数学-专项25 直角三角形中由动点引起的分类讨论问题（原版）

专题25直角三角形中由动点引起的分类讨论问题【模型展示】特点解直角三角形的动点问题，一般分三步走第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．结论直角三角形的性质并能灵活应用【题型演练】一、单选题1．如图，M，A，N是直线l上的三点，，P是直线l外一点，且，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（

）A．直角三角形--等边三角形--直角三角形--等腰三角形B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等边三角形C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形D．等腰三角形--直角三角形--等边三角形--直角三角形二、填空题2．如图，中，，，cm，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为_____________．

3．如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．4．已知：如图，正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）．且，连接，，．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：①是等腰直角三角形；②面积的最小值是；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积是1．其中正确结论的序号有_______________．

5．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．6．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝________cm时，△BAP为直角三角形．7．如图，长方形中，，．为边上的一个动点，将沿折叠，使点落在处．题：当时，的长为___________．题：当为直角三角形时的长为____________．8．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是_____．9．如图，等边的边长是，点是线段上一动点，连接，点是的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是直角三角形时，则线段的长度为______．

10．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．三、解答题11．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．12．如图，在矩形中，设，，且．(1)若为方程的两根，且，求的值．

(2)在（1）的条件下，为上一点（异于两点），在什么位置时，为直角三角形？(3)为上一动点（异于两点），当满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个？请直接写出满足的数量关系．13．如图，是边长是的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：(1)当点到达点时，与的位置关系如何？请说明理由.(2)在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由.(3)则当为何值时，是直角三角形？14．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF．(1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果）(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；(3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数．15．如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作，交AB于点E．

（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED＝_____．（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝_____．16．如图，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S．(1)当t=___________时，△PQR的边QR经过点B(2)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．17．如图，在中，，，P是BC边上一动点，，过A点作射线，交射线PN于点D．(1)求AC的长；(2)求证：；(3)连接CD，若为直角三角形，求BP的长．18．矩形的边在x轴上，点C、D在第一象限，且，点A的坐标为

，如图（1）．(1)直接写出点C的坐标为（，）；(2)过点A的直线与矩形的一条边交于点E，如果直线把矩形分成两部分图形的面积比为，求直线的解析式；(3)P是线段上动点，，连接，以为直角边在的逆时针方向作等腰直角三角形，且，，如图（2）．①求出点Q的坐标（用含m的式子表示）；②连接，当线段的长度最短时，求m的值；19．问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？(1)问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：；(2)问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________；(3)问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

20．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，直线与x轴交于点B，点M，N分别是直线，在第一象限内的动点，且，连接MN．(1)直接写出m的值，点B的坐标，及的度数；(2)求的值；(3)当是直角三角形时，直接写出点M的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B和点C在x轴上，点A在y轴上，，，且a，b满足．(1)证明为等边三角形；(2)现有一动点P从点A沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接，在的下方作等边三角形过点Q作轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒，的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）

(3)在（2）问的条件下，已知，当为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线与x轴的交点E的坐标．22．如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G．(1)求线段的长；(2)如图2，M，N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设．①求证四边形AFGD为菱形；②是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．23．如图，矩形顶点的坐标为，定点的坐标为．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动．、两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒，和矩形重叠部分的面积为．(1)当______时，的边经过点；(2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，点A坐标（﹣9，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

(1)求点B、点C的坐标；(2)求直线AC的解析式；(3)若点N在射线DE上，是否存在点N使BCN是等腰直角三角形？若