专题04 概率统计大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）含解析

专题04概率统计大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）专题04概率统计大题解题秘籍解题秘籍数字样本特征众数：在一组数据中出现次数最多的数中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数平均数：，反映样本的平均水平方差：反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样极差：等于样本的最大值最小值求随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.求随机变量的期望和方差的基本方法：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，.4.求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：（1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程.线性回归直线方程为：，，其中为样本中心，回归直线必过该点（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱），正相关；，负相关独立性检验解题方法：（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：模拟训练模拟训练一、解答题1．（22·23下·长沙·二模）首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．2．（22·23·深圳·二模）某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体（每个面均为全等的正三角形的三棱锥），四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.(1)求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；(2)若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，①设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求；②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率.3．（22·23·保定·二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．4．（22·23下·盐城·三模）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，①当时，请直接写出数学期望与的关系；②求出关于的表达式.5．（22·23下·浙江·二模）甲、乙两个学校分别有位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”．(1)若，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；(2)证明：．6．（22·23·龙岩·二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；(2)记一共进行的比赛局数为Y，求．7．（22·23下·湖南·二模）影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：档次偏矮正常偏高超高男生身高指数（单位：）学生得分50708090某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：档次偏矮正常偏高超高男生身高指数（单位：）人数39126(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取揹施的效果．附：参考数据与公式：若，则①；②；③．8．（22·23·德州·三模）某学校组织“一带一路”答题闯关活动，每位参赛选手需要回答三个问题，对于前两个问题，每个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得20分，回答错误扣10分，规定每位参赛选手回答这三个问题的总分不低于30分就算闯关成功．选手小明回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互独立．(1)求小明回答正确至少两个问题的概率；(2)求小明回答这三个问题的总得分的分布列，并求数学期望和闯关成功的概率．9．（22·23·三明·三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.10．（22·23·深圳·二模）某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第次投进的概率为，当第次投进时，第次也投进的概率保持不变；当第次没能投进时，第次能投进的概率降为.(1)若选手甲第1次投进的概率为，求选手甲至少投进一次的概率；(2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手乙得分的分布列与数学期望.11．（22·23下·益阳·三模）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下信息：①抽取的学生中，男生占的比例为60%；②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.(1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ²独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?喜欢雪上运动不喜欢雪上运动合计男生女生合计(2)（i）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运运的女生”.试分别计算和的值.（ii）根据第（i）问中的结果，分析与的大小关系.参考公式及数据，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82812．（22·23·广州·三模）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．

(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．13．（22·23·衡水·三模）某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病与是否具有生活习惯的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：疾病生活习惯具有不具有患病2515未患病2040(1)依据的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关？(2)从该市市民中任选一人，表示事件“选到的人不具有生活习惯”，表示事件“选到的人患有疾病”，试利用该调查数据，给出的估计值；(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯，且末患有疾病的人数为，试利用该调查数据，给出的数学期望的估计值．附：，其中．

0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.82814．（22·23·衡水·一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示.环境质量等级土壤各单项或综合质量指数灌溉水各单项或综合质量指数环境空气各单项或综合质量指数等级名称清洁尚清洁超标各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：

(1)若从这个村中随机抽取个进行调查，求抽取的个村应对土壤做进一步调研的概率；(2)现有一技术人员在这个村中随机选取个进行技术指导，记为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望.15．（22·23下·无锡·三模）为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织10000名学生（其中男生4000名，女生6000名）参加数学建模能力竞赛活动.(1)若将成绩在的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有2500名，女生中有潜力的学生有3500名，完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关?是否有潜力性别合计男生女生有潜力没有潜力合计(2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49，女生成绩的均值为75，方差为64.（ⅰ）求全体参赛学生成绩的均值及方差；（ⅱ）若参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在的学生人数.参考数据：①0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②若，则，，.参考公式：，.16．（22·23·南通·二模）我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:样本号12345678910人工测雨量5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.235遥测雨量5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得(1)求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)(2)规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.附：相关系数.17．（22·23下·镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.360表中

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.18．（22·23下·常州·一模）设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为．(1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设且，求的值．（参考公式：若，则）19．（22·23下·浙江·二模）2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：超市ABCDEFG广告支出1246101320销售额19324440525354(1)建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；(2)若将超市的销售额与广告支出的比值称为该超市的广告效率值，当时，称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为，求的分布列与期望.附注：参考数据，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.20．（22·23·广州·三模）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200(1)根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．附：，．21．（22·23下·浙江·二模）小明是个爱存钱的小朋友.已知存钱罐里有1元钱，从第1天开始，每天小明以的概率往存钱罐中存入1元钱，以的概率从存钱罐中取出元钱购买喜欢的玩具，这里表示玩具在第天的价格.假设小明在第天取钱购买玩具时，发现存钱罐中的钱不足够.注：当时，，.(1)若，求；(2)若，且小明希望存钱罐中的钱不足能购买玩具时，存钱罐中剩余的钱越多越好，那么小明应该提高还是减小取钱购买玩具的概率，并给出理由.22．（22·23下·绍兴·二模）某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）；(2)若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的的值；附：若随机变量服从正态分布，则：23．（22·23·漳州·三模）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.年份年份代码(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）(2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）；(3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求?附：相关数据：，，，.相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，.24．（22·23·山东·一模）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；(2)从竞赛成绩在，的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从随机抽取20名学生，用表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在内的概率，其中．当最大时，求k．25．（22·23·宁德·二模）某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计30(1)请将上面的列联表补充完整．(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列与期望．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.07227063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）26．（22·23·潍坊·三模）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．16.3024.870.411.64表中．根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．27．（22·23·山东·二模）《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法可以解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，则六十四卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000000剥0000011比0000102…………例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是．(1)若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；(2)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．28．（22·23下·烟台·三模）现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的个黑球和个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出个球互相交换后放袋子中，重复进行次此操作．记第次操作后，甲袋子中红球的个数为．(1)求的分布列和数学期望；(2)求第次操作后，甲袋子中恰有个红球的概率．29．（22·23下·湖北·三模）某市对全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并且段内的人数恰成等差数列，如图所示是频率分布直方图的一部分．(1)请补全频率分布直方图（标上纵坐标的值），直接写出百分之八十五分位数：___________（精确到0.1）；(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为X，成绩在区间内的人数为Y，记，比较与的大小关系．30．（22·23下·武汉·三模）2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：航天达人非航天达人合计男2026女14合计(1)补全2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联?(2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中女“航天达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82831．（22·23下·黄冈·三模）某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．(1)求购物中心得分为50分的概率；(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望．32．（22·23·梅州·三模）某校高三1000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，.

(1)求图中的值；(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的一模考试数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(3)从一模数学成绩位于，的学生中采用分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，该2人中一模数学成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望.33．（23·24上·永州·一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．(1)设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；(2)已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．参考数据：34．（23·24上·郴州·一模）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.(1)求同学甲第二天选择套餐的概率；(2)证明：数列为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.35．（22·23·沧州·三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.36．（23·24上·宁波·一模）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢男生65女生55合计110200(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63537．（22·23下·杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：(1)请直接写出与的数值．(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．38．（22·23·青岛·三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．39．（22·23下·湖北·二模）五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有40．（22·23下·襄阳·三模）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：（i）求该同学有购买意向的概率；（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.二、应用题专题04概率统计大题解题秘籍解题秘籍数字样本特征众数：在一组数据中出现次数最多的数中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数平均数：，反映样本的平均水平方差：反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样极差：等于样本的最大值最小值求随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.求随机变量的期望和方差的基本方法：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，.4.求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：（1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程.线性回归直线方程为：，，其中为样本中心，回归直线必过该点（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱），正相关；，负相关独立性检验解题方法：（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：模拟训练模拟训练一、解答题1．（22·23下·长沙·二模）首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件概率求解即可；（2）先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.【详解】（1）设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.则，.所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：；（2）因为女生参加活动得分为；男生参加活动得分为.设恰有名女生参加活动，则有名男生参加活动，所以，，，所以，又，所以.2．（22·23·深圳·二模）某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体（每个面均为全等的正三角形的三棱锥），四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.(1)求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；(2)若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，①设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求；②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率.【答案】(1)(2)①②【分析】（1）正难则反，采用间接法，先求不能被4整除的概率，再根据对立事件求解；（2）①先记为地面接触的面上的数字为3的次数，找出与的关系，根据二项分布求解期望；②先明确甲不超过三次就结束游戏的情况，再求解概率.【详解】（1）设事件A=“接触面上的5个数的乘积能被4整除”，不能被4整除的有两种情况：（i）5个数均为奇数（1或者3），概率为，（ii）5个数中4个为奇数，另一个为2，概率为，所以.（2）①可能的取值为500,800,1100,1400,1700,2000.记为地面接触的面上的数字为3的次数，则，且，，，故.②设事件B=“甲不超过三次就结束游戏”，分为两种情况：两次结束游戏和三次结束游戏..3．（22·23·保定·二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据前两局平局的情况下，后面分两种情况计算高二年级最终战胜高一年级的概率即可；（2）由题可知高三年级获得积分的的取值可为0，3，6，分别计算概率从而可得分布列与数学期望.【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为，则（2）根据题意得高三年级获得积分的的取值可为0，3，6的分布列为0364．（22·23下·盐城·三模）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，①当时，请直接写出数学期望与的关系；②求出关于的表达式.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2)①；②.【分析】（1）根据给定条件，求出的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出即可；②利用构造法求出数列的通项公式作答.【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，，，所以的分布列为012……的数学期望，显然，两式相减得，所以.（2）①第次射击后，包含两种情况：第次射出空包弹和第次射出实弹，第次射击前，剩余空包弹的期望是，若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为，若第次射出实弹，则此时对应的概率为，此时空包弹的数量为，所以.②当时，弹巢中有发空包弹，即，由，得，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，因此，而当时，满足上式，所以.5．（22·23下·浙江·二模）甲、乙两个学校分别有位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”．(1)若，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知求出及甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率，再利用条件概率公式求事件A发生的条件下恰有5位同学成功的概率（2）根据题设写出、，利用组合数的性质证明结论即可.【详解】（1）由题设，甲乙学校分别有4个、3个学生参加活动，，而甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率为，所以事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率.（2）由题设知：，，因为，，所以6．（22·23·龙岩·二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；(2)记一共进行的比赛局数为Y，求．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)【分析】（1）比赛局数分2局和3局两种情况考虑，分别算出对应的概率填表，然后算出即可；（2）分别算出4局甲赢、4局乙赢、5局甲赢、5局乙赢对应的概率相加，即可得到本题答案.【详解】（1）解：可能取值为2，3．所以的分布列如下：23∴．（2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为；乙以2：0获胜的的概率均为甲以2：1获胜的的概率均为乙以2：1获胜的的概率均为∴即获胜方前两天比分为和，或者和再加附加赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为∴∴．7．（22·23下·湖南·二模）影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：档次偏矮正常偏高超高男生身高指数（单位：）学生得分50708090某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：档次偏矮正常偏高超高男生身高指数（单位：）人数39126(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取揹施的效果．附：参考数据与公式：若，则①；②；③．【答案】(1)偏矮率为，正常率为，偏高率为，超高率为(2)调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好【分析】（1）利用正态分布中概率求解公式求解即可.（2）利用古典概型概率公式求解调整后的相对应的概率以及平均得分，分别与调整前的比较，即可得出结论.【详解】（1）调整前，偏矮率为，正常率为，偏高率为，超高率为．（2）由（1）知，调整前，身高指数平均得分为；调整后，偏高率为，超高率为，身高指数平均得分为，由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．8．（22·23·德州·三模）某学校组织“一带一路”答题闯关活动，每位参赛选手需要回答三个问题，对于前两个问题，每个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得20分，回答错误扣10分，规定每位参赛选手回答这三个问题的总分不低于30分就算闯关成功．选手小明回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互独立．(1)求小明回答正确至少两个问题的概率；(2)求小明回答这三个问题的总得分的分布列，并求数学期望和闯关成功的概率．【答案】(1)(2)分布列见解析，，【分析】（1）由事件的相互独立性计算概率即可；（2）分析的所有取值，求出概率得到概率分布列求解即可.【详解】（1）记：小明回答正确至少两个问题，则.（2）由题意得，X所有的取值为：-10，0，10，20，30，40.；；；；；；-10010203040.闯关成功的概率为：.9．（22·23·三明·三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；（2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值.【详解】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.由全概率公式知，因为每名队员上场顺序随机，故，，，.所以，所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，，，，，因为.

由（1）知，所以.所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.10．（22·23·深圳·二模）某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第次投进的概率为，当第次投进时，第次也投进的概率保持不变；当第次没能投进时，第次能投进的概率降为.(1)若选手甲第1次投进的概率为，求选手甲至少投进一次的概率；(2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手乙得分的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）记选手甲第次投进为事件，未投进为事件，则所求概率为；（2）根据的取值为分情况讨论即可.【详解】（1）解：记选手甲第次投进为事件，未投进为事件，选手甲至少投进一次这一事件的概率为.因为，所求概率为.（2）得分等于乙投进的次数，则的取值为.记选手乙第次投进为事件，由题意可知,投进次对应事件为，，投进次对应事件为，，投进次对应事件为.所以的分布列为选手乙得分的数学期望.11．（22·23下·益阳·三模）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下信息：①抽取的学生中，男生占的比例为60%；②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.(1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ²独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?喜欢雪上运动不喜欢雪上运动合计男生女生合计(2)（i）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运运的女生”.试分别计算和的值.（ii）根据第（i）问中的结果，分析与的大小关系.参考公式及数据，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，是否喜欢雪上运动与性别有关联.(2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析【分析】（1）由所给列联表，求得，再依据小概率值的独立性检验即可得解；（2）（i）要求，首先确定事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，利用组合数进行求解概率即可，再通过条件概率求得的值，进而可得；（ii）根据条件概率的计算公式即可证明一般情形也成立.【详解】（1）2×2列联表如下：喜欢雪上运动不喜欢雪上运动合计男生8040120女生305080合计11090200假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联.根据表中数据，计算得到依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立.即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联.（2）①由已知事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件因为，，所以.②由（i）得与相等的关系可以推广到更一般的情形，即对于一般的三个事件A，B，C，有.证明过程如下：，得证.12．（22·23·广州·三模）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．

(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．【答案】(1)；(2)分布列见解析；，此次抽奖要准备的学习用品的价值总额估计为．【分析】（1）由频率分布直方图确定各组的频率，结合百分位数的定义求解；（2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望，并估计此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．【详解】（1）由频率分布直方图可得竞赛成绩位于区间的频率分别为：，又，，所以第80百分位数大于，小于，设第80百分位数为，则，所以，所以该100名学生竞赛成绩的第80百分位数为；（2）由已知的取值可能为：，由已知从人中任取一名同学，该同学成绩不超过的概率为，又每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．，，，；所以的分布列为：所以，所以此次抽奖要准备的学习用品的价值总额估计为元．13．（22·23·衡水·三模）某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病与是否具有生活习惯的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：疾病生活习惯具有不具有患病2515未患病2040(1)依据的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关？(2)从该市市民中任选一人，表示事件“选到的人不具有生活习惯”，表示事件“选到的人患有疾病”，试利用该调查数据，给出的估计值；(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯，且末患有疾病的人数为，试利用该调查数据，给出的数学期望的估计值．附：，其中．

0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828【答案】(1)有关(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）根据题设可得列联表，故可求的值，结合临界值表可判断该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关.（2）根据条件概率的计算公式结合表中数据可求的估计值.（3）利用二项分布的期望公式可求的数学期望的估计值.【详解】（1）由已知得列联表如下：疾病生活习惯B合计具有不具有患病251540未患病204060合计4555100零假设为：该市市民患有疾病与是否具有生活习惯无关．根据列联表中的数据，经计算得到．依据的独立性检验，推断不成立，即认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）由（1）数据可得：，，所以．（3）由题意知可用估计的分布，所以的估计值为．14．（22·23·衡水·一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示.环境质量等级土壤各单项或综合质量指数灌溉水各单项或综合质量指数环境空气各单项或综合质量指数等级名称清洁尚清洁超标各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：

(1)若从这个村中随机抽取个进行调查，求抽取的个村应对土壤做进一步调研的概率；(2)现有一技术人员在这个村中随机选取个进行技术指导，记为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析；数学期望【分析】（1）根据折线图可得应对土壤做进一步调研的村子个数，结合组合数知识可求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果；（2）根据折线图可得环境空气等级为尚清洁的村子个数，由此可得所有可能的取值，由超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.【详解】（1）由折线图可知：应对土壤做进一步调研的村共个，从个村中随机抽取个进行调查，基本事件总数有个；其中抽取的个村应对土壤做进一步调研的基本事件个数有个，所求概率.（2）由折线图可知：环境空气等级为尚清洁的村共有个，则所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望.15．（22·23下·无锡·三模）为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织10000名学生（其中男生4000名，女生6000名）参加数学建模能力竞赛活动.(1)若将成绩在的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有2500名，女生中有潜力的学生有3500名，完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关?是否有潜力性别合计男生女生有潜力没有潜力合计(2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49，女生成绩的均值为75，方差为64.（ⅰ）求全体参赛学生成绩的均值及方差；（ⅱ）若参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在的学生人数.参考数据：①0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②若，则，，.参考公式：，.【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关(2)（ⅰ），（ⅱ）人【分析】(1)根据条件填写二联表，并根据卡方公式计算判断即可；(2)(i)根据分层抽样的均值与方差计算公式计算即可；(ii)根据正态分布的三段区间公式计算并估计即可.【详解】（1）列联表如下：是否有潜力性别合计男生女生有潜力250035006000没有潜力150025004000合计4000600010000零假设为：学生是否有潜力与性别无关，根据列联表中的数据，得，我们推断不成立，即有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关.（2）（ⅰ）假设男生成绩为，女生成绩为，则.因为，即，同理，即，所以（或者直接用公式计算：）（ⅱ）由，得，所以这次考试中成绩在的学生大约有人.16．（22·23·南通·二模）我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:样本号12345678910人工测雨量5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.235遥测雨量5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得(1)求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)(2)规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.附：相关系数.【答案】(1)，认为具有很强的线性相关性(2)分布列见解析，【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.【详解】（1）因为，代入已知数据，得.所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为，由题意，的所有可能取值为.则，，，.所以的概率分布为0123P所以X的数学期望.17．（22·23下·镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.360表中

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.【答案】(1)适宜，(2)分布列见解析，.【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，转化线性回归方程求解，进而得关于回归方程；（2）由题意，的取值为，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，则，，关于的回归方程为.（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，由全概率公式，，，所以取出“死卵”个数的分布列为：012.所以取出“死卵”个数的数学期望.18．（22·23下·常州·一模）设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为．(1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设且，求的值．（参考公式：若，则）【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）的取值为0，1，2，的取值为0，1，2，分别计算概率即可；（2）计算得，则，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【详解】（1）若，的取值为0，1，2，的取值为0，1，2，则，，，，，，，故的联合分布列为（2）当时，，故所以，由二项分布的期望公式可得．19．（22·23下·浙江·二模）2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：超市ABCDEFG广告支出1246101320销售额19324440525354(1)建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；(2)若将超市的销售额与广告支出的比值称为该超市的广告效率值，当时，称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为，求的分布列与期望.附注：参考数据，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为【分析】（1）首先计算，再根据参考公式和数据，分别计算和，即可求解；（2）根据超几何分布求概率，再根据分布列求期望.【详解】（1）由数据可得；，又，,..（2）由题知，7家超市中有3家超市的广告是“好广告”，X的可能取值是0，1，2，3..所以的分布列为0123所以.20．（22·23·广州·三模）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200(1)根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．附：，．【答案】(1)有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关(2)分布列见解析，均值为【分析】（1）先零假设，再计算，对照临界值表可得结论；（2）写出的所有可能取值，求出取每个值的概率可得分布列，根据均值公式可得均值.【详解】（1）零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．（2）3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3.

；；；；所以的分布列如下：0123所以．21．（22·23下·浙江·二模）小明是个爱存钱的小朋友.已知存钱罐里有1元钱，从第1天开始，每天小明以的概率往存钱罐中存入1元钱，以的概率从存钱罐中取出元钱购买喜欢的玩具，这里表示玩具在第天的价格.假设小明在第天取钱购买玩具时，发现存钱罐中的钱不足够.注：当时，，.(1)若，求；(2)若，且小明希望存钱罐中的钱不足能购买玩具时，存钱罐中剩余的钱越多越好，那么小明应该提高还是减小取钱购买玩具的概率，并给出理由.【答案】(1)；(2)小明应该减小取钱购买玩具的概率，理由见解析.【分析】（1）求出小明在天第一次想购买玩具的概率，再利用期望的意义列式并利用给定求和公式计算作答.（2）利用（1）的信息与结论，求出剩下钱的期望即可分析判断作答.【详解】（1）由于，则小明想要买玩具时一定发现钱不够，小明在天第一次想购买玩具的概率是，所以.（2），则小明第一次希望购买玩具时，钱恰好足够，并且第二次购买玩具时钱一定不够，此时初始状态是存钱罐中0元钱，因此剩下钱的期望是第（1）问中，于是若小明希望存钱罐中的钱不足够买玩具时，存钱罐中剩余的钱越多越好，那么小明应该减小取钱购买玩具的概率.22．（22·23下·绍兴·二模）某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）；(2)若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的的值；附：若随机变量服从正态分布，则：【答案】(1)（岁）(2)(3)【分析】（1）结合频率分布直方图和百分位数的定义即可求解；（2）利用正态分布的性质即可求解；（3）利用二项分布的概率公式和二项式系数的最值列不等式组，解之即可.【详解】（1）由直方图可知，第分位数位于区间，第分位数（岁）.（2）（岁）使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的.（3）根据题意，要使取