2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8+a14＝3a11﹣4，则S21＝（）A．72 B．84 C．144 D．1682．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0（k＜0）和定点P（1，﹣1），若过点P可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）3．（5分）如果直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣b关于直线y＝x对称，那么（）A．a，b＝6 B．a，b＝﹣6 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝3，b＝64．（5分）已知抛物线x2＝16y的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆E：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（）A．12 B．10 C．8 D．65．（5分）设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△FOH的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．6．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，nan+1＝2Sn，，数列{bn}的前n项和为Tn，则T100＝（）A．0 B．50 C．100 D．25257．（5分）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为E：x2+y2＝7，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（）A．椭圆C的离心率为 B．M到C的右焦点的距离的最大值为 C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，则 D．△MPQ面积的最大值为8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（1）＝9，对任意实数x1，x2都有，若an＝f（n），则{an}中的最大项为（）A．a9 B．a10 C．a8和a9 D．a9和a10二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．（多选）9．（5分）下列有关数列的说法正确的是（）A．数列﹣2021，0，4与数列4，0，﹣2021是同一个数列 B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项 C．在数列中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，⋯的通项公式为（多选）10．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn}，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，下列说法正确的是（）A．T2022＝1348 B．若Tn＝2022，则n＝3033 C．S1000＝a1002﹣1 D．a12+a22+a32+⋯+a5002＝a500a501（多选）11．（5分）已知圆M：（x+1）2+（y+1）2＝4，直线l：x+y﹣2＝0，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4 B．线段AB的最小值为 C．当直线AB的方程为x+y＝0时，∠APB最小 D．若动直线l1∥l，l1且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线l1横截距的取值范围为（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8 B．|MF|+2|NF|的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为 D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围为．14．（5分）已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝﹣n2+2n+m，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是．16．（5分）如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足AB⊥AD，CB⊥CD，，若点A，C分别为椭圆E：（b＞0）的上、下顶点，点B在椭圆E上，点D不在椭圆E上，则椭圆E的焦距为．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．半径为3的圆C过点A（1，﹣1），圆心C在直线y＝2x上且圆心在第一象限．（1）求圆C的方程；（2）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程．18．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2+4y2＝4的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式．（1）求线段AB的长度；（2）求顶点C的轨迹方程．19．已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）an＝3n．（1）求an；（2）若对任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，求λ的取值范围．20．如图，已知点A，B，C是抛物线x2＝y上的三个不同的点，且△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直线BC的斜率为1，求顶点B的坐标；（Ⅱ）求三角形ABC的面积的最小值．21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，．（1）计算：a2，a3；（2）证明为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（3）设，求数列{bn+1bn}的前n项和Tn．22．设椭圆E：的左右焦点F1，F2分别是双曲线1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8+a14＝3a11﹣4，则S21＝（）A．72 B．84 C．144 D．168【解答】解：由等差数列性质知a8+a14＝2a11＝3a11﹣4，解得a11＝4，故．故选：B．2．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0（k＜0）和定点P（1，﹣1），若过点P可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：圆C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0化为标准方程：（x+k）2+（y+1）2＝1，∵过点P（1，﹣1）可以作两条直线与圆C相切，∴点P（1，﹣1）在圆外，将点P（1，﹣1）代入圆方程得：（1+k）2+（﹣1+1）2＞1，∴k＞0（舍去）或k＜﹣2，∴k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：D．3．（5分）如果直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣b关于直线y＝x对称，那么（）A．a，b＝6 B．a，b＝﹣6 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝3，b＝6【解答】解：法一：由题意，函数y＝3x﹣b的反函数为y，与y＝ax+2对照可得a，b＝6；法二：在y＝ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y＝3x﹣b上，故得b＝6；又y＝3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y＝ax+2上，代入得a，由此可得a，b＝6故选：A．4．（5分）已知抛物线x2＝16y的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆E：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：由题意知，圆心E（2，6），半径r＝2，抛物线的焦点F（0，4），准线l：y＝﹣4，如图，作PH⊥l于H，因为P在抛物线上，所以|PF|＝|PH|，因为|PQ|+|PH|≤|QH|，当P，Q，H三点共线时，取等号，又|QH|≥|EH|﹣|EQ|，则当E，Q，H三点共线时，取等号，过点E，作EH1⊥l，垂足为H1，EH1交圆于Q1点，交抛物线于P1，此时E，Q1，P1，H1四点共线，则上述两式可同时取等号，所以（|P1Q1|+|P1H1|）min＝|Q1H1|＝|EH1|﹣|EQ1|＝|6﹣（﹣4）|﹣2＝8，所以|PQ|+|PF|的最小值为8，故选：C．5．（5分）设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△FOH的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为：，即bx±ay＝0，∴F（c，0）到渐近线的距离为，∴，则直角三角形FOH的内切圆的半径，如图，设三角形的内切圆与FH切于M，则，，可得，∴，即2b＝2a+c，则4b2＝4c2﹣4a2＝c2+4ac+4a2，所以8a2+4ac﹣3c2＝0，由，∴3e2﹣4e﹣8＝0，∵e＞1，∴．故选：A．6．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，nan+1＝2Sn，，数列{bn}的前n项和为Tn，则T100＝（）A．0 B．50 C．100 D．2525【解答】解：∵nan+1＝2Sn①，则当n≥2时，（n﹣1）an＝2Sn﹣1②，①﹣②得nan+1﹣（n﹣1）an＝2an，即，易知，又，•••，，∴，又a1＝1满足an＝n，∴，∴，∴b1+b2＝b3+b4＝⋯＝b99+b100＝1，∴T100＝50，故选：B．7．（5分）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为E：x2+y2＝7，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（）A．椭圆C的离心率为 B．M到C的右焦点的距离的最大值为 C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，则 D．△MPQ面积的最大值为【解答】解：∵椭圆的蒙日圆为E：x2+y2＝7，根据蒙日圆的定义，4+m＝7，得m＝3，∴椭圆，a2＝4，b2＝3，则c2＝1，∴椭圆的离心率，故A正确；点M是圆E：x2+y2＝7上的动点，椭圆的右焦点F（1，0），则|MF|的最大值是，故B正确；根据蒙日圆的定义可知MP⊥MQ，则PQ为圆E的直径，PQ与椭圆交于两点A，B，点A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），N（x0，y0），，故C正确；D因为PQ为圆的直径，，当点M到直线PQ的距离为时，△PQM的面积最大，此时最大值是，故D错误．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（1）＝9，对任意实数x1，x2都有，若an＝f（n），则{an}中的最大项为（）A．a9 B．a10 C．a8和a9 D．a9和a10【解答】解：根据题意可得，可得∴，令x1＝n，x2＝1，而f（1）＝9，可得，∴，∴∴数列是以首项为，公差d＝10的等差数列，∴，∴，∴，∴当n≤8时，an+1＞an；当n＝9时，an+1＝an；当n≥10时，an+1＜an，∴{an}中最大项为a9和a10，故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．（多选）9．（5分）下列有关数列的说法正确的是（）A．数列﹣2021，0，4与数列4，0，﹣2021是同一个数列 B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项 C．在数列中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，⋯的通项公式为【解答】解：对于选项A，数列﹣2021，0，4与4，0，﹣2021中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以选项A不正确；对于选项B，令，解得n＝10或n＝﹣11（舍去），所以选项B正确；对于选项C，根号里面的数是公差为1的等差数列，第8个数为，即，所以选项C正确；对于选项D，由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知通项公式为an＝2n+1，所以选项D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn}，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，下列说法正确的是（）A．T2022＝1348 B．若Tn＝2022，则n＝3033 C．S1000＝a1002﹣1 D．a12+a22+a32+⋯+a5002＝a500a501【解答】解：根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，所以数列{bn}为1，1，0，1，1，0，⋯，则数列{bn}为周期数列，且周期为3，所以T2022＝（1+1+0）×674＝1348，所以A正确．因为2022＝（1+1+0）×1011，1011×3＝3033，且b3031＝1，b3032＝1，b3033＝0，所以n＝3033或n＝3032，所以B错误．因为S1000＝a1+a2+⋯+a999+a1000＝a3﹣a2+a4﹣a3+⋯+a1001﹣a1000+a1002﹣a1001＝a1002﹣a2＝a1002﹣1，所以C正确.，所以D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）已知圆M：（x+1）2+（y+1）2＝4，直线l：x+y﹣2＝0，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4 B．线段AB的最小值为 C．当直线AB的方程为x+y＝0时，∠APB最小 D．若动直线l1∥l，l1且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线l1横截距的取值范围为【解答】解：圆M：（x+1）2+（y+1）2＝4的圆心M（﹣1，﹣1），半径为r＝2，可知|MA|＝|MB|＝2，PA⊥AM，，SMAPB＝2S△APM，当|PM|取最小值时，四边形MAPB面积取得最小值，此时，所以四边形MAPB面积的最小值为，故A正确；又圆心M（﹣1，﹣1）到直线l的距离，所以当SMAPB取得最小值时，，可得，故|AB|最小值，故B正确；当直线AB的方程为x+y＝0时，kAB＝﹣1，kOM＝1，则kAB⋅kOM＝﹣1，所以直线AB与直线OM垂直，又O是AB中点，|MA|＝|MB|＝2，，所以，则|MA|2+|MB|2＝|AB|2，所以MA⊥MB，易得四边形MAPB是正方形，此时∠APB＝90°，而当|PM|＝4时，直角三角形中，∠APM＝30°，∠APB＝60°＜90°，故C错误；设M到直线l1的距离为d1，因为，且，所以，则，设l1：x+y+m＝0，所以，即，解得，故直线l1的横截距﹣m的取值范围为，故D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8 B．|MF|+2|NF|的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为 D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为【解答】解：由题意得点（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以，当时，|MN|＝16，故A错误；，则，当且仅当时等号成立，故B正确；如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，则MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，所以，所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为，又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为，又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为，故C正确；过G作GH垂直于准线，垂足为H，所以ΔGFM的周长为，当且仅当点M的坐标为（1，2）时取等号，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围为．【解答】解：kPAkPB∵l与线段AB相交，∴kpA≤k≤kpB∴﹣1≤k≤1∴0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0由于y＝tanx在[0，）及（，0）均为减函数∴直线l的倾斜角α的范围为：故答案为：14．（5分）已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝﹣n2+2n+m，则实数m的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：①当n＝1时，，②当n≥2时，，an+1﹣an＝[﹣2（n+1）+3]﹣（﹣2n+3）＝﹣2＜0，∴当n≥2时，an+1＜an，数列{an}递减，综上所述，若使{an}为递减数列，只需满足a2＜a1，即﹣2×2+3＜1+m，解得m＞﹣2，故答案为：（﹣2，+∞）．15．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是．【解答】解：不妨设F1为下焦点，F2为上焦点，延长BI交AF2于D，如图：分别记△ABF2，△IF2B，△IF2A，△IAB面积为S，S1，S2，S3，以，为基底表示，又B，I，D三点共线，，，∴，由内心的性质知，S1：S2：S3＝BF2：AF2：AB＝3：5：6，不妨令BF2＝6，AF2＝10，AB＝12，由椭圆的第一定义4a＝28⇒a＝7，且BF1＝8，在△ABF2中，余弦定理得，∴，∴，∴，∴，．故答案为：．16．（5分）如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足AB⊥AD，CB⊥CD，，若点A，C分别为椭圆E：（b＞0）的上、下顶点，点B在椭圆E上，点D不在椭圆E上，则椭圆E的焦距为4．【解答】解：由题意得A（0，b），C（0，﹣b），设B（x1，y1），D（x2，y2），连接BD，如图所示：∵AB⊥AD，CB⊥CD，∴A，B，C，D在以BD为直径的圆M上，且∠ABC+∠ADC＝π，又原点O为圆M的弦AC的中点，则圆心在AC的垂直平分线上，即在x轴上，则y1+y2＝0，又，则，∵∠ABC+∠ADC＝π，∴cos∠ABC+cos∠ADC＝0，∴，当cos∠ADC≠0时，则0，若cos∠ADC＝0时，则四边形ABCD为矩形，则点D也在椭圆E上，与点D不在椭圆E上矛盾，∴S△ABC＝2S△ADC，∴x1＝﹣2x2，故圆M的圆心坐标为，∴圆M的方程为，将（0，b）代入得，又，解得b2＝4，故椭圆E的焦距为，故答案为：4．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．半径为3的圆C过点A（1，﹣1），圆心C在直线y＝2x上且圆心在第一象限．（1）求圆C的方程；（2）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程．【解答】解：（1）∵圆心C在直线y＝2x上且圆心在第一象限，∴可设圆心为C（a，2a）（a＞0），∵半径为3的圆C过点A（1，﹣1），∴，解得a＝1，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9；（2）∵（4﹣1）2+（3﹣2）2＞9，∴点（4，3）在圆外，①切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，圆心到直线的距离为d＝4﹣1＝3＝r，满足条件，②切线斜率存在时，设切线l：y﹣3＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+3＝0，则圆心到切线的距离，解得，则切线的方程为4x+3y﹣25＝0，综上所述，切线的方程为x﹣4＝0或4x+3y﹣25＝0．18．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2+4y2＝4的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式．（1）求线段AB的长度；（2）求顶点C的轨迹方程．【解答】解：（1）∵椭圆的方程为x2+4y2＝4，∴椭圆的方程为，∴a＝2，b＝1，，∵A，B分别为椭圆的左焦点和右焦点，∴，∴，∴线段AB的长度；（2）△ABC中根据正弦定理得：（R为△ABC外接圆半径），∴，∵，∴，∴．∴C点的轨迹是以A，B为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，设该双曲线方程为则，∴，∴顶点C的轨迹方程为．19．已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）an＝3n．（1）求an；（2）若对任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝3；当n≥2时，a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣3）an﹣1＝3n﹣1，又a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣3）an﹣1+（2n﹣1）an＝3n，上述两式作差可得（2n﹣1）an＝3n﹣3n﹣1＝2•3n﹣1，即an，a1＝3不满足an，所以an；（2）当n≥2时，an+1﹣an0，即an+1＞an，所以，数列{an}从第二项开始为递增数列，对任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，①若n为正奇数，则an≥﹣λ，∵a1＝3＜a3a5＜…，则﹣λ≤3，可得λ≥﹣3；②若n为正偶数，则an≥2，可得λ≤a2＝2．综上所述，﹣3≤λ≤2．20．如图，已知点A，B，C是抛物线x2＝y上的三个不同的点，且△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直线BC的斜率为1，求顶点B的坐标；（Ⅱ）求三角形ABC的面积的最小值．【解答】解：（1）∵直线BC的斜率为1，∴直线BC的倾斜角为45°，即∠CBx＝45°，又△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°＝∠CBx，∴直线AC与x轴平行，由抛物线的对称性知，点B为原点，∴B（0，0）．（2）由对称性知，不妨设点B在y轴的右侧（包括y轴），且A（x1，y1），C（x2，y2），B（t，t2），则x1＜0＜t＜x2，设直线BC的斜率为k（k＞0），则直线AB的斜率为，∴直线BC的方程为y﹣t2＝k（x﹣t），联立，得x2﹣kx+kt﹣t2＝0，∴x2+t＝k，x2•t＝kt﹣t2，∴|BC|•（x2﹣t）•（k﹣2t），同理可得，|AB|•|2t|•（2t），∵|AB|＝|BC|，∴•（2t）•（k﹣2t），化简可得，t，∴△ABC的面积S|AB|•|BC|