论新课标下数列高考复习的策略优秀获奖科研论文

论新课标下数列高考复习的策略优秀获奖科研论文新课改的四个实验省区的学生，已于2007年6月参加新课程下的高考，纵观新高考数学试卷的数列试题，笔者深深体会到：试卷紧扣新课标(以下简称《标准》)要求，在考察学生基础知识和基本技能的同时，注重考察学生的创新能力.与《大纲》要求的高考数列试题对比，难度明显降低.因此，《标准》下数列高考复习与《大纲》下数列高考复习要有所区分，要注意以下策略：

1研究《标准》与《大纲》的联系与区别

1.1《标准》要求

(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.(2)等差数列、等比数列：①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念.②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系和等比关系，并能用有关知识解决相应问题.④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.

1.2《大纲》要求

(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.

1.3联系与区别

从上述要求可以看出，《标准》与《大纲》相比，对数列内容的要求变化不大，即主干知识基本不变，最大的变化是《标准》突出了数列与函数的内在联系，《大纲》比较注重数列中各参量之间的关系以及恒等变形.《标准》对数列内容的整体定位是：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在数列的学习中，学生通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.

2强化主干知识复习

通过《标准》与《大纲》对比，我们知道数列这一章的主干知识是：等差数列→等比数列→数列的通项及前n项和的求法.因此，高考复习中应抓住主干知识线，实施有效复习，帮助学生构建知识网络.

2.1等差数列{a璶}

(1)要求学生理解等差概念，掌握等差数列的通项公式，弄清等差数列与一次函数的关系.

利用等差概念容易得到：a2-a1=d,a3-a2=d,…,a璶-a﹏-1=d，将n-1个式子相加得：a璶=a1+(n-1)d輆璶=dn+(a1-d)，当d≠0时，a璶是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线上的离散的点.通项公式a璶=a1+(n-1)d可以进一步拓展为a璶=a璵+(n-m)d(n≥m).

(2)抓住等差数列的特征，掌握前n项和公式，弄清前n项的和与二次函数的关系.

等差数列{a璶}中，任意连续三项中，第二项是第一项和第三项的算术平均值，项数和相等的任意两项和相等，由此，可得到前n项和公式S璶=n(a1+a璶)2=na1+n(n-1)2d.等差数列前n项和公式的推导，本质上是用了“倒序相加法”，这种求和方法在复习时一定要强化，并作适当拓展.由等差数列前n项和公式变形可得S璶=d2n2+(a1-d2)n，当公差d≠0时，S璶是关于n的缺常数项的二次函数，它的图象是在一条抛物线上的离散的点，利用这一结论，可以解决求等差数列前几项和最大(小)值的一类问题.

(3)强化“知三求二”的题型训练.

作为高考复习，适当强化题型训练是很有必要的，“知三求二”是等差数列的重要题型，所谓“知三求二”就是等差数列有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公差，只要已知这五个量中的任意三个，就可以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个.对于“知三求二”的题型训练要适度，不要人为编造太难、太繁题目给学生做，这样不仅增加学生负担，而且淡化数学本质，以下例题的难度较为合适.

例1已知{a璶}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差=().

A.-23B.-13C.13D.23

(2007年高考宁夏、海南卷试题)

解由公式S璶=n2(a1+a璶)得：5(a1+10)=70，所以a1=4.又由公式a璶=a1+(n-1)d得：4+(10-1)d=10，所以d=23，选D.

2.2等比数列{a璶}

(1)要求学生理解等比概念，掌握等比数列的通项公式，弄清等比数列与指数函数的关系.

利用等比概念，容易得到等比数列的通项公式：a璶=a1q﹏-1，当q≠1时，a璶是关于n的指数型函数.在复习等比数列的通项公式时，可以把该公式拓展为：a璶=a璵q﹏-m(n≥m).

(2)抓住等比数列的特征，掌握等比数列前n项和公式及其推导方法.

设等比数列{a璶}的公比为q，若q=1，则S璶=na1，若q≠1，则S璶=a1+a1q+a1q2+…+a1q﹏-1①

qS璶=a1q+a1q2+…+a1q﹏-1+a1q琻②

①-②得S璶=a1(1-q琻)1-q.

对比数列前n项和公式的推导，用到的方法是“错位相减”法，这种求和方法在复习时要重点强调，强化练习，力争做到人人过关.

(3)控制“知三求二”题型的难度.

等比数列也有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公比.这五个参量有一定的联系，表现为两个基本关系a璶=a1q﹏-1，S璶=a1(1-q琻)1-q，由关系式知，只要已知这五个参量中的任意三个，就可以求出其余的两个.因此，“知三求二”的问题，就是解方程组的问题.

值得注意的是，对于等比数列，“知三求二”的问题可能出现高次方程，这不在《标准》要求范围之内.《标准》的要求只限制在直接用一元二次方程求解问题，因此，在复习等比数列“知三求二”问题时要注意控制难度，按《标准》要求复习.

例2设数列{a璶}满足a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,a∈N*.

(Ⅰ)求数列{a璶}的通项；

(Ⅱ)设b璶=na璶，求数列{b璶}的前n项和S璶.(2007年高考山东卷试题).

解：(Ⅰ)∵a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,①

∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3﹏-2•a﹏-1=n-13.②

①-②得3﹏-1猘璶=13,a璶=13琻.在①中，令n=1,得a1=13.∴a璶=13琻.

(Ⅱ)∵b璶=na璶,∴b璶=n3琻.∴S璶=3+2×32+3×33+…+n3琻,③

3S璶=32+2×33+3×34+…+n3﹏+1④

④-③得∴2S璶=n3﹏+1-(3+32+33+…+3琻).即2S璶=n3﹏+1-3(1-3琻)1-3,

∴S璶=(2n-1)3﹏+14+34.

例3已知函数f(x)=x2+x-1,α，β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是

ゝ(x)的导数.设a1=1,a﹏+1=a璶-f(a璶)f′(a璶)(n=1,2,…).(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n有a璶>α，记b璶=玪n玜璶-βa璶-α(n=1,2,…).求数列{b璶}的前n项和S璶.(2007年高考广东卷试题)

解(1)由x2+x-1=0，得x=-1±52,∴α=-1+52,β=-1-52.

(2)f′(x)=2x+1,a﹏+1=a璶-a2璶+a璶-12a璶+1=a2璶+12a璶+1.

a﹏+1-βa﹏+1-α=a璶2+12a璶+1+1+52a璶2+12a璶+1+1-52

=a璶2+(1+5)a璶+3+52a璶2+(1-5)a璶+3-52

=a璶+1+52a璶+1-522=a璶-βa璶-α2,

∴b﹏+1=2b璶.又b1=玪n玜1-βa1-α=玪n3+53-5=4玪n1+52,

∴数列{b璶}是一个首项为4玪n1+52,公比为2的等比数列.

∴S璶=4玪n1+52(1-2琻)1-2

=4(2琻-1)玪n1+52.

3把握复习难度

《大纲》要求的高考试卷中，数列常以压轴题的形式出现，以2007年高考为例，《大纲》要求的高考试卷共16份，其中以数列题为试卷最后两题的共有15份，因此，传统的高三数学总复习中，教师对数列部分的内容拓得很广，挖的很深，复习的难度远远超过《大纲》及课本的要求.各种数学杂志也投其所好，发表了不少关于数列内容的文章，象炒股票一样，把数列炒得火热，而把数列本质的东西都抛弃了.难怪有的教师说，数列按《大纲》要求复习，高考很难拿到分数.

《标准》突出数列本质，在实行课改的四省市2007年高考命制的三份试题中，表现的非常突出.三份试题中，只有广东卷把数列题作为压轴题，考察的是等比数列的定义及求等比数列前n项和.宁夏、海南卷数列只作为选择题考查(这在《大纲》教材高考中是不可能出现的)，两道选择题都是考查等差数列、等比数列的基础知识，可以说只要课本知识掌握，解这两道题是不成问题的.山东卷把数列题放在解答题第一