河南省焦作市博爱一中2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页绝密★启用前焦作市博爱一中2023—2024学年高三上学期第一次模拟考试数学考生注意：1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知公比不为1的等比数列的前项和为，记：为等差数列；：对任意自然数为等差数列，则是的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知，则（

）A. B. C. D.3.已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A. B.C. D.4.在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（

）A. B. C. D.5.已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为.记的面积为，的面积为，则的取值范围为（

）A. B.C. D.6.若，则（

）A. B. C. D.7.已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，其中为切点，则的最大值为（

）A. B. C. D.8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为（）A. B.1 C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式eix=cosx+isinx（x∈R,iA.eiπB.12C.eixD.−2≤e10.下列命题中正确的是（

）A.若样本数据，，，的样本方差为3，则数据，，，的方差为7B.经验回归方程为时，变量x和y负相关C.对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立D.若，则取最大值时11.已知曲线，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（

）A.若，则曲线的离心率为B.若，则曲线的渐近线方程为C.若曲线是双曲线，则曲线的焦点一定在轴上D.若曲线是圆，则的最大值为412.已知点是抛物线：的焦点，直线：与相交于，两点，过点，分别作的切线交于点，点是弦的中点，点是线段的中点，则下列说法正确的是（

）A. B.直线与轴平行C.点在抛物线上 D.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若，，且，则的取值范围为.14.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是.15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其外接球的体积为.16.已知等比数列的公比为，其前n项和为，则的最大值与最小值之和为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已如等差数列的前项和为，若，.(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和，求数列的前项和.18.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角；(2)若，求边上高的最大值.19.（12分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，.(1)求证：平面ACF；(2)求AF与平面EBD所成角的正弦值.20.（12分）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分.为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格.经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为.某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.参考数值：，，.21.（12分）过抛物线上一点作直线交抛物线E于另一点N.（1）若直线MN的斜率为1，求线段的长.（2）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点.如果有求定点坐标，如果没有请说明理由.22.（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

焦作市博爱一中2023—2024学年高三上学期第一次模拟考试数学•参考答案一、单项选择题1.【答案】C【解析】因为命题成等差数列，所以，又数列为等比数列，且公比不为1，所以，整理得到，又命题成等差数列，所以，即，整理得到，所以是的充要条件，故选：C.2.【答案】C【解析】即；即；，即.所以.故选：C.3.【答案】D【解析】令，故，画出与的图象，函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，则，解得.故选：D4.【答案】B【解析】由，有，即，则有，得，，当且仅当时等号成立，是锐角，所以当最大时，，则.故选：B.5.【答案】C【解析】作，垂足为E，连接，因为，即，平面，故平面，平面，故，又，故平面，平面，则在内的射影在BE上，则为AB与平面所成角，即，由于，，故为二面角的平面角，即，，在中，，则，而，则，则，故，故选：C6.【答案】B【解析】由，得，解得，又，所以.故选：B7.【答案】A【解析】要使得最大，则最小，的最小值即为圆心到直线的距离.由题意知，，，，且，所以最大时，最小.由题意知，.所以，则，即的最大值为.故选：A.8.【答案】C【解析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.二、多项选择题9.【答案】ABC【解析】对于A，当x=π时，因为eiπ=cosπ+isinπ=−1，所以eiπ+1=0对于B，12+32对于C，由eix=cosx+isinx，e−ix=cos−x+isin−x=cosx−isinx，所以对于D，由C选项的分析得eix−e−ix=2isinx，推不出−2≤e10.【答案】BC【解析】对于A，数据，，…，的方差为，所以A错误；对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；对于C，由，得，所以事件A与事件B独立，所以C正确；对于D，由，即，解得或，所以D错误.故选：BC.11.【答案】AC【解析】对于选项A，时，曲线为，故，则曲线的离心率为，故A选项正确；对于选项B，时，曲线为，双曲线焦点在轴上，则曲线的渐近线方程为，故B选项错误；对于选项C，若曲线是双曲线，则，解得：，因，则曲线的焦点一定在轴上，故C选项正确；对于选项D，若曲线是圆，则，即，，设，则得，如图，要求的最大值，即求直线的纵截距的最小值，又因为曲线上一动点，故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心到直线的距离为，解得，结合图象知，即的最大值为，故D选项错误.故选：AC.12.【答案】BCD【解析】由，得到，所以，又，，由导数几何意义知，抛物线在点处切线斜率为，所以抛物线在点处的切线方程为，即，又，得到，故抛物线在点处的切线方程为，同理可得，抛物线在点处的切线方程为，又两切线交于点，所以，从而得到直线的方程为，即，又由题知直线的方程为，所以，得到，所以选项A错误；对于选项B，联立和，消得到，由韦达定理得，，所以点的横坐标为，又因为，所以选项B正确；对于选项C，由选项B知，，所以，又，所以，又，故点在抛物线上，所以选项C正确；对于选项D，由抛物线定义知，，,又由选项B知，，，所以，又，所以选项D正确，故选：BCD.三、填空题13.【答案】【解析】由，，故，即，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，令，则有，即，解得或（舍去），故，即的取值范围为.故答案为：.14.【答案】【解析】圆化简为标准方程，可得，∴圆心坐标为，半径，∵在圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，∴圆心到直线的距离应小于或等于，由点到直线的距离公式，得，∴，整理得，解得，∵直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，即，由此可得直线的倾斜角的取值范围是.所以答案应填：.15.【答案】【解析】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知，外接球的球心落在直线上，

由题意该四棱台上下底面边长分别为和，侧棱长为，则，，，所以，设外接球的半径为，，则，则，解得，，所以该米斗的外接球的体积为，故答案为：.16.【答案】【解析】由条件可知，当为偶数时，，因为单调递增，所以单调递增，所以，所以；当为奇数时，，因为单调递增，所以单调递减，所以，所以；所以，所以，故答案为：.四、解答题17.（10分）【答案】(1)；(2)【解析】（1）设的公差为，由题意可得，解得，所以.（2）因为，当，则；当，则；综上所述：.则，设数列的前项和，当，则；当，则；注意到符合上式，所以.18.（12分）【答案】(1)；(2).【解析】（1）由正弦定理及，得.因为，所以，所以，所以.因为，所以.因为，所以.（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，当且仅当时等号成立，设边上的高为，又因为，所以.即边上高的最大值为.19.（12分）【答案】(1)证明见解答；(2)【解析】（1）证明：如图，连接，因为底面是菱形，与交于点，可得点为的中点，又为的中点，所以为的中位线，可得，又平面，平面，可得平面；（2）以，所在直线为，轴，过作的垂线所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，因为ABCD是菱形，，为等边三角形，不妨设，则，，，，，可得，，设平面的一个法向量为，可得，不妨取，则，可得.又，可得与平面所成角的正弦值为：.20.（12分）【答案】(1)分布列见解析，；(2)【解析】（1）（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，，，，∴X的分布列如下：X1234P.（2）.∴符合该项指标的学生人数为：人每个学生通过选拔的概率对，∴最终通过学校选拔人数，∴.21.（12分）【答案】（1）；（2）有，定点.【解析】（1）把代入中，得直线的方程：，即：与联立得：，∴，；∴∴.（2）设直线AB的方程