误差理论和测量平差课件

平差數學模型與最小二乘原理

2-1測量平差概述

在測量工程中，最常見的是要確定某些幾何量的大小。例如，為了求定一些點的高程而建立了水準網，為了求定某些點的座標而建立了平面控制網或三維測量網。前者包含點間的高差、點的高程等元素，後者包含角度、邊長、邊的方位角以及點的二維或三維座標等等元素。這些元素都是幾何量，以下統稱這些網為幾何模型。為了確定一個幾何模型，並不需要知道該模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其他元素可以通過它們來確定。例如：（1）在圖2-1的△ABC中，為了確定它的形狀（相似形），只要知道其中任意2個內角的大小就行了，如等。它們都是同一類型的元素（角度）。（2）為了確定ΔABC的形狀和大小（全等形），只要知道其中任意的2角1邊、2邊1角或3邊的大小就行了，如、、,、、,、、，…，等等。

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（3）在圖2-2的水準網中，為了確定A、B、C、D4點之間高度的相對關係，只要知道其中3個高差就行了，如、、或、、或、、…等等。它們是同一類型的元素（高差）。能夠唯一地確定一個幾何模型所必要的元素，簡稱必要元素；必要元素的個數用t來表示。對於上述三種情況，分別是t=2,t=3和t=3。對於第二種情況，3個元素中除了角度還至少要包含一個邊長，沒有邊長仍然只能確定其形狀；返回目錄

而無法確定其大小，因此，必要元素不僅要考慮其個數，而且要考慮以它的類型。由此可知，當某個幾何模型給定之後，能夠唯一確定該模型的必要元素的個數t及其類型，t只與幾何模型有關，與實際觀測量無關。對於任一幾何模型，它的t個必要元素之間必要不存在函數關係，亦即其只任一元素不能表達成其餘（t-1）個元素的函數。例如，對於（1）中的情況，若以和作為必要元素，則與間無函數關係；又如在（2）情況中，選、、，則++=180º

，三者之間存在函數關係，就不能說t=3，實際必要元素只選了兩個，而漏選了一個。因此必要元素t個量為函數獨立量，簡稱獨立量。在一個幾何模型中，除了t個獨立量以外，若再增加一個量，則必然產生一個相應的函數關係式。仍以（2）情況中，必要量選為、、，若增加一個量，則存在++=180º

，若再增加一個量，則有返回目錄

由此可知，一個幾何模型的獨立量個數最多為t個，除此之外，增加一個量必然要產生一個相應的函數關係式，這種函數關係式，在測量平差中稱為條件方程。在測量工程中，為了求得一個幾何模型中各量的大小就必須進行觀測。如果總共觀測了該模型中n個量的大小，若觀測個數少於必要元素的個數，即n<t，顯然它無法確定該模型，即出現了數據不足的情況；若觀測了t個獨立量，n=t，則可唯一地確定該模型。由於它們都是獨立量，故不存在任何條件方程，在這種情況下，如果觀測結果中含有粗差甚至錯誤，都將無法發現，在測量工作中是不允許這樣做的。為了能及時發現粗差和錯誤，並提高測量成果的精度，就必須使n>t，若令

r=n-t（2-1-1）式中n為觀測值個數，t稱為必要觀測數，r稱為多餘觀測數。多餘觀測數在測量中又稱“自由度”。返回目錄

一個幾何模型如果有r個多餘觀測，就產生r個條件方程。由於觀測值不可避免地存在觀測誤差，由觀測值組成上述條件方程必不能滿足，仍以（2）中情況為例，若觀測了角度L1、L2、L3和邊長S1、S2，考慮觀測誤差，有

因r=n-t=5-3=2，可組成2個條件方程為（2-1-2）

（2-1-3）若用觀測值組成上述兩個條件方程，則不能成立，即（2-1-4）返回目錄

造成條件方程不閉合，或者說存在閉合差，例如（2-1-4）式中的，就是該三角形角度條件方程的閉合差。由於觀測不可避免地存在偶然誤差，當n>t時，幾何模型中應該滿足r=n-t個條件方程，實際存在閉俁差而並不滿足，如何調整觀測值，即對觀測值合理地加上改正數，使其達到消除閉合差的目的，這是測量平差的主要任務。一個測量平差問題，首先要由觀測值和待求量間組成數學模型，然後採用一定的平差原則對待求量進行估計，這種估計要求是最優的，最後計算和分析成果的精度。返回目錄2-2測量平差的數學模型

一、條件平差法

二、間接平差法

三、附有參數的條件平差法

四、附有限制條件的間接平差法

五、平差的隨機模型返回目錄

在日常生活和科學技術領域中，時常見到許多模型，一般可將其分為兩大類，一類是將實物尺寸放大或縮小而得的模型，稱為實物模型；另一類是用文字、符號、圖表或者對研究的對象進行抽象概括，用數學關係式來描述它的某種特徵或內在聯繫的模型。前者稱為模擬模型，後者稱為數學模型。總稱為抽象模型。在測量工程中，涉及的是通過觀測量確定某些幾何量或物理量大小等有關的數量問題，因而考慮的模型總是數學模型。平差的數學模型與一般數學只考慮函數模型不同，它還要考慮隨機模型，因為觀測量是一種隨機變數。所以平差的數學模型同時包含函數模型和隨機模型兩種，在研究任何平差方法時必須同時予以考慮。函數模型是描述觀測量與待求量間的數學函數關係的模型，是確定客觀實際的本質或特徵的模型。隨機模型是描述觀測量及其相互間統計相關性質的模型。建立這兩種

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模型是測量平差中最基本而首先考慮的問題。對於一個實際平差問題，可建立不同形式的函數模型，與此相應，就產生了不同的平差方法。函數模型分為線性函數模型和非線性函數模型兩類。測量平差通常是基於線性函數模型的，當函數模型為非線性形式時（例如2-1-3式），總是將其用臺勞公式展開，並取其一次項化為線性形式。下麵簡述各類基本平差方法的線性函數模型和隨機模型，總稱為數學模型。一、條件平差法

以條件方程為函數模型的平差方法，稱為條件平差法。現以圖2-2所示水準網為例，說明條件平差的函數模型。圖中A為已知其高程的水準點，B、C、D均為未知點。網中觀測向量的真值為，為了確定B、C、D三點的高程，其必要觀測數（即必要元素）t=3，故多餘觀測數r=n-t=3。應列出3個線性無關的條件方程，它們可以是返回目錄

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則上式為（2-2-1）又如在圖2-1ΔABC中，觀測了三個內角，多餘觀測r=n-t=2-2=1，存在條件方程為令返回目錄

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則上式為（2-2-2）一般而言，如果有n個觀測值，l個必要觀測，則應列出r=n-t個條件方程，即（2-2-3）如果條件方程為線性形式，可直接寫為（2-2-4）

A0為常數向量，如在（2-2-1）式中，在（2-2-2）式中為-180。將代入（2-2-4）式，並令（2-2-5）則（2-2-4）式為（2-2-6）（2-2-4）或（2-2-6）式為條件平差的函數模型。條件平差的自由度即為多餘觀測數r，即條件方程的個數。返回目錄

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二、間接平差法

由2-1知，在一個幾何模型中，最多只能選出t個獨立量，如果在進行平差時，就選定t個獨立量作為參數，那末通過這t個獨立參數就能唯一地確定該幾何模型了。換言之，模型中的所有量都一定是這t個獨立參數的函數，亦即每個觀測量都可表達成所選t個獨立參數的函數。選擇幾何模型中t個獨立量為平差參數，將每一個觀測量表達成所選參數的函數，即列出n個這種函數關係式，以此為平差的函數模型，稱為間接平差法，又稱為參數平差法。在圖2-3的ΔABC中，觀測量為其中三個內角選定∠A和∠B為平差參數，設為，即

因為通過這t=2個參數可以唯一地確定該三角形的形狀。將每一個觀測量均表達為這兩個平差參數的函數，返回目錄

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由圖知

（2-2-7）方程的個數等於觀測值的個數。一般而言，如果某平差問題有n個觀測值，t個必要觀測值，選擇t個獨立量作為平差參數，則每個觀測量必定可以表達成這個t個參數的函數，即有（2-2-8）如果這種運算式是線性的，一般為

例如，在（2-2-7）式中

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將代入（2-2-9）式，並令

l=L-d

(2-2-10)

則有（2-2-11）考慮E（）=0，上式也可寫成（2-2-12）以上的（2-2-9）或（2-2-11）式就是間接平差的函數模型。儘管間接平差法是選了t個獨立參數，但多餘觀測數不隨平差不同而異，其自由度仍是r=n-t。返回目錄

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三、附有參數的條件平差法

設在平差問題中，觀測值個數為n，t為必要觀測數，則可列出r=n-t個條件方程，現又增設了u個獨立量作為參數，而0<u<t，每增設一個參數應增加一個條件方程。以含有參數的條件方程作為平差的函數模型，稱為附有參數的條件平差法。例如，在圖2-3的ΔABC中，觀測量為三個內角，，選擇∠A為平差參數，此時，r=n-t=2-2=1，有一個條件方程，由於增加了一個參數，應再增加一個條件方程。現列出如下

令

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則上式可寫成（2-2-14）一般而言，在某一平差問題中，觀測值個數為n，必要觀測數為t，多餘觀測數r=n-t，再增選u個獨立參數，0<u<t，則總共應列出c=r+u個條件方程，一般形式為（2-2-15）如果條件方程是線性的，其形式為

（2-2-16）將代入上式，並令（2-2-17）則得（2-2-18）（2-2-16）或（2-2-18）式為附有參數的條件平差法的函數模型。此平差問題，由於選了u個獨立參數，方程總數由r個增加到c=r+u個，故平差的自由度為r=c-u。返回目錄

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四、附有限制條件的間接平差法

如果進行間接平差，就要選出t個獨立量為平差參數，按每一個觀測值所選參數間函數關係，組成n個觀測方程。如果在平差問題中，不是選t個而是選定u>t個參數，其中包含t個獨立參數，則多選的s=u-t個參數必是t個獨立參數的函數，亦即在u個參數之間存在著s個函數關係，它們是用業約束參數之間應滿足的關係。因此，在選定u>t個參數進行間接平差時，除了建立n個觀測方程外，還要增加s個約束參數的條件方程，故稱此平差方法為附有限制條件的間接平差法。一般而言，附有限制條件的間接平差法可組成下列方程：（2-2-19）（2-2-20）線性形式的函數模型為（2-2-21）（2-2-22）該平差問題的自由度r=n-(u-s)。返回目錄

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五、平差的隨機模型

對於以上四種基本平差方法，最基本的數據都是觀測向量，進行平有效期時，除了建立其函數模型外，還要同時考慮到它的隨機模型，亦即觀測向量的協方差陣：（2-2-23）式中D為L的協方差陣，Q為L的協因數陣，P為L的權陣，Q與P互為逆陣，為單位權方差。以上各種平差方法的函數模型連同（2-2-23）式中的隨機模型，就稱為平差方法的數學模型。在進行平差計算之前，必須同時具備其函數模型和隨機模型，前者可以按上述介紹的方法建立，後者則須知道D，Q或P中之一。一般情況下，觀測向量的協方差陣D在平差前都是未知的，通常是按第二章仲介紹的方法估計確定，稱為先驗協方差。可通過平差計算求出其估值，然後求得D的估值：（2-2-24）返回目錄

返回本節2-3函數模型的線性化

在各種平差中，所列出的檔方程或觀測方程，有的是線性形式，也有的是非線性形式。在進行平差計算時，必須首先將非線性方程按臺勞公式展開，取至一次項，轉換成線性方程。四種基本平差方法的一般形式的函數模型為（2-2-3）、（2-2-8）、（2-2-15）和（2-2-19）式。如果是非線性形式，就需要將其線性化。設有函數（2-3-1）為了線性化，取的充分近似值Xo，使（2-3-2）同時考慮到（2-3-3）均要求是微小量，故在按臺勞公式展開時可以略去二次和二次以上的項，而只取至一次項，於是有返回目錄

若令

（2-3-4）

（2-3-5）則函數的線性形式為（2-3-6）根據函數線性化過程，很容易將上述四種基本平差方法的非線性方程轉換成線性方程。返回目錄

條件平差法：

式中令W=-F（L）（2-3-7）可得其函數模型為

AΔ-W=0

（2-3-8）此即（2-2-6）式。間接平差法：

式中令（2-3-9）可得其函數模型為（2-3-10）此即（2-3-11）式。

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附有參數的條件平差法：，式中A，B即（2-3-4）、（2-3-5）式，令（2-3-11）可得其函數模型為（2-3-12）此即（2-2-18）式。附有限制條件的間接平差法：由（2-2-19）、（2-2-20）式知，一般方程為因為返回目錄

令（2-3-13）考慮（2-3-10）式，其函數模型為（2-3-14）（2-3-15）此即（2-2-21）和（2-2-22）式。式中

（2-3-16）返回目錄2-4參數估計與最小二乘原理

平差問題是由於測量中進行了多餘觀測而產生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對參數和觀測量（或Δ）作出某種估計，並評定其精度。所謂評定精度，就是對待估量的方差與協方差作出估計。所以，可統稱為對平差模型的參數進行估計。一、參數估計及其最優性質

由於多餘觀測而產生的平差數學模型，都不可能直接獲得唯一解。例如，條件平差的函數模型（2-2-6）式，條件方程個數為r，而待估未知量Δ有n個，n>r，Δ不能唯一確定。又如間接平差的函數模型（2-2-1）式，方程個數為n，待求參數和Δ共有t+n個，同樣，和Δ不能唯一確定。測量平差中的參數估計，是要在眾多的解中，找出一個最為合理的解，作為平差參數的最終估計。為此，對最終估計值應該提出某種要求，考慮平差所處理的

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是隨機觀測值，這種要求自然要從數理統計觀點去尋求，即參數估計要具有最優的統計性質，從而可對平差數學模型附加某種約束，實現滿足最優性質的參數唯一解。這種約束是用某種準則實現的，其中最廣泛採用的準則是最小二乘原理。數理統計中所述的估計量最優性質，主要是估計量應具有無偏性、一致性和有效性的要求，現簡單引用如下：（1）無偏性設為參數的估計量，如果估計量的數學期望等於參數，即（2-4-1）則稱為的無偏估計量。否則估計量不具有無偏性。（2）一致性滿足概率運算式

(2-4-2)

則稱為的一致估計量，其中n為子樣容量，是任意小的正數。返回目錄

若估計量同時滿足（2-4-3）

則稱為的嚴格一致性估計量。嚴格一致性估計量一定是一致性估計量。（3）有效性若是的無偏估計量，具有無偏性的估計量並不唯一。如果兩個無偏估計量和，具有（2-4-4）則稱比有效，其中具有方差最小性的估計量，即，則為的最有效估計量，稱為最優估計量。數理統計理論證明，具有無偏性、最優性的估計量必然是一致性估計量，所以測量平差中參數的最佳估值要求是最優無偏估計量。由於平差模型是線性的，最佳估計也稱為最優線性無偏估計。返回目錄

二、最小二乘原理

在生產實踐中，經常會遇到利用一組觀測數據來估計某些未知參數的問題。例如，一個作勻速運動的質點在時刻的位置是，可以用如下的線性函數來描述：（2-4-5）式中是質點在時刻的初始位置，是平均速度，它們是待估計的未知參數，可見這類問題為線性參數的估計問題。對於這一問題，如果觀測沒有誤差，則只要在兩個不同時刻和觀測出質點的相應位置和，由（2-4-5）式分別建立兩個方程，就可以解出和的值了。但是，實際上在觀測時，被觀測的不是而是，是觀測誤差。於是有這樣，為了求得和，就需要在不同時刻來測定其位置，得一組觀測值，返回目錄

這時，由上式可以得到（i=1,2,…,n）（2-4-6）若令，，，

則（2-4-6）式為（2-4-7）這是間接平差的函數模型。如果將對應的用圖解來表示，則可作出如圖2-4所示的圖形，從圖中要以看出，由於存在觀測誤差的緣故，由觀測數據繪出的點——觀測點，描繪不成直線，某些“擺動”。這裏就產生這樣一個問題：用什麼準則，來對參數返回目錄

和進行估計，從而使直線“最佳”地擬合於諸觀測點。這裏的“最佳”一詞要以有不同的理解。例如，可以認為：各觀測點直線最大距離取最小值時，直線是“最佳”的；也可以認為，各觀測點到直線的偏差的絕對值之和取最小值時，直線是“最佳”的，等等。在不同的“最佳”要求下，可以求得相應問題中參數和不同的估值。但是，在解這類問題時，一般應用的最小二乘原理，按照最小二乘原理的要求，認為“最佳”地擬合於諸觀測點的估計曲線，應使諸觀測點到該曲線的偏差的平方和達到最小。設觀測值的估值為是觀測值的改正數（或稱殘差），是的估值，則由可以寫出所謂最小二乘原理，就是要在滿足（2-4-8）

的條件下解出參數的估值，若令返回目錄

若令則上式也可寫為

（2-4-9）式中表示參數的估計向量，在上述例子中，。滿足（2-4-9）式中估計稱為X的最小二乘估計，這種求估計量的方法就稱為最小二乘法。從以上的推導看出，只要具有（2-4-6）式的線性關係的參數估計因此，這種估計方法在實踐中被廣泛地應用。測量中的觀測值是服從正態分佈的隨機變數，最小二乘原理可用數理統計中的最大似然估計來解釋，兩種估計準則的估值相同。設觀測向量為，L為隨機正態向量，其數學期望和方差分別為返回目錄

由最大似然估計準則知，其似然函數（即L的正態密度函數）為

（2-4-10）由（2-4-7）式並顧及則知（2-4-11）故（2-4-10）式也可寫成返回目錄

或

（2-4-12）按最大似然估計的要求，應選取能使lnG取得極大值時的作為X的估值量。由於上式右邊的第二項前是負號，所以只有當該項取得極小值時lnG才能取得極大值，換言之，的估值量應滿足如下條件：（2-4-13）

考慮為常量，上式可寫成（2-4-14）顧及V是的估值，則有（2-4-15）（2-4-14）式可簡寫成（2-4-16）此即最小二乘原理。返回目錄

由此可見，當觀測值為正態隨機變數時，最小二乘估計可由最大似然估計導出，由以上兩個準則出發，平差結果完全一致。最小二乘原理中的P陣，稱為權陣，定義是設為獨立觀測值，其權為，則有

式中Qii為Li的的權倒數或協因數，權陣及協因數陣為如果為相關觀測值，則有返回目錄

協因數Q與協方差D統計含義相同，數量上僅差一常量，如果，則D=Q。因為權陣返回目錄

雖然仍為的倒數，但由於，權陣P中主對角元素Pii已不再具有權的意義，P僅表示Q-1，但在運算時具有權的作用。特別地，當為同精觀測時，則P=I，則最小二乘原理是

(2-4-17)返回目錄條件平差

第一節條件平差原理

在第二章已經給出條件平差有效期的數學模型

(3-1)(3-2)

條件方程個數等於多餘觀測數r＝n-t，n為觀測值總數，t為要觀測數。由於r<n,由（3－1）式不能求得V的唯一解，但可按最小二乘原理求V的最或然值，從而求出觀測量的最或然值，又稱平差值。條件平差法就是要求在滿足r個條件方程（3－1）下，求函數VrPV=min的V值，在數學中是求函數的條件極值問題。返回目錄

一、條件平差原理

設有r個平差值線性條件方程

（3-3）式中aij(i=1,2,…,r;j=1,2,…，n)為條件方程係數，aio(i=1,2,…r)為條件方程的常數項。將的平差值=L+V代入上式，得條件方程為

（3-4）返回目錄

式中Wi=(i=1,2,…,r)稱為條件方程的閉分差，或稱不符值，即

（3-5）令

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則（3-3）式為（3-6）同樣，（3-4）為（3-7）（3-5）式為（3-8）按求函數極值的拉格朗日乘數法，設其乘數為k=(k1,k2,…,kr)T，稱為聯繫數向量。組成函數，將Ф對V求一階導數，並令其為零，得，

兩邊轉置，得

PV=ATK，得改正數V的計算公式為

V=P-1ATK=QATK

（3-9）上式稱為改正數方程。返回目錄

將n個改正數方程（3-9）和r個條件方程（3-7）聯立求解，就可以求得一組唯一的解：n個改正數和r個聯繫數。為此，將（3-7）和（3-9）式合稱為條件平差的基礎方程。顯然，由基礎方程解出的一組V，不僅能消除閉合差，也必能滿足，VTPV=min的要求。解算基礎方程時，是先將（3-9）式代入（3-7）式，得AQATK+W=0，令（3-10）則有NaaK+W=0(3-11)

上式稱為聯繫數法方程，簡稱法方程。法方程係數陣Naa的秩R（Naa）=R（AQAT）=R（A）=r，即Naa是一個r階的滿秩方陣，且可逆。由此可得聯繫數K的唯一解。當p為對角陣時，改正數方程（3-9）和法方程（3-11）的純量形式分別為（3-12）返回目錄

和

（3-13）式中

（i=j=1,2,…，r）（3-14）當P為非對角陣時，設

（3-15)

權陣P的逆陣為觀測的協因數矩陣Q，返回目錄

設

（3-16）

因此，改正數方程（3-9）的純量形式為

（i=1,2,…,n）

(3-17)

法方程係數

(3-18)

從法方程解出聯繫數ki後，將ki值代入改正數方程，求出改正數V，再加上觀測值L，得平差值

=L+V

（3-19）這樣就完成了按條件平差求平差值的工作。返回目錄

二、條件平差計算步驟與算例

綜合以上所述可知，按條件平有效期求平差值的計算步驟可歸結為：1．根據平差問題的具體情況，列出條件方程（3-7）式，條件方程的個數等於多餘觀測數r。2．根據條件式的係數，閉合差及觀測值的權組成法方程（3-11）式，法方程的個數等於多餘觀測數r。3．解演算法方程，求出聯繫數K值。4．將K代入改正數方程（3-9）式，求出V值，並求出平差值=L+V。5．為了檢查平差計算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程（3-6）式，看其是否滿足方程。返回目錄第二節條件方程

從上節中可以看出，條件方程的組成是關鍵性的一步，如果這一步有誤，即使在後續計算中不發生錯誤，也會導致平差結果的不正確，達不到平差的的最後目的。本節介紹常規測量中遇到的基本圖形條件方程的組成。

一、水準網

二、測角網

三、測邊網

四、邊角網返回目錄

一、水準網

水準網平差的主要目的，是確定網中未知點的最或然高程。例如圖3-3的水準網中，有四個已知水準點（圖中以“⊕”表示的點），兩個未知點（圖中以“O”表示的點），並有六個觀測值。從圖中可以看出，要確定E和F點的高程，必須觀測兩個觀測值，如h1和h6，或h4和h3等等。可見，在有已知點的水準網中，必要觀測的個數就等於未知點的個數。圖3-3中，必要觀測個數t=2，而條件方程個數r=n-t=6-2=4。返回目錄

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如果水準網中沒有已知點，這時，只能假定某點的高程為已知，並以此為基準，去確定其他各點的相對高程。例如圖3-4的水準網，其中沒有已知水準點，這時，通過平差計算，只能確定各點的相對高程。為此，可先假定某一點高程值為已知，例如高HA=100.00m，並以此為基準，去確定B、C、D等點的相對高程。這樣，只要觀測三個觀測值就行了。所以，在沒有已知點的水準網中，必要觀測的個數等於網中全部未知點的個數減1。圖3-4的水準網中，必要觀測個數t=4-1=3，而條件方程個數為r=6-3=3。水準網中條件方程的組成方法見例[3-1]和例[3-2]。二、測角網

圖3-5為一測角網，其中A、B是座標為已知的三角點，C和D為待定點，要確定其座標。共觀測了9個水準角，即ai,bi,ci(i=1,2,3)。

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根據角度交會的原理知，為了確定C、D兩點的平面座標，必要觀測t=4，例如測量a1和b1可計算D點座標，再測量a2和c2可確定待定點C。於是，圖3-5的多餘觀測數r=n-t=9-4=5。故總共應列出5個條件方程。測角網的基本條件方程有三種類型，現以此例說明。

第一類是三角形內角和條件，通過圖形條件。由圖3-5可列出三個圖形條件，即（i=1,2,3）其最後形式為（i=1,2,3）返回目錄

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第二類是圓周條件或稱水準條件。由圖3-5可列出一個圓周條件，即或

第三類是極條件或稱邊長條件。滿足上述4個條件方程的角值還不能使圖3-5的幾何圖形完全閉合，例如，由邊長通過a2、b2、c2計算邊長，通過a1、b1、c1由計算邊長，再由通過a3、b3、c3計算邊長，計算的結果，其邊長不會相同。為了使其相同，要列出一個極條件。即或（3-20）返回目錄

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此即極條件方程，為非線性形式。按函數模型線性方法，將上式用臺勞公式展開取至次項，即可得線性形式的極條件方程。將代入（3-20）式，展開可得

=返回目錄

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經化簡即有

=0,

(3-21)

這就是極條件（3-20）的線性形式。三、測邊網

和測角同一樣，在測邊網中也可分解為三角形，大地四邊形和中點多邊形三種基本圖形。對於測邊三角形，決定其形狀和大小的必要觀測為三條邊長。所以t=3，此時r=n-t=3-3=0，即測邊三角形不存在的條件方程。對於測邊四邊形，決定第一個三角形必須觀測3條邊長，決定第二個三角形只需要再增加2條邊長，所以確定一個四邊形的圖形，必須觀測5條邊長，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在一個條件方程。對於中點多邊形，例如中點五邊形，它由四個獨立三角形組成，此t=3+2×3=9，故有r=n-t=10-9=1。返回目錄

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因此，測邊網中的中點多邊形與大地四邊形個數之和，即為該網條件方程的總數。這類條件稱為圖形條件。圖形條件的列出，可應用角度閉合法、邊長閉合法和麵積閉合法等，本節僅介紹角度閉合法。測邊網的圖形條件按角度閉合法列出，其基本思想是：利用觀測邊長長求出網中的內角，列出角度間應滿足的條件，然後，以邊長改正數代換角度改正數，得到以邊長改正數表示的圖形條件。返回目錄

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例如，圖3-8的測邊四邊形中，由觀測邊長Si(i=1,2,3…6)精確地算出角值βj(j=1，2，3)，此時，平差值條件方程為以角度改正數表示的圖形條件為，（3-25）式中同樣，圖3-9中的測邊中點三邊形中，以角度改正數表示的圖形條件為：，（3-26）式中上述條件中的角度改正數必須代換成觀測值（邊長）的改正數，才是圖形條件的最終形式。為此，必須找出邊長改正數和角度改正數之間的關係式。返回目錄

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下麵（以圖3-10為例）給出角度改正數與邊長改正數之間的關係式。由余弦定理知微分得

(3-27)返回目錄

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由圖（3-10）知

故有（3-28）將上式中的微分換成相應的改正數，同時考慮到式中dA的單位是弧度，而角度改正數是以（″）為單位，故上式可寫成：（3-29）這就是角度改正數與三個邊長改正數之間的關係式，以後稱該式為角度改正數方程，上式規律極為明顯，即任意一角（例如A角）的改正數等於其對邊（Sa邊）的改正數與兩個夾邊（Sb,Cc邊）的改正數分別與其鄰角余弦（Sb邊鄰角為C角，Sc邊鄰角為B角）乘積負值之和，再乘以為分子，以該角至其對邊之高（ha）為分母的分數。返回目錄

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按照上述規律，可以寫出圖3-8中角β1、β2及β3的角度改正數方程分別為

（3-30）式中h1、h2及h3分別是從A點向角對邊所作的高。將上列三式代入（3-25）式，按的順序並項，即得四邊形的以邊長改正數表示的圖形條件：

（3-31）返回目錄

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如果圖形中出現已知邊時，在條件方程中，要把相應於該邊的改正數項舍去。對於圖3-9中的中點三邊形來說，β1、β2及β3的改正數與各邊改正數的關係式為將上述關係代入（3-26）式，並按的順序並項，即得中點三邊形的圖形條件，即

（3-32）返回目錄

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在具體計算圖形條件的係數和閉合差時，一般取邊長改正數的單位為cm，高h的單位為km，取2.062，而閉合差的單位為（″）。由觀測邊長計算係數中的角值（圖3-10），可按余弦定理或下式計算

（3-33）式中

而高h為返回目錄

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四、邊角網

在邊角網的條件方程中，一般有與測角網相同的圖形條件，圓周條件和極條件，以及平差圖形中觀測角和觀測邊的平差值應滿足的幾何條件，即按正弦定理和余弦定理列立的正弦條件或余弦條件。例如，圖3-11的邊角網中的九個條件方程，有三個是角度之間的圖形條件和一個極條件，其餘五個條件可列立邊與角之間的正弦條件方程。正弦條件指的是：平差圖形中觀測角和觀測邊的平差值應滿足正弦定理。例如，圖3-12中，應列一個角度的圖形條件和兩個正弦條件,返回目錄

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即，，。顯然，正弦條件是非線性的，應線性化。將非線性條件線性化，可按真數和對數兩種形式進行。例如，將上述第二式按真數形式線性化為：，式中以代入，按臺勞公式展開至一次項，得，（3-34）式中具體計算時，（3-34）式中，邊長改正數va和vb以秒為單位，邊長以公里為單位，則取2.062，而閉合差

其單位是釐米。返回目錄

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在邊角網中，觀測了三條邊和一個內角（圖3-13），此時，應列一個余弦條件，即由三角邊的平差值求出的A角的值，應與A角平差值相等，顯然，式中為由三邊觀測值精確求得的角值，的改正數，它是由於邊長有改正數而引起的，它們之間的關係見（3-30）式，

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即。因此，余弦條件為，即，式中，而分數中的b和c角可按正弦定理求出，高ha可按（3-33）式求出。實際計算時，Va及W以秒為單位，以釐米為單位，ha以公里為單位，則。返回目錄

返回本節第三節精度評定

在條件平差中，精度評定包括給出單位權方差的估值計算公式和平差值函數的協因數及其中誤差的計算公式。為此，還要導出有關向量平差後的協因數陣，或稱驗後協因數陣。在一般情況下，觀測向量的協方差陣往往是不知道的，為了評定精度，還要利用改正數V計算單位權方差的估值，然後才能計算所需要的各向量的協方差陣和任何平差結果的精度。一、計算單位權方差的估值公式

計算任何平差方法中的單位權方差估值，都是用VTPV除以多餘觀測值r，即（3-35）返回目錄

有了單位權方差的估值和某向量的驗後協因數陣，例如已知平差值的協因數陣QLL，即可計算平差值向量的協方差陣（3-36）

至於計算單位權方差估值的公式為何要用VTPV除以多餘觀測值r，將在第五節中予以說明。（3-35）中的VTPV可以用已經算出的V向量和已知的權陣P直接計算，也可以按以下導出的公式進行計算。因為V=P-1ATK=QATK，故有（3-37）即二次型VTPV也可以用聯繫數K的具有方陣Naa的二次型來進行計算。此外，因為

(3-38)VTPV也可用聯繫數K和閉合差W進行計算。返回目錄

當P為對角陣時，VTPV的純量運算式為（3-39）或（3-41）順便指出，改正數平方和這一二次型函數是測量平差中一個重要的統計量，在誤差統計檢驗和統計分析中常要用到。二、協因數陣

在條件平差中，基本向量為L、W、K、V、L，通過平差計算之後，它們都可表達成隨機向量L的函數，本節將推求它們各自的協因數陣以及兩兩向量間的互協因數陣。設

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