2024年高考二轮复习测数学试卷（新高考Ⅰ卷专用）（解析版）

PAGEPAGE12024年高考数学二轮复习测试卷（新高考Ⅰ卷专用）第一部分（选择题）一、选择题1．已如集合，集合，则（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意集合，.故选：A.2．若是方程的一个虚数根，则（

）A．0 B．-1 C． D．-1或〖答案〗A〖解析〗方程化为：，依题意，或，显然，又，即，所以.故选：A.3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗所有“重卦”共有种，恰有2个阴爻的情况有种，所以该重卦恰有2个阴爻的概率为.故选：B.4．设，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗设，令得，所以函数在区间单调递增，因为，所以，即，，不等式两边同乘得，即.故选：B.5．已知为等比数列的前项和，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12〖答案〗C〖解析〗因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，由，得，则，所以，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故选：C.6．抛物线的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，则（）A． B． C． D．不存在〖答案〗C〖解析〗抛物线的焦点，可知方程，与抛物线方程联立，不妨设A在第一象限，∴，∴，∴．故选：C．7．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如图，依题意得点，在直线上，点关于直线对称的点，点在圆关于直线对称的圆上，设，则，解得，且半径为，所以圆，则，设圆的圆心为，因为，所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“”成立．因此的最大值为5．故选：C8．已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗作出的图象如图，由题，，，所以，令（），则当时，；当时，.，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，且，所以的取值范围为.故选：D.二、选择题9．第一组样本数据，第二组样本数据，，…，，其中（），则（

）A．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍〖答案〗CD〖解析〗设样本数据，的样本平均数为，样本中位数为，样本标准差为，极差为，对于A,C选项：由，根据平均数和标准差的性质可知，样本数据，，…,的样本平均数为，故A错误；样本数据，，…,的样本方差为，所以第二组数据的样本标准差，故C正确；对于B选项：根据中位数的概念可知，样本数据，，…,的中位数为，故B错误；对于D选项：根据极差的概念可知,样本数据，，…，的极差为,故D正确.故选：CD.10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．最小正周期为B．函数在区间内有6个零点C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为〖答案〗AD〖解析〗，对于A：，A正确；对于B：当时，，则分别取时对于的的值为函数在区间上的零点，只有个，B错误；对于C：，故点不是的对称中心，C错误；对于D：由已知，当时，，因为在上的最大值为，所以，解得，D正确.故选：AD.11．正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（

）A．当在线段上运动时，与所成角的最大值是B．当在棱上运动时，存在点使C．当在面上运动时，四面体的体积为定值D．若在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是〖答案〗BC〖解析〗对于A，在正方体中，易知，所以与所成角等价于与所成的角，当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.对于B，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，因为，，所以，故B正确.对于C，因为在面内，面到平面的距离等于，而三角形面积不变，故体积为定值，故C正确.对于D，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，所以在中，，由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故D错误.故选：BC.12．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（

）A．为奇函数 B．在处的切线斜率为7C． D．对〖答案〗ACD〖解析〗由题意定义域为的函数满足令，则，令，则，即，故为奇函数，A正确；由于，故，即，则为偶函数，由可得，由，令得，故，令，则，B错误；又，则，令，则，由柯西方程知，，故，则，由于，故，即，则，C正确；对,故，D正确，故选：ACD第二部分（非选择题）三、填空题13．已知，，则．〖答案〗〖解析〗，，，，故〖答案〗为：14．展开式中，含的项的系数为．〖答案〗〖解析〗由二项式展开式的通项，则在展开式中，含项的系数为．故〖答案〗为：.15．若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则．〖答案〗4〖解析〗因为，所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点，可得，则．故〖答案〗为：4.16．如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为．

〖答案〗〖解析〗由题意可知，四棱锥为正四棱锥，边上的高为，如下图所示：取的中点，连接、交于点，连接、、，则为、的中点，由正四棱锥的几何性质可知，平面，因为、分别为、的中点，则且，因为平面，则，所以，，在中，得,作出四棱柱内接于该四棱锥在平面上的平面图如图所示：设,，则，因为，所以，解得，所以直四棱柱的体积,所以，当时，当时，所以函数在上单调递增，上单调递减，所以当时体积最大，最大为.故〖答案〗为：，.四、解答题17．在中，角的对边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若，求.解：（1）结合题意：的面积为,，结合余弦定理可得：，所以，解得，所以.（2）因为，所以，易得为锐角，所以，所以，由上问可知,,所以，所以,整理得,即，解得（舍去），或.18．某平台为了解当代大学生对“网络公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.为了调查当代大学生对④、⑥、⑧、⑩四道选答题的答题情况，从同济大学在④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道人数20303020（1）学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：（规定同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人）性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性30女性7总计100请完成上述2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关.（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的数学期望；参考公式：，其中.附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有人，由此补全列联表如下：性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性女性总计，所以“公序良俗”达人与性别有关.（2）的可能有，，，，，所以的分布列如下：所以数学期望为.19．在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.（1）证明：因为底面为正方形，所以，又侧面底面，侧面底面，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为，，连接，则为正三角形，取中点，则，由平面及平面，得，又，所以底面，过点作交于，如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的法向量，所以令，则，可得平面的法向量.所以，故直线和平面所成角的正弦值为.20．已知是等差数列，，.（1）求的通项公式和；（2）已知为正整数，记集合的元素个数为数列.若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和.解：（1）由题意，（分别是首项，公差），解得，所以的通项公式为，所以.（2）由题意且为正整数，即，所以，所以，所以，所以的前项的和为.21．已知函数.（1）求的极值；（2）已知，证明：.（1）解：，，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上单调递增，在和上单调递减.所以的极大值为的极小值为.（2）证明：由，可得，所以.由对称性，不妨设，则，当且仅当时，等号成立，所以.由（1）可知在上的最大值为，所以，当且仅当时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以.22．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上两点满足直线与在轴上的截距之比为，试判断直线是否过定点，并说