2024年内蒙古包头市中考数学预测试卷(含答案)

第第.(8分)(1)(x+2y)(x﹣y)+(2x2y+4xy2)÷2x；(2)解分式方程：.18.(8分)为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次活动共抽查了人.(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数.(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.19.(9分)小明同学对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上.(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度.(结果保留根号)20.(10分)某市今年券猴桃喜获丰收.元旦这天甲超市进行猾猴桃优惠促销活动，猕猴桃销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示.(1)当x≥4时，求销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系式；(2)乙超市猕猴桃的标价为8元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售.若购买12千克券猴桃，通过计算说明在哪个超市购买更划算.21.(12分)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AO并延长，与PB的延长线相交于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB.(1)求证：∠APO=∠BPO；(用两种证法解答)(2)若DP=DB，试探究PB与PD之间的数量关系，写出并证明你的结论.22.(12分)如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现:①当α=0°时，=；②当α=180°时，=.(2)拓展探究:试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.(3)问题解决:△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长.23.(13分)如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，﹣3).(1)求抛物线的函数解析式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；(3)如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO，求点P的坐标.参考答案A【解析】，所以最小的是.故选：A.B【解析】∵，∴，∴，故选：B.C【解析】是直角三角形，∠E=45°，，，，，，故选：C.C【解析】第10个与第11个的分数分别为，则中位数为，故中位数为97，98出现了6次，次数最多，故众数为98；故选：C.C【解析】由作图可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，故A正确；∵BA=BC=BD，∴△ACD是直角三角形，故B正确；点B是△ACD的外心，故D正确；∴tanA==，∴AC=，∴BC=，故C错误.故选C.D【解析】将中①+②得，=4.故选：D.A【解析】去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，∵分式方程无解，∴或x=2，∴，将x=2代入，得，解得m=1，综上，m的值是1或.故选A.B【解析】观察图象得：函数图象经过第一、三、四象限，∴∴，∴，∵，∴-1<2k-1<1，∴0≤(2k-1)2<1，所以方程有两个相等的实数根.故选：B.C【解析】∵，∴∠，∴∠，∵，四边形ABCD是菱形，∴ADBC，AD=BC=AB=CD，∴，∴，∴∠BAE=∠GAD，在△BAD中，AB=AD，∴，在△ABF和△ADG中，，∴△ABF≌△ADG，∴，设，∴，∵，，∴，∴，∵∠，∠，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，故选：C.A【解析】如图，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，∵，∴.∵，∴.又∵，，∴(AAS)，∴，设A(x，)，则B(3x，)，∴C(0，).∵，，又∵，∴，解得：(舍)，∴，∴.故选：A.且【解析】由题意可知：，解得：且，故答案为：且.【解析】原式=，故答案为.【解析】画树状图得：可知，一共有12种等可能的情况，两张卡片文字相同的情况有4种，因此两张卡片文字相同的概率是，故答案为：.【解析】；；；；……；∴第n个数是：；故答案：.【解析】∵，∴，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，∵，,∴,∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为，故答案为：.【解析】连接OD，过点作，如图，∵CD切⊙O于点D，∴OD⊥CD.∵BECD，∴OD⊥BE.∵OD过圆心，OD⊥BE，∴.∴∠EAD=∠DAB.∴∠EAB=2∠EAD=45°.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.∴△ABE为等腰直角三角形，∴AB=.,，，，,，设的半径为，则BC=2﹣2，解得，AB==.∴BE.故答案为：.三.解答题：17.(1)(x+2y)(x﹣y)+(2x2y+4xy2)÷2x；(2)解分式方程：.【解析】(1)原式利用多项式乘多项式法则，以及多项式除单项式法则计算，去括号合并即可得到结果；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.解：(1)原式=x2﹣xy+2xy﹣2y2+xy+2y2=x2+2xy；(2)去分母得：x﹣3+x﹣2=﹣3，解答：x=1，检验：把x=1代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x=1.【点评】此题考查了解分式方程，多项式乘多项式，以及整式的除法，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键.18.【解析】(1)由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；(2)求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360°乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；(3)画出树状图，利用概率公式求解即可.解：(1)这次活动共抽查的学生人数为80÷40%=200(人)；故答案为：200；(2)“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60=20(人)，将条形统计图补充完整如图：学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×=108°；(3)把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率==.【点评】本题考查了列表法或画树状图法、概率公式以及条形统计图和扇形统计图的有关知识.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.19.【解析】(1)根据方位角图，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；(2)过点D作DE⊥AB于点E.分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长.解；(1)由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°﹣45°﹣45°=90°，在Rt△ADC中，∴(米)，答：点D与点A的距离为300米.(2)过点D作DE⊥AB于点E，如图∵AB是东西走向，∴∠ADE=45°，∠BDE=60°，在Rt△ADE中，∴(米)，在Rt△BDE中，∴(米)，∴(米)，答：隧道AB的长为米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.20.【解析】(1)设销售金额y(元)与销售量x(千克)的关系式为y=kx+b，用待定系数法即可求解；(2)分别计算两个超市所需费用，比较，即可求解.解：(1)当x≥4时，设销售金额y(元)与销售量x(千克)的关系式为y=kx+b，将(4，40)，(10，79)代入得，，解得，∴当x≥4时，销售金额y(元)与销售量x(千克)的关系式为：y=6.5x+14；(2)依题意，甲超市：6.5×12+14=92(元)，乙超市：8×0.9×12=86.4(元)，∵86.4＜92，∴乙超市更划算.【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息，掌握待定系数法是解题的关键.21.【解析】(1)方法一：连接OB，利用切线的性质定理和到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上解答即可；方法二：连接OB，利用切线的性质定理和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；(2)过点D作DE⊥PB于点E，连接OB，利用切线的性质定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质求得∠POB=60°，再利用直角三角形的边角关系定理和等腰三角形的三线合一的性质解答即可得出结论.(1)证明：方法一，连接OB，如图，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵OA=OB，∴点O到∠APB的两边的距离相等，∴点O在∠APB的平分线上，即PO为∠APB的平分线，∴∠APO=∠BPO；方法二，连接OB，如图，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)，∴∠APO=∠BPO；(2)解：PB与PD之间的数量关系为：PB=PD，理由：过点D作DE⊥PB于点E，连接OB，如图，由(1)知：OB⊥PB，∴∠OBD+∠PBD=90°，∠DPB+∠BOD=90°.∵DP=DB，∴∠PBD=∠DPB，∴∠OBD=∠BOD，∴OD=BD，∵OB=DO，∴OD=BD=OB，∴∠BOD=60°，∴∠DPB=30°.在Rt△PDE中，∵cos∠DPE=，∴，∴PE=PD.∵DP=PB，DE⊥PB，∴PE=BE=PB，∴PB=2PE=PD.【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.22.【解析】(1)①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少.②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据=，求出的值是多少即可.(2)首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据==，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.(3)分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可.解：(1)①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC===2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE=AC=，BD=BC=1，∴=.②如图1中，当α=180°时，可得AB∥DE，∴=，∴=，∴==.故答案为：①，②.(2)如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵==，∴△ECA∽△DCB，∴==.(3)①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE=，BC=2，∴BE===1，∴AE=AB+BE=5，∵=，∴BD==.②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，BE===1，AE=AB﹣BE=4﹣1=3，∵=，∴BD=，综上所述，满足条件的BD的长为或.【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.23.【解析】(1)将点A，点C坐标代入解析式可求解；(2)先求出点B坐标，可得OB=OC，可得∠OBC=∠OCB=45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解；(3)在BO上截取OE=OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO=∠ECO，CE=AC=，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA=tan∠PAB=，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标.解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(1，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3；(2)∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，∴点B(﹣3，0)，∵点B(﹣3，0)，点C(0，﹣3)，∴OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC=15°，∴∠OBD=30°，∴tan∠DBO==，∴OD=×3=，∴CD=3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC=15°，∴∠OBD=60°，∴tan∠DBO==，∴OD=3，∴DC=3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；(3)如图2，在BO上截取OE=OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A(1，0)，点C(0，﹣3)，∴OA=1，OC=3，∴AC===，∵OE=OA，∠COE=∠COA=90°，OC=OC，∴△OCE≌△OCA(SAS)，∴∠ACO=∠ECO，CE=AC=，∴∠ECA=2∠ACO，∵∠PAB=2∠ACO，∴∠PAB=∠ECA，∵S△AEC=AE×OC=AC×EF，∴EF==，∴