公式法与韦达定理

公式法解一元二次方程推导ax2+bx+c=0x2++=0x2+=-x2++=-+(x+)2=x=根的判别式(b2-4ac)方程有两个不相等的实数根.方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根).方程没有实数根.例：关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______.思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有.解：因为方程有实数根，即：根与系数的关系-韦达定理如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：例：已知一元二次方程的两根，则____，____.解：根据韦达定理得：例：(利用根与系数的关系求值)若方程的两根为，则的值为_____.解：根据韦达定理得：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，例利用根与系数的关系构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。练习若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D．练习若方程的两根之差为1，则的值是_____．常考题型及其相应的知识点：(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：例1：关于的一元二次方程有一根为0，则的值为______.例2：一元二次方程的一个根为，则另一个根为_______.四、拓展延伸：1、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．拓展应用:关于的一元二次方程的一个根是,则;方程的另一根是已知关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由。已知方程，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。在关于的方程中，当两根互为相反数时的值；（2）当一根为零时的值；（3）当两根互为倒数时的值已知一元二次方程的两个实数根满足，，，分别是的，，的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若，求的度数。9、在中，，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于的方程的两个实数根，求的值。例题1：（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k=________（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=__________解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（1+2000a+a2+6a)（1+2000b+b2+5b)=6a•5b=30ab解法二：由题意知∵a2+2000a+1=0；b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（2006a-2000a)（2005b-2000b)=6a•5b=30ab解法三：∵ab=1，a+b=-2000∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（ab+2006a+a2)（ab+2005b+b2)=a(b+2006+a)•b(a+2005+b)=a(2006-2000)•b(2005-2000)=30ab例题2：已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x2-（k+2）x+2k=0的两个实数根,另一条边c=1，求:k的值。韦达定理在解题中的应用一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例2若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例3已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．例4设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例5当m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－