数学-专题05 平方根和立方根的求值问题（带答案）

专题05平方根和立方根的求值问题（解析版）第一部分典例剖析+针对练习类型一利用开方求值典例1（2022春•青羊区校级月考）求下列各式的值：（1）±169（2）−64（3）49144（4）(−4)2思路引领：根据开方运算，可得平方根、算术平方根．解：（1）±169（2）−64（3）49144（4）(−4)总结提升：本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．典例2求下列各式的值：（1）364（2）30.001（3）3(−2（4）−3思路引领：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．解：（1）3＝4；（2）3＝0.1；（3）3＝﹣2；（4）−＝﹣（﹣10）

＝10．总结提升：本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．针对训练：1．（2022春•灵宝市期中）求下列各式的值：（1）364（2）−9（3）±0.49（4）3−1思路引领：分别根据立方根，算术平方根，平方根的定义求出即可．解：（1）原式＝4；（2）原式＝﹣3；（3）原式＝±0.7；（4）原式＝﹣1．总结提升：本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，能熟记定义是解此题的关键．类型二利用开方求未知数的值典例3（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．思路引领：（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．解：（1）169x2＝100，x2x=±100∴x=±10（2）（x+1）2＝81，x+1=±81x+1＝±9，x＝8或﹣10．

总结提升：本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．典例4（2022秋•南京期末）求下列各式中x的值：（1）13（x+2）3（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．思路引领：根据立方根的定义即可求解．（2）两边都乘以3得，（x+2）3＝﹣27，由立方根的定义可得，x+2＝﹣3，解得x＝﹣5．（2）（2x﹣1）3﹣27＝0，（2x﹣1）3＝27，2x﹣1＝3，2x＝4，x＝2．总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．针对训练1．（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0．（2）27（x+1）3+1＝0．思路引领：（1）根据平方根的定义即可求解；（2）根据立方根的定义即可求解．解：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0，﹣3（x﹣2）2＝﹣48，（x﹣2）2＝16，x﹣2＝±4，x＝6或﹣2；（2）27（x+1）3+1＝0，27（x+1）3＝﹣1，

（x+1）3=−1x+1=−1x=−4总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．类型三利用开方的定义解题典例5（2022秋•宁德期末）已知：2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，求a﹣b的值．思路引领：首先根据算术平方根和立方根的定义可得：2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，两式相减可得结论．解：∵2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，∴2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，②﹣①得：2a﹣2b＝﹣8，∴a﹣b＝﹣4．总结提升：此题主要考查了立方根的含义和求法，算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．典例6（2022秋•永年区期中）已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．（1）求a，b的值；（2）求a+b的算术平方根．思路引领：（1）先求出a的值，再根据4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；（2）先求出a+b的值，再求出其算术平方根即可．解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；∴4a+2b﹣1可化为19+2b，∵4a+2b﹣1的立方根是3，∴19+2b＝27，解得b＝4．（2）∵a＝5，b＝4，∴a+b＝5+4＝9，∴a+b的算术平方根是3．总结提升：本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．

典例7（2022春•东莞市期中）已知实数x、y满足2x−3y−1+|x−2y+2|=0（1）求x+y的值．（2）求x+8（3）求3x−8思路引领：（1）根据非负数的性质列出方程求出x、y的值；（2）求出x+8（3）求出3x−8解：（1）由题意得，2x﹣3y﹣1＝0，x﹣2y+2＝0，解得x＝8，y＝5，∴x+y＝8+5＝13；（2）x+85y=16的平方根是±4；（3）3x−84的立方根是34总结提升：本题考查的是非负数的性质、平方根和立方根的概念，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．例8已知与互为相反数，求2a+b的立方根．分析：根据两个数互为相反数，可得它们的立方也互为相反数，据此列方程求出a、b的关系，进而求出2a+b的立方根即可解：∵与互为相反数，∴，∴，∴，∴2a+b的立方根是．针对训练1．（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．思路引领：根据题意可求出a＝16，根据题意得2a﹣b+2＝27，再将a＝16代入可求出b＝7，代入代数式进行计算即可．

解：根据题意，可得1+3a＝49，解得，a＝16，∵2a﹣b+2的立方根是3，∴2a﹣b+2＝27，将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，解得b＝7，∴a﹣b＝9．总结提升：本题考查了平方根，立方根，代数式求值，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．2．（2021秋•宝塔区校级期末）一个正数的平方根分别是2a+5和2a﹣1，b﹣10的立方根是﹣2．（1）求a，b的值；（2）求a+b的算术平方根．思路引领：（1）根据平方根的性质即可求出a、b的值；（2）将a与b的值代入a+b中即可求出它的算术平方根．解：（1）由题意可知：2a+5+2a﹣1＝0，合并同类项得：4a+4＝0，移项得：4a＝﹣4，解得a＝﹣1．由题意可知：b﹣10＝（﹣2）3＝﹣8，解得：b＝2．（2）∵a+b＝﹣1+2＝1，∴a+b的算术平方根是1．总结提升：本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．3．（2022秋•商河县期中）已知﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一个平方根，求m+n的值．思路引领：根据平方根与立方根的意义可得m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，从而可得m＝9，n＝7，然后代入式子中进行计算即可解答．解：∵﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一个平方根，∴m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，∴m＝9，n＝7，

∴m+n＝9+7＝16，∴m+n的值为16．总结提升：本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．4．（2022秋•锦江区校级月考）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，求a+2b的值．（2）已知3−x+y2﹣4y+4＝0，求y思路引领：（1）由题意可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，解出a，b的值再代入a+2b中即可求解；（2）根据3−x+y2﹣4y+4＝0可得出3−x+(y−2)2=解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，∴2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，解得：a＝5，b＝58，∴a+2b＝5+2×58＝121；（2）∵3−x+y2﹣4y∴3−x+(y−2∵3−x≥0，(y−2∴3﹣x＝0，y﹣2＝0，∴x＝3，y＝2，∴y的平方根是±2总结提升：本题主要考查了平方根，立方根及平方和平方根的非负性，掌握平方根的定义，立方根的定义及平方和平方根的非负性是解题的关键．5．（2022秋•杭州期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．思路引领：（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c的值，代入即可求出a+b的值；（2）根据ab小于0，得到ab异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值．解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣5，b＝±2，

∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，即a+b的值为﹣3或﹣7；（2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2，∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，∴a﹣3b﹣2c＝15或﹣7．总结提升：本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a与b的值是解本题的关键专题提优训练1．（2021秋•任丘市期末）求下列各式的值．（1）−3（2）±4（3）−3（4）51思路引领：（1）根据立方根的性质计算；（2）根据平方根的性质计算；（3）根据立方根的性质计算；（4）根据算术平方根的性质计算．解：（1）−3（2）±4（3）−3（4）51

总结提升：本题主要考查了平方根、立方根，熟练应用平方根、立方根的定义进行计算是解题关键．2．求x值：（1）4x2＝121（2）（x+2）2＝125思路引领：两方程整理后，利用平方根定义计算即可求出解．解：（1）方程整理得：x2＝，开方得：x＝±，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）开方得：x+2＝±5，解得：x1＝﹣2+5，x2＝﹣2﹣5．3．求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）．思路引领：本题直接根据立方根的定义解方程即可（1）解：；（2）解：移项，合并得解得（3）解：移项，合并得4．求下列代数式的值（1）如果a2＝4，b的算术平方根为3，求a+b的值．（2）已知x是25的平方根，y是16的算术平方根，且x＜y，求x﹣y的值．思路引领：（1）首先依据平方根和算术平方根的定义求出a、b，再代入计算即可求解；（2）首先依据平方根和算术平方根的定义求出x、y，再代入计算即可求解．解：（1）∵a2＝4，∴a＝±2，∵b的算术平方根为3，∴b＝9，∴a+b＝﹣2+9＝7或a+b＝2+9＝11．（2）∵x是25的平方根，

∴x＝±5，∵y是16的算术平方根，∴y＝4，∵x＜y，∴x＝﹣5，∴x﹣y＝﹣5﹣4＝﹣9．5．（2022秋•蒲江县校级期中）已知3a+2b+4的平方根为±5，4是7a+1的立方根．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣3b+5的算术平方根．思路引领：（1）根据平方根和立方根的定义即可求解；（2）先将（1）中的a，b代入4a﹣3b+5中，再求它的算术平方根．解：（1）∵3a+2b+4的平方根为±5，4是7a+1的立方根，∴3a+2b+4＝5，7a+1＝64，解得：a＝9，b＝﹣13；（2）将a＝9，b＝﹣13代入4a﹣3b+5中得：4a﹣3b+5＝4×9﹣3×（﹣13）+5＝80，∴80的算术平方根80=45∴4a﹣3b+5的算术平方根45．总结提升：本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键．6．（2022春•台江区校级期中）已知：x的平方根是a+3与2a﹣15，且2b−1=（1）求a，b的值：（2）求x的值；（3）求a+b﹣1的立方根．思路引领：（1）根据一个正数的平方根有两个它们互为相反数，列出方程求得a，根据算术平方根的定义求得b；（2）根据平方与平方根的互逆关系进行解答；（3）根据立方根的定义进行计算．解：（1）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，

∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，∵2b−1=∴b＝5；（2）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，∴x＝（a+3）2＝（4+3）2＝49；（3）3a+b−1总结提升：本题主要考查了平方根与立方根，算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键．7．（2022春•东莞市期中）已知一个正数m的两个平方根分别是3a+2与a﹣10．（1）求a的值；（2）求m的立方根．思路引领：（1）根据平方根的意义，可得3a+2+a﹣10＝0，然后进行计算即可解答；（2）根据平方运算先求出m的值，再根据立方根的意义，即可解答．解：（1）由题意得：3a+2+a﹣10＝0，解得：a＝2，∴a的值为2；（2）当a＝2时，m＝（3a+2）2＝（6+2）2＝64，∴m的立方根是4．总结提升：本题考查了立方根，平方根，熟练掌握平