PF|=r，点P到直线y=−2的距离为|y+2|=r=|PF|．

又点F(0,2)不在直线y=−2上，

所以动圆圆心P的轨迹是以F(0,2)为焦点，y=−2为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为x2=8y【解析】(1)根据抛物线的定义写出曲线C的方程即可；

(2)设A(x120.【答案】(1)证明：连接AC1，与A1C交于点F，连接EF，则F为AC1的中点．

因为E为AB的中点，所以△ABC1中，EF是中位线，EF/​/BC1，

又因为BC1⊄平面A1EC，EF⊂平面A1EC，所以BC1/​/平面A1EC；

(2)解：取A1B1的中点D，连接ED，则DE/​/AA1，结合AA1⊥平面ABC，可得DE⊥底面ABC，

根据CE是等边△ABC的中线，可得CE⊥AB．

因为DE⊥底面ABC，CE⊂底面ABC，所以DE⊥CE【解析】(1)根据题意，可利用三角形中位线定理构造线线平行，从而证出BC1/​/平面A1EC；

(221.【答案】解：(1)证明：由2Sn=4Sn−1−n2+3n+4(n≥2)，

得2Sn=4an+n2−3n−4(n≥2)，令n=2，由a2=6，可得a1=3．

当n≥3时，2Sn−1=4a【解析】(1)由数列的通项与前n项和的关系，以及等比数列的定义、通项公式，可得所求；

(2)求得bn22.【答案】解：(1)由椭圆经过A(0,1),P(85,−35)两点，

所以b2=1,6425a2+