广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由可知：，即，故，所以故选：D.2.已知复数，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗结合题意：，所以.故选：B.3.已知向量，，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由求出，从而可求解.【详析】由，，所以，因为，所以，得，所以，故A正确.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得：，.故选：A.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，为偶函数，排除D；当时，，，令，，时，，当时，，当时，，所以，当时，，即，所以，当时，，即，可排除A、B.故选:C6.已知数列为公差不为0的等差数列，若，，成等比数列，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗设的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，，化简得，因为，可得所以，，.故选：D.7.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为，阴数为若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，基本事件总数为，取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包括，共有12个，取出的3个数之和是5的倍数的概率是.故选：A.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，，由，解得，又因为在椭圆上，所以，解得，因为，可得，即，记直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,因为,所以,即，即，整理得：，解得,故选:A.二、选择题9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗对A：由，故，则，即，故A正确；对B：由，且为定义域上的单调递增函数，故，故B正确；对C：当，时，有，，此时，故C错误；对D：当，时，有，，此时，故D错误.故选：AB.10.过抛物线：的焦点作直线交于两点，则（）A.的准线方程为B.以为直径的圆与的准线相切C.若，则线段中点的横坐标为D.若，则直线有且只有一条〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A:由抛物线：，可得解得，故准线方程为，故选项A错误；对于选项B:设的中点为,且在准线上的投影为，由抛物线的定义可知：,易知四边形为直角梯形，所以,故以为直径的圆与的准线相切，故选项B正确；对于选项C:设，因为，所以，所以线段中点的横坐标为，故选项C正确；对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得，要使，则线段为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D正确.故选：BCD.11.已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则（）A.的图象关于中心对称 B.是周期函数C.在上单调递减 D.〖答案〗BC〖解析〗对A：由，故的图象关于直线对称，故A错误；对B：由为奇函数，故，又，故，即有，则，即，故是周期函数且周期为，故B正确；对C：由在上单调递增，且为奇函数，故在上单调递增，又关于直线对称，故在上单调递减，故C正确；对D：由为定义在上的奇函数，故，有，由关于直线对称，故关于中心对称，故，由，故，即有，，故，，故D错误.故选：BC.12.如图，为圆锥底面的直径，，点是圆上异于的动点，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面相切），点是球与圆锥侧面的交线上的动点，则下列结论正确的是（）A.若⊥，三棱锥体积最大值为8B.若⊥，平面与底面所成角的取值范围为C.若，内切球的表面积为D.若，的最大值为4〖答案〗BCD〖解析〗A选项，因为⊥，，所以，故，由勾股定理得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为，A错误；B选项，取的中点，连接，因为为的中点，故，所以⊥，因为，所以⊥，点是圆上异于的动点，故平面与底面所成角的平面角为，，，故，故，若⊥，平面与底面所成角的取值范围为，B正确；C选项，若，则为等边三角形，故，，与球相切，设切点为，球的半径为，连接，则⊥，，故，则，解得，故内切球的表面积为，C正确；D选项，点的轨迹为如图所示的小圆，由C选项得，，由⊥，，可知，故，，，，设点作⊥于点，连接，因为⊥小圆，小圆，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以，设，则，由∽可知，由勾股定理得，，故，，故，，故当时，取得最大值，最大值为16，故的最大值为4，D正确.故选：BCD.三、填空题13.第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______.〖答案〗〖解析〗由题意知随机变量为，所以，故〖答案〗为：.14.已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗当时，，则，解得，又，故.故〖答案〗为：.15.动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为______.〖答案〗〖解析〗令，则，整理得，所以的轨迹是圆心为，半径为2的圆上，又直线：可化为，易知过定点，由，故点在圆外，则圆心与定点所在直线与直线垂直，圆心与直线距离最大，所以点到直线距离的最大值为.故〖答案〗为：16.已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，当时，可得在上单调递增，，不合题意；当时，，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有极小值，也是最小值，又因为且，所以，则，得，所以，设，，令，得，当，，当，，所以在区间单调递减，单调递增，所以，即的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.学校为了让学生的学习与活动两不误，在延时课开设篮球、书法两项活动，为了了解学生的选择意向，随机调查了部分同学，得到如下列联表.性别选择篮球选择书法男生4010女生2525（1）根据上表，分别估计该校男、女生选择篮球的概率；（2）试根据小概率值的独立性检验，分析性别与选择意向是否有关联.附：，其中.0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828解：（1）以频率估计概率,所以该校男生选择篮球的概率为,所以该校女生选择篮球的概率为.（2）结合题意：,整理计算得：，故能在犯错误的概率不超过0.01的条件下认为性别与选择意向有关.18.已知中，角所对的边分别为，，，，且.（1）求角的大小；（2）若，点在边上，且平分，求的长度.解：（1）因为，由正弦定理可得：，因为，所以，即，由余弦定理可得，在中，,所以.（2）由（1）问可知,，所以，解得，设，由平分，所以,即,解得：，故的长度为.19.设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）令，为数列的前项积，证明：.（1）解：由是首项为、公差为的等差数列，故，即，当时，，故，当时，，符合上式，故；（2）证明：由，，故，则，由，故，则.20.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，点在线段上，.（1）证明：，，，四点共面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：由题意证明如下，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，点在线段上，，建立空间直角坐标系如下图所示，∴,,∴∴，∵∴∴三向量共面，∴，，，四点共面.（2）解：由题意及（1）得，在直三棱柱中，在平面中，其一个法向量为在平面中，设其一个法向量为，即，解得：，当时，设平面与平面夹角为，，∴平面与平面夹角的余弦值为.21.已知双曲线：（，）的左焦点到其渐近线的距离为，点在上.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于，（不与点重合）两点，记直线，，的斜率分别为，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直线的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）由双曲线：可得，渐近线方程为：，则有，化简得，又在上，即，即，故：；（2）由题意可知直线的斜率存在且斜率为，设直线为，、，联立直线与双曲线，消去可得，则有且，即且，有，，由，故、，则，即有，即，故或，当时，直线为，过点，故舍去，当时，直线为，由、，则线段中点为，，，即，由，，，故有，即，解得，故，则直线为，即存在，使得，此时直线的方程为..22.若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.（1）若，判断是否为上的“3类函数”；（2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；（3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，.（1