7.3 认识三角形（与三角形有关的线段） 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练

专题7.17认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2.理解并会应用三角形三边间的关系；3.理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4.对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.特别说明： (1)三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).特别说明：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段➽➼三角形的边段➽➼概念✭✭分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出的边和角．（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：，，，，，共5个；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，再以DE为边三角形有△DEC，一共有5个三角形分别为，，，，；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD为边的三角形有：△BDC，△BDO，以∠1为内角的三角形有：△EOC，△ACD．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．【答案】的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断．解：∵，∴，∴a=b=c，∴是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段➽➼构成三角形条件✭✭确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm；【答案】（1）不能，因为3cm＋4cm＜8cm；（2）不能，因为5cm＋6cm＝11cm；（3）能，因为5cm＋6cm＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a，b，c能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a，b，c能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明即可．解：三条线段a，b，c能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知，∴三条线段a，b，c能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) (2)当时，三角形的周长最大为【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知，即，∴a的取值范围是；（2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数，∴当时，三角形的周长最大，此时周长为：，∴周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】已知：中，，，，求的范围．【答案】【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∵是的三边，∴，即：，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段➽➼三角形的高➽➼作图✭✭求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．画出中边上的高；直接写出的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：．故答案为：【点拨】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．举一反三：【变式】如图：用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求；（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，分别是的中线和高，，．求和的长．【答案】，【分析】利用，求出，再根据是的中线，得到，即可得解．解：由题意，得：，∴，∵是的中线，∴，∴．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，分别是的高，若，求的长．【答案】【分析】利用，根据等面积法即可求解．解：∵分别是的高，∴∵，∴,∴．【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．类型四、与三角形有关线段➽➼三角形中线➽➼求线段长✭✭求面积✭✭周长7．如图，在中边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长．【答案】【分析】先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设，则，边上的中线把的周长分成和两部分，，当时，，解得：，，，，，，满足三边关系，；当时，，解得：，，，，，不满足三角形三边关系，所以舍去，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．举一反三：【变式】如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：的面积；的长度；与的周长的差．【答案】(1)； (2)； (3)．【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线，得到；（2）利用面积法得到，即可求出的长；（3）由的周长－的周长=，即可求得答案．（1）解：是直角三角形，，，，是上的中线，，，；（2）解：，是上的高，，；（3）解：是边上的中线，，的周长－的周长=，即和的周长差是．【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，中，，，，．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．当t=___________时，把的周长分成相等的两部分？当t=___________时，把的面积分成相等的两部分？当t为何值时，的面积为12？【答案】(1)6 (2)6.5 (3)2或6.5秒【分析】（1）先求出的周长为24cm，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间=路程÷速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3）分两种情况：①P在上；②P在上．解：（1）中，∵，，，∴的周长，∴当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，∴，解得．故答案为：6；（2）当点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，此时，∴，解得．故答案为：6.5；（3）分两种情况：①当P在上时，∵的面积=12，∴，∴，∴，；②当P在上时，∵的面积=12=面积的一半，∴P为中点，∴，．故t为2或6.5秒时，的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．举一反三：【变式】已知的面积为S，根据下列条件完成填空.图1

图2

图3是的边BC上的中线，如图1，则的面积为（用含S的式子表示，下同）；是的边上的中线，如图2，则的面积为；是的边上的中线，如图3，则的面积为；……在图2022中，是的边上的中线，则的面积为.【答案】(1)，， (2)【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可；（2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解．（1）解：∵是的边BC上的中线，的面积为S，如图1，∴；又∵是的边上的中线，如图2，∴；∵是的边上的中线，如图3，∴，故答案为：，，（2）解：∵，，，，以此类推，可得，∴当时，，故答案为：【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．类型五、与三角形有关线段➽➼三角形角平分线➽➼求线段长✭✭求面积9．如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．【答案】【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．举一反三：【变式】如图，点为直线上一点，，平分，求证：ABCD．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：平分，，，，∴．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，中，按要求画图：的平分线；画出中边上的中线；画出中边上的高．【分析】（1）画出的平分线交于D即可；（2）取的中点E，连接，中线即为所求；（3）过点C作交的延长线于F，即为中边上的高．（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，中线即为所求；（3）解：如图，高即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：画出沿方向平移2个单位后的；与的重叠部分面积为多少？【答案】(1)图见分析 (2)重叠部分面积为10【分析】（1）根据题意画出沿方向平移2个单位后的即可；（2）正方形的边长为1，根据图形进行求解即可．解：（1）沿方向平移2个单位后的如图所示：（2）∵正方形的边长为1，根据（1）中的图形可得，重叠部分的面积为：．【点拨】本题考查了作图—平移变换，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．类型六、与三角形有关线段➽➼三角形的稳定性✭✭四边形的不稳定性9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是