利用向量法求点到平面距离的利与弊获奖科研报告论文

利用向量法求点到平面距离的利与弊获奖科研报告论文江西省临川二中(344100)

引进空间向量以后，若能建立空间直角坐标系，求点到平面的距离似乎比以前更容易了，所以，学生遇到立几题动不动就用向量方法做，固然向量方法简单，但一味地追求一种方法，不仅使学生的思维僵化，而且会淡化后面很多的概念学习与掌握.本文就点到平面距离的向量求法例说其利与弊，以帮助学生在计算这类问题时灵活地选用传统方法和向量法.

例1如图1所示，PA⊥面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.

(1)求证：AF∥平面PCE；

(2)若二面角P-CD-B为45°，AD=2,CD=3，求点F到面PCE的距离.

分析：对第(2)小问由于学生难于作出F到面PEC的高，又不能合理转化，故首先考虑选用向量法.

解法一：如图1以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，PA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵AD⊥DC，PD⊥DC，∴二面角P-CD-B的平面角为∠PDA=45°，又∵AD=2,DC=3,∴PA=2,A(0,0,0),P(0,0,2),B(3,0,0),C(3,2,0),D(0,2,0),E(32,0,0),F(0,1,1),从而㏄E=(32,0,-2),〦C=(32,2,0),〧C=(3,1,-1),设面PEC的一个法向量为n=(x,y,z),∵n摺酮㏄E,n摺酮〦C,∴n•㏄E=0,n•〦C=0,

即32x-2z=0,

32x+2y=0,令x=2,则z=32,y=-32,则〧C咴谙蛄縩叻较蛏贤队暗木对值即为点F到面PEC距离.d=|n•〧C遼|n遼=|6-32-32|4+94+94=634=33417.

解法二：根据第一问：求点F到面PCE的距离即为点A到面PCE的距离.∵V〢-PCE=V㏄-AEC,∴13S△PCE•h瑼=13S△AEC•h璓.由P-CD-B为45°知，PA=AD=2,E为AB中点，∴AE=BE=32,∴PE=EC=52,PC=17,∴S△PCE=12•17•254-174=342.S△AEC=12•BC•AE=32,从而h瑼=S△AEC•h璸S△PCE=32×2342=33417.∴点F到平面PCE的距离为33417.

评注：比较上面两种解法，可以看出解法一求解目标明确，只要求出平面PEC的法向量，再找F到平面的一条斜线段，即可求得F到平面的距离，但运算量很大.解法二利用等积法，在同一三棱锥中转换顶点和底面，达到求解目的，运算量比较小，求F到面PEC的距离转化为A到平面PEC的距离可承接第(1)问的证明，且P-AEC的体积易求，故首选解法二.

由解法二的求解，启示我们可直接找到求F到平面PEC距离的方法.

解法三：由解二知，EP=EC,取PC中点G，连EG，则EG⊥PC，又AF∥EG，AF⊥面PCD，∴EG⊥面PCD，EG糚EC,∴面PEC⊥面PCD.过F作FH⊥PC，则PH⊥面PEC，∴FH即为所求距离.由△PFH∽△PDC知.

PH=CD•PFPC=3217=33417.

显然解法三比前面二种解法都要省时省力，体现了传统方法的优越性.

例2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a,P为A1B上的一点.

(1)若P是A1B的中点，求证PC⊥AB；

(2)若A1PPB=23，求二面角P-AC-B的大小；

(3)在(2)的条件下，求A1C1到面PAC的距离.

分析：如果要用向量法证明PC⊥AB，除了正确地选择坐标架外，还要算出P、C、A、B的坐标，运算量大，故宜选用传统方法.

证明：(1)如图2，取AB的中点M，连PM、CM，由PM∥AA1

PM⊥面ABC

CM⊥AB軦B⊥面PMC.∴AB⊥PC.

(2)解法一：如图3，过P点作PQ⊥AB，得PQ∥=35•AA1，且PQ⊥面ABC.过Q作QN⊥AC于N点，连PN，根据三垂线定理得PN⊥AC.∴∠PNQ为二面角P-AC-B平面角.在△AQN中，AQ=25a,得QN=AQ玸in60°=25a×32=35a,从而由玹an∠PNQ=PQQN=35a35a=3，得∠PNQ=60°，∴二面角P-C-B大小为60°.

若不去作P-AC-B的平面角，可考虑用向量法.

解法二：就以Q为原点，QB所在直线为x轴，过Q在面ABC内与QB垂直的直线为y轴，QP所在直线为z轴，则Q(0，0，0)，P(0，0，35a)，A(-25a,0,0),C(a10,32a,0),∴〢P=(25a,0,35a),〤P=(-a10,-32a,35a)，取平面ABC的法向量﹏1=(0,0,1),平面PAC的法向理﹏2=(x,y,z),由﹏2•〢P=0及﹏2•〤P=0莳﹏2=(-3,3,2),∴玞osθ=﹏1•﹏2遼﹏1遼|﹏2遼=12,∴θ=60°.

(3)解法一：∵A1C1∥AC，∴A1C1∥面PAC.求A1C1到面PAC的距离，即为求A1点到面ACP的距离.∵A1PPB=23,∴A1点到PAC的距离等于B点到面PAC距离的23倍.由V㏄-ABC=V〣-APC知,13S△ABC•h璸=13•S△APC•hB，过Q作QH⊥AC于H，连PH，则PH⊥AC，∴QH=AQ•玸in60°=35a,∴PH=PQ2+QH2=235a，由34a2•35a=12PH•AC•h瑽,∴h瑽=3320a312•a•235a=34a,∴h〢1=23h瑽=a2，故A1C1到面PAC的距离为a2.

解法二：由(2)知面PAC的一个法向量﹏2=(-3,3,2),〢1C=(a2,32a,-a),d=|﹏2•〢1C遼|﹏2遼=|32a-32a+2a|3+9+4=a2.

评注：比较例2中的各种解法，第(2)小问中的传统方法比向量方法要更简捷，运算也小；但第(3)小问中，在第(2)小问用向量法求解的基础上，求A