中考数学总复习《正方形》专项提升训练带答案

第第页中考数学总复习《正方形》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.第1题图(1)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件__________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(3)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________．2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.(1)∠ABC＝________，∠BAC＝________，∠COD＝________；(2)若AB＝3，则BC＝________，CD＝________；(3)若OA＝2，则AC＝________，BD＝________，AD＝________；(4)若OA＝4，则正方形ABCD的面积是________，周长是________．第2题图知识逐点过考点1正方形的性质及面积边四条边都相等，对边平行角四个角都是直角对角线1.对角线相等且互相①________；2．每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②________的交点面积公式S＝a2＝eq\f(1,2)l2【温馨提示】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形考点2正方形的判定边1.有一组邻边相等，并且有一个角是③________的平行四边形是正方形(定义)；2．有一组邻边④________的矩形是正方形角有一个角是⑤________的菱形是正方形对角线1.对角线⑥________的矩形是正方形；2．对角线⑦________的菱形是正方形；3．对角线互相⑧__________的四边形是正方形考点3平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看考点4中点四边形概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形【温馨提示】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半教材原题到重难考法与正方形有关的证明与计算例如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．例题图变式题1.结合角度求线段长如图，正方形ABCD的边长为4，点F为对角线AC上一点，连接BF，当∠CBF＝22.5°时，求AF的长．第1题图2.过点F作AB边的垂线如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点E，连接DF，若BC＝6，BE＝2，求DF的长．第2题图3.过点F分别作AB，BC边的垂线如图，F是正方形ABCD对角线AC上一点，过点F分别作FE⊥AB，FG⊥BC，垂足分别为点E，G，连接DF，EG.(1)求证：EG＝DF；(2)若正方形的边长为3＋eq\r(3)，∠BGE＝30°，求DF的长．第3题图真题演练命题点正方形性质的相关计算1.如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个第1题图2.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第2题图基础过关1.正方形具有而菱形不具有的性质是()A.对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相垂直平分D.四条边相等2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A.互相平分B.互相垂直C.互相平分且相等D.互相垂直且相等3.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A.(3，－3)B.(－3，3)C.(3，3)D.(－3，－3)第3题图4.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于()A.2αB.90°－2αC.45°－αD.90°－α第4题图5.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________，使得矩形ABCD为正方形．6.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．第6题图7.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.第7题图8.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．第8题图9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．第9题图10.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．第10题图综合提升11.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝()A.2eq\r(3)B.eq\f(3\r(5),2)C.eq\r(5)＋1D.eq\r(10)第11题图12.如图，在正方形ABCD中，点E为BD上一点，DE＝3BE，连接AE，过点E作AE的垂线，交CD于点F，连接AF交BD于点G.下列结论：①sin∠BAE＝eq\f(1,3)；②∠EAF＝45°；③点F为CD的中点；④BE＋DG＝GE.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个第12题图13.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tanα＝tan2β，则n＝()A.5B.4C.3D.2第13题图正方形1.(1)AC＝BD，且AC⊥BD(答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形(答案不唯一)；(2)AC⊥BD(答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形；(3)∠ABC＝90°(答案不唯一)，【判定依据】有一个角是直角的菱形是正方形．2.(1)90°，45°，90°；(2)3，3；(3)4，4，2eq\r(2)；(4)32，16eq\r(2).教材原题到重难考法例解：△ABC≌△ADC，△ABF≌△ADF，△CDF≌△CBF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝45°，在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD,∠BAC＝∠DAC,AC＝AC))，∴△ABC≌△ADC(SAS)，在△ABF和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD,∠BAF＝∠DAF,AF＝AF))，∴△ABF≌△ADF(SAS)，在△DCF和△BCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DC＝BC,∠DCF＝∠BCF,CF＝CF))，∴△DCF≌△BCF(SAS).(选择其中任意一对证明即可)1.解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CBF＝22.5°，∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠AFB＝180°－∠BAC－∠ABF＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝4.2.解：如解图，连接BF，第2题解图∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°，∵EF⊥AB，∴EF＝AE＝AB－BE＝6－2＝4，∴BF＝eq\r(BE2＋EF2)＝2eq\r(5)，∵正方形ABCD关于AC对称，∴DF＝BF＝2eq\r(5).3.(1)证明：如解图，连接FB.∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵AF＝AF，∴△DAF≌△BAF，∴DF＝BF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∵FG⊥BC，FE⊥AB，∴∠FGB＝∠FEB＝90°，∴∠FGB＝∠FEB＝∠ABC＝90°，∴四边形FEBG是矩形，∴EG＝FB，∴EG＝DF；(2)解：∵正方形的边长为3＋eq\r(3)，∠BGE＝30°，∴BC＝3＋eq\r(3)，∴BG＝BC－CG＝3＋eq\r(3)－CG，∵∠BGE＝30°，∴BG＝eq\r(3)BE，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠DCF＝∠BCF＝45°，∵FG⊥BC，∴∠FGC＝∠FGB＝90°，∴∠CFG＝45°，∴FG＝CG，∵四边形FEBG是矩形，∴EB＝FG，∴FG＝CG＝EB，设FG＝CG＝EB＝x，∴GE＝2x，∴BG＝eq\r(3)BE＝eq\r(3)x，∵BG＝BC－CG＝3＋eq\r(3)－x，∴3＋eq\r(3)－x＝eq\r(3)x，∴x＝eq\r(3)，∴GE＝2x＝2eq\r(3)，∴DF＝BF＝GE＝2eq\r(3).第3题解图知识逐点过①垂直平分②对角线③直角④相等⑤直角⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等真题演练1.C【解析】∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝eq\r(2)FG＝eq\r(2)AH，∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝eq\f(1,2)AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴eq\f(AH,AN)＝eq\f(GM,AG)＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝eq\f(1,2)AN·FG＝eq\f(1,2)×2×1＝1，S△ADM＝eq\f(1,2)AD·DM＝eq\f(1,2)×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正确．2.15【解析】如解图，∵四边形ABCD，ECGF，IGHK均为正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴eq\f(GL,CJ)＝eq\f(GH,CH)＝eq\f(2,5)，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝eq\f(1,2)(EJ＋FL)·EF＝eq\f(1,2)(1＋4)×6＝15.第2题解图基础过关1.B2.D【解析】如解图，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥DB∥GF，HG∥AC∥EF，EF＝eq\f(1,2)AC，FG＝eq\f(1,2)BD，∴四边形EFGH为平行四边形．要使其为正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，则AC⊥BD，AC＝BD，即对角线一定互相垂直且相等．第2题解图3.C【解析】∵边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，∴OB＝BC＝3，∴C(3，3).4.A【解析】如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠EAF＝45°.在△GAE和△FAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝AF,∠GAE＝∠FAE,AE＝AE))，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴∠AEF＝∠AEG.∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α，∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－2(90°－α)＝2α.第4题解图5.AB＝BC(答案不唯一，符合条件即可，如：AC⊥BD)【解析】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件AB＝BC；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴还可以添加条件AC⊥BD.6.2【解析】如解图，过点E作EF⊥BC于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝2，AD∥BC，∴EF＝AB＝2，∴S△BCE＝eq\f(1,2)BC·EF＝eq\f(1,2)×2×2＝2.∵S正方形ABCD＝BC2＝22＝4，∴S阴影＝S正方形ABCD－S△BCE＝4－2＝2.第6题解图7.2【解析】如解图，依题意得OD＝eq\f(\r(2),2)AD＝2eq\r(2)，OE＝eq\f(1,2)OD＝eq\r(2)，∴图中阴影部分的面积为OE2＝(eq\r(2))2＝2(dm2).第7题解图8.3【解析】如解图，过点P作PF⊥AB于点F.∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC.∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴PE＝PF.∵PE＝3，∴点P到直线AB的距离为PF＝3.第8题解图9.eq\f(17,2)【解析】∵CE＝7，△CEF的周长为32，∴CF＋EF＝32－7＝25.∵点F为DE的中点，∴DF＝EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴CF＝EF＝DF＝eq\f(25,2)，∴DE＝25，∴在Rt△DCE中，CD＝eq\r(DE2－CE2)＝24，∴BC＝CD＝24.∵点O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF＝eq\f(1,2)(BC－CE)＝eq\f(1,2)(24－7)＝eq\f(17,2).10.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°.∵MF∥AD，∴∠DFM＝90°，∴四边形ADFM为矩形，∴MF＝AD＝AB.∵MN垂直平分BE，∴∠BOM＝90°，∴∠ABE＋∠BMO＝90°.∵∠FMN＋∠BMO＝90°，∴∠ABE＝∠FMN.在△ABE和△FMN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠MFN,AB＝FM,∠ABE＝∠FMN))，∴△ABE≌△FMN(ASA)；(2)解：如解图，连接ME.∵MN垂直平分BE，∴ME＝BM.设BM＝x，则AM＝8－x，ME＝x.在Rt△AME中，由勾股定理得ME2＝AE2＋AM2，即x2＝62＋(8－x)2.解得x＝eq\f(25,4)，即BM＝eq\f(25,4).在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝eq\r(62＋82)＝10.∵∠MBO＝∠EBA，∠MOB＝∠A，∴△BOM∽△BAE，∴eq\f(OM,AE)＝eq\f(BM,BE)，∴OM＝eq\f(AE·BM,BE)＝eq\f(6×\f(25,4),10)＝eq\f(15,4).由(1)知△ABE≌△FMN，∴MN＝BE＝10，∴ON＝MN－OM＝10－eq\f(15,4)＝eq\f(25,4).第10题解图11.B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，CD∥AB，CD＝AB.∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AF,FB).∵AF＝2，FB＝1，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(2,1).∵CD∥AB，∴CD∥AG，∴∠DCE＝∠GAE，∠CDE＝∠AGE，∴△DCE∽△GAE，∴eq\f(AG,CD)＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(2,1)，∴AG＝2CD，∴CD＝AB＝BG.∵∠DCM＝∠GBM＝90°，∠DMC＝∠GMB，∴△DCM≌△GBM(AAS)，∴DM＝GM＝eq\f(1,2)DG.∵AF＝2，FB＝1，∴AB＝3.∵AD＝AB＝3，∴AG＝6，∴在Rt△DAG中，DG＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)，∴MG＝eq\f(3\r(5),2).12.B【解析】如解图，延长AE交BC于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，AD∥BC，∴△ADE∽△HBE，∴eq\f(AD,HB)＝eq\f(DE,BE)，∵DE＝3BE，∴AD＝3HB，∴AB＝3HB，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH＝eq\r(AB2＋HB2)＝eq\r(10)HB，∴sin∠BAE＝eq\f(HB,AH)＝eq\f(\r(10),10)，①错误；如解图，过点E分别作AB，CD的垂线，交AB，CD于点M，N，∴∠AME＝∠ENF＝90°，∴∠AEM＋∠MAE＝