福建省厦门市思明区东埔中学2022年中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，在四边形ABCD中，如果NADC=NBAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）

,ADDC

A.ZDAC=ZABCB.AC是NBCD的平分线c.AC2=BC«CDD.——=——

ABAC

2.已知关于X的方程kx2+（l—k）x-l=0,下列说法正确的是

A.当k=0时，方程无解

B.当k=l时，方程有一个实数解

C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解

D.当ko0时，方程总有两个不相等的实数解

3.如图，O为坐标原点，四边彤OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sinNAOB=：,反比例函数y=与在第一象限

内的图象经过点A,与BC交于点F,删AAOF的面积等于（）

A.10B.9C.8D.6

4.如图在AABC中，AC=BC,过点C作垂足为点O,过。作交AC于点E,若3。=6,AE=

5,则sinZEDC的值为（）

A

424

A.-C.一D.—

5525

5.如图，直线a〃b,直线c与直线a、b分别交于点A、点B,ACJLAB于点A,交直线b于点C.如果Nl=34。,

那么N2的度数为（)

A.34°B.56°D.146°

6.如图，在平行四边形ABCD中,NABC的平分线BF交AD于点F,FE〃AB.若AB=5,AD=7,BF=6,则四边

C.30D.24

x+12x

7.计算的结果是（)

x-1x一1

3x+l

A.1C.1-xD.

x-1

8.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分另

对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2-y2）a2-（x2-y2）b?因式分解，结果呈现的密码信息可能是

()

A.我爱美B.宜晶游C.爱我宜昌D.美我宜昌

9.在一3,-1,（）,1这四个数中，最小的数是（）

A.-3B.-1C.0D.1

10.如图，AB/7CD,DB_LBC,Z2=50°,则N1的度数是()

A.40°B.50°C.60°D.140°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

4

11.如图，在四边形ABCD中，NB=ND=90。，AB=3,BC=2,tanA=一，贝!JCD=___

3

12.已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方

形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为____厘米.

13.如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合.若

BE=3,则折痕AE的长为

14.如图，在正方形网格中，线段A，B，可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的,

写出一种由线段AB得到线段A，B，的过程

15.如图，A3是。。的直径，点E是8尸的中点，连接AF交过£的切线于点。，A8的延长线交该切线于点C,若

ZC=30°,。。的半径是2,则图形中阴影部分的面积是.

16.如果一个正多边形每一个内角都等于144。，那么这个正多边形的边数是

17.如图，五边形AB8E是正五边形，若"4,则Nl—N2=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成,

底座至，直线L且他=25的，手臂AB=5C=60cm,末端操作器8=35的，Ab||直线L.当机器人运作时,

ZBAF=45°,ZABC=75°,ZBCD=60°,求末端操作器节点。到地面直线L的距离.（结果保留根号）

19.（5分）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，。是AB的中点，中柱。=1米，NA=27。，求跨度

AB的长（精确到0.01米）.

20.（8分）（10分）如图，AB是。O的直径，OD_L弦BC于点F,交。O于点E,连结CE、AE、CD,若NAEC=NODC.

(1)求证：直线CD为。O的切线；

(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.

21.(10分)如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(m,n)(m<0,

n>0),E点在边BC上，F点在边OA上.将矩形OABC沿EF折叠，点B正好与点O重合，双曲线一过点E.

口=二

(1)若m=-8,n=4,直接写出E、F的坐标；

(2)若直线EF的解析式为二=二+3,求k的值；

(3)若双曲线——过EF的中点，直接写出tanNEFO的值.

22.(10分)如图，△ABC内接于0O,CD是。O的直径，AB与CD交于点E,点P是CD延长线上的一点，AP=AC,

且NB=2NP.

(1)求证：PA是。。的切线；

(2)若PD=6,求。O的直径；

(3)在(2)的条件下，若点B等分半圆CD,求DE的长.

23.(12分)如图1,点P是平面直角坐标系中第二象限内的一点，过点P作PAJ_y轴于点A,点P绕点A顺时针

旋转60。得到点P',我们称点P，是点P的“旋转对应点”.

(1)若点P(-4,2),则点P的“旋转对应点”P，的坐标为:若点P的“旋转对应点”P，的坐标为(-5,16)

则点P的坐标为;若点P(a,b),则点P的“旋转对应点”P，的坐标为；

(2)如图2,点Q是线段AP，上的一点(不与A、P，重合)，点Q的“旋转对应点”是点Q，，连接PP'QQ',求证:

PP/7QQ'；

(3)点P与它的“旋转对应点”P，的连线所在的直线经过点(6，6),求直线PP，与x轴的交点坐标.

24.(14分)如图，PB与。O相切于点B,过点B作OP的垂线BA,垂足为C,交。O于点A,连结PA,AO,AO

的延长线交OO于点E,与PB的延长线交于点D.

(1)求证：PA是。O的切线;

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解析】

结合图形，逐项进行分析即可.

【详解】

在△ADC和ABAC中，ZADC=ZBAC,

如果AADCs/XBAC,需满足的条件有：①NDAC=NABC或AC是NBCD的平分线；

ADDC

②——=—,

ABAC

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的条件，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

2、C

【解析】

当k=0时，方程为一元一次方程x—l=O有唯一解.

当kwO时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：

VA=(l-k)2-4-k-(-l)=(k+l)2,

•••当k=-l时，方程有两个相等的实数解，当k#0且kw-1时，方程有两个不相等的实数解.综上所述，说法C正

确.故选C.

3、A

【解析】

过点A作AMJ_x轴于点M,过点F作FNLx轴于点N,设OA=a,BF=b,通过解直角三角形分别找出点A、F的

坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出AAOF的面积等于

梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论.

解：过点A作AMJ_x轴于点M,过点F作FN_Lx轴于点N,如图所示.

设OA=a,BF=b,

在RtAOAM中，ZAMO=90°,OA=a,sinNAOB=；

J

:.AM=OA・sinNAOB=：a,OM=VZZ--ZZ=^a,

•・•点A的坐标为争，

•・•点A在反比例函数y=E的图象上,

/.Tax^a=^a2=12,

JJ25

解得：a=5,或a=-5（舍去）.

，AM=8,OM=1.

•.•四边形OACB是菱形，

.•.OA=OB=10,BC〃OA,

.,.ZFBN=ZAOB.

在RSBNF中，BF=b,sinZFBN=；,ZBNF=90°,

:.FN=BF・sinNFBN=J,BN=«二二：一二二’=务,

二点F的坐标为（10+；b,7b）.

•••点F在反比例函数y=:的图象上，

二（10+%）x-b=12,

JJ

SAAOF=SAAOM+S精彩AMNF-SAOFN=S«®,\MNF=10

故选A.

“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出SAAOF=;S

SJgOBCA.

4、A

【解析】

由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,由AE=5,DE〃BC知AC=2AE=10,

ZEDC=ZBCD,再根据正弦函数的概念求解可得.

【详解】

•.,△ABC中，AC=BC,过点C作

：.AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,

'：AE=5,DE//BC,

：.AC=2AE=10,NEDC=NBCD,

,,BD63

..sinNEZ)C=sinN3a>==—=—,

BC105

故选：A.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质

等知识点.

5、B

【解析】

分析：先根据平行线的性质得出N2+NBAZ)=180。，再根据垂直的定义求出N2的度数.

详解：,••直线。〃b,：.Z2+ZBAD=180°.

,.•AC_LA3于点A,Nl=34°,/.Z2=180°-90°-34°=56°.

故选B.

点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，此题难度不大.

6、D

【解析】

分析：首先证明四边形ABEF为菱形，根据勾股定理求出对角线AE的长度，从而得出四边形的面积.

详解：VAB/7EF,AF〃BE,二四边形ABEF为平行四边形，•：BF平分NABC,

.,•四边形ABEF为菱形，连接AE交BF于点O,VBF=6,BE=5,.\BO=3,EO=4,

.♦.AE=8,则四边形ABEF的面积=6x8+2=24,故选D.

点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理，属于中等难度的题型.解决本题的关键就是根据题意得出四边形

为菱形.

7、B

【解析】

根据同分母分式的加减运算法则计算可得.

【详解】

x+l-2x

解:原式=

x-1

i-x

--3)

x-\

=-i,

故选B.

【点睛】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则.

8、C

【解析】

试题分析：(x?-炉)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),因为x-y,x+y,a+b,

a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C.

考点：因式分解.

9,A

【解析】

【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案.

【详解】由正数大于零，零大于负数，得

-3<-1<0<1,

最小的数是-3,

故选A.

【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键.

10、A

【解析】

试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出N3,再根据两直线平行，同位角相等解答.

解：VDB1BC,N2=50°,

:.Z3=90°-Z2=90°-50°=40°,

VAB/7CD,

.•.Zl=Z3=40°.

故选A.

5/1

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

6

11、一

5

【解析】

延长AD和BC交于点E,在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中

利用三角函数的定义求解.

【详解】

如图，延长AD、BC相交于点E,

“BE4

..tanA-=—

AB3

4

.,.BE=--A6=4,

3

CE=BE-BC=2,AE=JAB2+BE)=5，

AE5

XVZCDE=ZCDA=90°,

CD

/•在RtACDE中，sinE------,

CE

CD=CE•sinE=2x3=—.

55

12、1或5.

【解析】

小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离.

【详解】

解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2+2=1,

①如图，小正方形平移距离为1厘米;

②如图，小正方形平移距离为4+1=5厘米.

故答案为1或5,

【点睛】

此题考查了平移的性质，要明确，平移前后图形的形状和面积不变.画出图形即可直观解答.

13、6

【解析】

试题分析：由题意得：AB=AO=CO,即AC=2AB,且OE垂直平分AC,

.*.AE=CE,

设AB=AO=OC=x,

贝！J有AC=2x,ZACB=30°,

在RtAABC中，根据勾股定理得：BC=73X,

在RtAOEC中，NOCE=30°,

11

.\OE=-EC,nBnPBE=-EC,

22

VBE=3,

.♦.OE=3,EC=6,

贝！］AE=6

故答案为6.

14、将线段AB绕点B逆时针旋转90。，在向右平移2个单位长度

【解析】

根据图形的旋转和平移性质即可解题.

【详解】

解：将线段AB绕点B逆时针旋转90。，在向右平移2个单位长度即可得到A，B，、

【点睛】

本题考查了旋转和平移，属于简单题，熟悉旋转和平移的概念是解题关键.

3732

13、-------TC

23

【解析】

首先根据切线的性质及圆周角定理得C£的长以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出OE,AO的长，利用

SAADE-S扇影FOE=图中阴影部分的面积求出即可.

【详解】

解：连接OE,OF、EF,

•••OE是切线，

：.OELDE,

VZC=30°,0B=0E=2,

:.NEOC=60。,OC=2OE=4,

：.CE=OCxsin60°=4xsin60=2石，

I•点E是弧BF的中点，

NEAB=NZX4E=30。，

：.F,E是半圆弧的三等分点，

:.NEOF=NEOB=ZAOF=60°,

J.OE//AD,ZDAC=60°,

，NAOC=90。，

VCE=AE=2百，

:.DE=C，

.,.AD=DExtan60°=百x6=3,

•c1门口12国3>/3

•-SAADE=-4AnD-DE=-X3X>/3=----

222

'.,△fOE和AAE尸同底等高,

:.△FOE和4AEF面积相等,

3660-7TX223百2

•••图中阴影部分的面积为：孔ADE-扇形FOE=---------------=--------71.

236023

故答案为垣-2万

23

【点睛】

此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出A尸OE和△AE尸面积相等是解题关键.

16、1

【解析】

设正多边形的边数为n,然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可.

【详解】

解：设正多边形的边数为n,

由题意得，（"2）.180。=14明

n

解得n=l.

故答案为L

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键.

17、72

【解析】

分析：延长AB交4于点F,根据右/〃2得到N2=N3,根据五边形ABCDE是正五边形得到NFBC=72。,最后根据三角

形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.

详解：延长AB交6于点F,

二N2=N3,

V五边形ABCDE是正五边形,

.•.ZABC=108°,

:.ZFBC=72°,

Z1-Z2=Z1-Z3=ZFBC=72°

故答案为：72°.

点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(300+20)cm.

【解析】

作BG_LCD,垂足为G,BH±AF,垂足为H,解RfACBG和RfAABH,分别求出CG和BH的长，根据D到L的

距离=BH+AE-(CD-CG)求解即可.

【详解】

如图，作BGJ_CD,垂足为G,BH1AF,垂足为H,

CG=BCcos60°=30,

在RMABH中，NBAF=45。，AB=60cm,

:.BH=AB•sin45°=3O>/2,

D到L的距离=HH+AE-(CD-CG)=30夜+25-5=(30&+20)cvn.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段.

19、AB^3.93m.

【解析】

想求得A8长，由等腰三角形的三线合一定理可知45=2A。，求得即可，而AO可以利用NA的三角函数可以求

出.

【详解】

'：AC=BC,。是AB的中点，

：.CDLAB,

又・.・CD=1米，ZA=27°,

・・・AO=CZ>Haii270Hl.96,

：.AB=2AD9

：.AB^3.93m.

【点睛】

本题考查了三角函数，直角三角形，等腰三角形等知识，关键利用了正切函数的定义求出AD,然后就可以求出A5.

20、(1)证明见试题解析；(2)—.

3

【解析】

试题分析：(1)利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出NOCF+NDCB=90。，即可得出答案；

(2)利用圆周角定理得出NACB=90。，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长.

试题解析：(1)连接OC,VZCEA=ZCBA,NAEC=NODC,/.ZCBA=ZODC,又；NCFD=NBFO,

.,.ZDCB=ZBOF,VCO=BO,.,.ZOCF=ZB,VZB+ZBOF=90°,/.ZOCF+ZDCB=90°,，直线CD为(DO的切

线；

(2)连接AC,：AB是<90的直径，/.ZACB=90°,AZDCO=ZACB,又：ND=NB,AOCD^AACB,

COCD2.5CD»10

VZACB=90°,AB=5,BC=4,；.AC=3,:.——=——，即an——=——，解得；DC=—.

ACBC343

考点：切线的判定.

21、(1)E(—3,4)、F(-5,0)；(2)_；(3)、K.

【解析】

(1)连接OE,BF,根据题意可知：--=--=片--=--=4设--=-则--=--=£_-根据勾股定理可得：

二二二十二二：二二二，即4,+二二=二)，解得：-=；即可求出点E的坐标，同理求出点F的坐标.

(2)连接BF、OE,连接BO交EF于G由翻折可知：GO=GB,BE=OE,证明△BGEgZ\OGF,证明四边形OEBF

为菱形，令y=0,贝U、？二+W=0，解得二=9根据菱形的性质得OF=OE=BE=BF=\7令y=n,则力二+3=二，

解得_.则CE=_在RtACOE中，根据勾股定理列出方程一，，即可求出点E的坐标,

L一—3口一3(一号)；+口；=(@：

“=百~~jT

即可求出k的值；

(3)设EB=EO=x,则CE=-m-x,在RtACOE中，根据勾股定理得.到(一m—x)2+n2=x2,解得一一，求出

点_)、F(_；+_;),根据中点公式得到EF的中点为(二。，将_),(_。代入__中,

,r——-

得；__，得m2=2n2

一4口口

即可求出tanZEFO=_.

一二=«2

【详解】

解：(1)如图：连接OE,BF,

ElN

/F0]?

E(—3,4)、F(—5,0)

⑵连接BF、OE,连接BO交EF于G由翻折可知：GO=GB,BE=OE

上7:

/F0\?

可证：△BGE^AOGF(ASA)

.,.BE=OF

:.四边形OEBF为菱形

令y=0,贝!)、,弓二+3=0，解得二=y，/.OF=OE=BE=BF=v^

令y=n,则H匚+3=二，解得__三，CE=_o^

U一下

在RtACOE中,

(-<)；+匚；=(H)；

解得一

,El仃?

(3)设EB=EO=x,则CE=-m-x,

在RtACOE中，(—m—x)2+n2=x2,解得

，EF的中点为(__)

将)、(「_)代入一中，得

--,得m2=2n2

口(丁_二》_1一一

~=7口口

.e.tanZEFO=

py

一二0二72

【点睛】

考查矩形的折叠与性质，勾股定理，一次函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数等，综

合性比较强，难度较大.

22、(1)证明见解析；(2)26;(3)3—6；

【解析】

(1)连接OA、AD,如图，利用圆周角定理得到NB=NADC,则可证明NADC=2

NACP,利用CD为直径得到NDAC=90。，从而得到NADC=60。，NC=30。，则NAOP=60。，

于是可证明NOAP=90。，然后根据切线的判断定理得到结论；

(2)利用NP=30。得至ljOP=2OA,则=0。=百，从而得到。O的直径；

(3)作EHJ_AD于H,如图，由点B等分半圆CD得到NBAC=45。，则NDAE=45。，设

DH=x,则DE=2x,HE=也x,A"=HE=所以(万+1卜=6，然后求出x即可

得到DE的长.

【详解】

(1)证明：连接OA、AD,如图，

VZB=2ZP,NB=NADC,

；.NADC=2NP,

VAP=AC,

.".ZP=ZACP,

二ZADC=2ZACP,

VCD为直径，

.*.ZDAC=90o,

.•.ZADC=60°,NC=30。，

/.△ADO为等边三角形，

ZAOP=60°,

而NP=NACP=30°,

:.ZOAP=90°,

，OA_LPA,

...PA是OO的切线；

(2)解：在RtAOAP中，VZP=30°,

.•.OP=2OA,

:.PD=OD=y[3

二。0的直径为26；

(3)解：作EH_LAD于H,如图，

•••点B等分半圆CD,

二ZBAC=45°,

.,.ZDAE=45°,

设DH=x,

在RtADHE中，DE=2x,HE=4?>x,

在RtAAHE中，AH=HE=&

AD-y/3x+x-^\/3+x,

即（百+l）x=G,

解得a*

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线垂直于经过切点的

半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”：有切线时，常常“遇到切点连圆心

得半径”.也考查了圆周角定理.

23、(1)(-2,2+273)，(-10,16-5百)，(-,b-走a)；(2)见解析；(3)直线PP,x轴的交点坐标(-G，

22

0)

【解析】

(1)①当P(-4,2)时，OA=2,PA=4,由旋转知，ZP'AH=30°,进而PH=；P'A=2,AH=73P'H=273,即可得

出结论；

②当P(-5,16)时，确定出P，A=10,AH=5百，由旋转知，PA=PA'=10,OA=OH-AH=16-5月，即可得出结论；

③当P(a,b)时，同①的方法得，即可得出结论；

(2)先判断出NBQQ，=60。，进而得出NPAP，=NPP，A=60。，即可得出NP，QQ，=NPAP，=60。，即可得出结论；

(3)先确定出ypp'=Gx+3,即可得出结论.

【详解】

解：(1)如图1,

①当P(-4,2)时，

•.，PAJ_y轴，

/.ZPAH=90°,OA=2,PA=4,

由旋转知，P'A=4,ZPAP'=60°,

.,.ZP'AH=30°,

.a1

在RSP'AH中，P'H=-P'A=2,

2

.,.AH=73P'H=273,

:.OH=OA+AH=2+2百，

AP'(-2,2+273)»

②当P(-5,16)时，

在RtAPAH中，ZP'AH=30°,P'H=5,

.,.P'A=10,AH=573,

由旋转知，PA=PA'=10,