2024年高考数学优等生培优第1讲 集合技巧全攻略-解析版36

第1讲集合技巧全攻略交集并集补集结论一、集合的互异性对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例如集合,则有[例1]设集合,则中元素的个数为（）. A.3 B.4 C.5 D.6[答案][解析]因为集合,所以的值可能为.所以中元素只有:5，6，7故选.[变式]已知集合各元素之和等于3,则实数（）[答案]2或[解析]根据集合中元素的互异性,当方程重根时,重根只能算一个元素..当时,,不合题意;当,即时,,符合题意;当,且时,,则,符合题意.综上,或.结论二、集合相等对于两个集合与,如果,且,那么集合与相等,记作.[例2]设,集合,则（）. A.1 B. C.2 D.[答案]C[解析]由题意知,又,故,得,则集合,可得,则.故选.【变式】设,若,则（）[解析]因为,所以,所以,所以.结论三、集合子集个数真子集有个,非空真子集有个.[例3]已知集合,则的子集个数为（）. A.3 B.4 C.7 D.8[答案]D[解析]因为集合,所以,,所以中含有3个元素,集合的子集个数有.故选.【变式】设集合,若至少有3个元索,则这样的一共有（）. A.2个 B.4个 C.5个 D.7个[答案]C[解析]因为集合至少有3个元素,所以满足条件的集合有:,所以这样的一共有5个.故选.结论四、子集与交集若,则;若,则.[例4]已知集合.若,则实数的值是（）. A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2[答案]C[解析]因为,所以,所以或故选.【变式】已知集合,若,则实数的取值范围是（）. A. D.[答案]C[解析]由,即,可得,故.由可得,故.故选.结论五、子集与并集若,则;若,则.[例5]已知集合，.若,则的取值范围是（）. A. B. C. D.[答案]C[解析]因为,所以,即,得,解得,所以的取值范围是.故选C.【变式】设全集,若,则下列正确的是(). A. B. C. D.[答案]B[解析]由可得,所以.故选B.结论六、子集与空集题目中若有条件,则应分和两种情况进行讨论.[例6]若集合,,且,则实数[答案]0或或[解析]由可得或,因此(1)若,得,此时,;(2)若,得.若,满足或,解得或.故所求实的值为0或或.【变式】已知,则的取值范围是___________[答案][解析]应分和两种情况讨论.当,即时,,满足,即;当,即时,,满足,即;当,即时,由,得即;综上,.故的取值范围是.结论七、交集与空集由于,因此,中的可以为.[例7]已知集合,且,则实数的取值范围为（）. [答案]D[解析]由,得,得,所以4}.又,所以.(1)当时,有,解得.(2)当时,有综上,.故选.【变式】设,若,实数组成的集合的子集有（）个.[答案]8[解析]集合化简得,由知,故()当时,即方程无解,此时符合已知条件.(当时,即方程的解为3或5,代人得或综上,满足条件的组成的集合为,故其子集共有个.结论八、并集与空集由于,因此,中的可以为.[例8]已知集合,则的取值是(). A. B. C. D.[答案]D[解析]，，当时,.若,则方程无实数解,此时;,则方程的实数解为,此时;若,则方程的实数解为3,此时;若,则方程的实数解为和3,此时不存在.综上,的取值是.故选D.【变式】已知集合,若,实数的取值范围为_______[答案][解析],因为,所以.(1)当时,即,解得(2)当时,即综上,实数的取值范围为.结论九、反演律（德摩根定律)(交的补等于补的并)（并的补等于补的交）[例9]若为全集,下面三个命题中是真命题的有()(1)若,则.(2)若,则.(3)若,则. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个[答案]D[解析]（1） (2);(3)证明:因为,即,而,所以;同理,所以=综上，三个命题均为真命题.故选D.【变式】若全集,则集合等于（）. [答案]D[解析]因为,所以.故选D.结论十、容斥原理用表示集合中的元素个数(有资料中用或其他符号)，则通过维恩图可理解其具备的二维运算性质.[例10]高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下:参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三;参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人;两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为[答案]40人[解析]设，，.设该班两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，由图可知,,解得，因为(人),所以该班总人数为40人.【变式】设是有限集,定义,其中表示有限集中的元素个数,命题(1):对任意有限集"是“"的充分必要条件;命题对任意有限集.下列判断正确的是（）. A.命题(1)和命题(2)都成立 B.命题(1)和命题(2)都不成立 C.命题(1)成立,命题(2)不成立 D.命题(1)不成立,命题(2