八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题提高题检测试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题提高题检测试卷

一、选择题

1.如图，已知平行四边形ABC。，AB=6,BC=9,NA=12（）。，点P是边A3上一

动点，作尸£，BC于点E，作ZEPF=120。（PE在PE右边）且始终保持

C.3屈＜机＜9+3bD.3百+3S＜加＜3b+9

2.已知在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NBCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD

边的中点，连结BF、DE交于点P,连结CP并延长交AB于点Q,连结AF,则下列结论不

A.CP平分NBCDB.四边形ABED为平行四边形

C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分D.4ABF为等腰三角形

3.如图，正方形ABCD的周长是16,P是对角线AC上的个动点，E是CD的中点，则

PE+PD的最小值为（）

4.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,且AD＞BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别从A、C同时出

发,P以lcm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动，多少s时直线将四边

形ABCD截出一个平行四边形（）

BQ

A一PD

A.1B.2C.3D.2或3

5.如图，在正方形A8CD中，点G是对角线AC上一点，且CG=CB,连接8G,取8G上任

意一点H,分别作于点M,HNLBC于点N,若正方形的边长为2,则HM+HN的

值为（）

C.石V2

6.如图，正方形ABC。的边长为5,AG=CH=4,BG=DH=3,连接G”，则线

段G”的长为（）

C.V2D.5-V2

7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，CE平分ZDC3交BD于点F,

且NABC=60°,AB^IBC,连接。E,下列结论：①乙48=30。；

②SYA56=AC8C；③OE：AC=1:4・其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.如图，菱形ABC。中，过顶点。作CELBC交对角线于E点，已知

NA=134°,则N3EC的大小为（）

A

A.23°B.28°C.62°D.67°

9.如图，在ABC中，NACB=90°,4C=BC=2,D是AB的中点，点E在AC

上，点F在BC上，且AE=CF,给出以下四个结论：（1）DE=DF;（2）DEF是

等腰直角三角形；（3）四边形CEDF面积=；SOBC；"）EF?的最小值为2.其中正确

的有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.如图，在菱形A8C。中，AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重

合），且AE=DF,连接8F与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点儿给出如下几个结

苗

论：①△AED也△DFB：②GC平分N8GD；③S四边彩BCDG=幺CG?；④NBGE的大小为定

4

值.其中正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.如图，在等边A6c和等边DE尸中,在直线AC上，BC=30£：=3,连接

BD,BE,则BD+BE的最小值是.

12.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中线；④NEAM=NABC.其中正确的是.

BHC

13.如图，菱形ABC。的边长是4,NABC=60°,点E，F分别是AB，边上的

动点（不与点A，B,C重合），且BE=BF，若EGHBC，FG//AB,EG与FG相

交于点G,当AOG为等腰三角形时，8E的长为.

14.如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E为BC上一点，AE交BD于F,若AB=AE,

/EAD=2ZBAE，则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正确的是（填

序号）.

15.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E,若NCBF=20。，则

/AED等于一度.

B----------------&

16.如图，正方形ABCD的边长为4,点E为AD的延长线上一点，且DE=DC,点P为边

AD上一动点，且PC_LPG,PG=PC,点F为EG的中点.当点P从D点运动到A点时，则

CF的最小值为

17.如图，在ABC中，。是AB上任意一点，E是8c的中点，过C作C77/4B,交DE的

延长线于F,连BF,CD,若5>8=30。，ZABC=45°,BC=242>贝U

DF=.

18.已知：如图，在A5。中，ADA.BC,垂足为点。，BEA.AC，垂足为点E，

M为AB边的中点，连结ME、MD、ED，设AB=4，NO4C=30。则

EM=；EDM的面积为,

19.如图，在四边形ABCD中，4)//3。,人。=5,3。=18,«是8。的中点.点P以每秒

1个单位长度的速度从点A出发，沿向点。运动;点。同时以每秒3个单位长度的速度

从点。出发，沿CB向点3运动.点P停止运动时，点。也随之停止运动，当运动时间为

，秒时，以点P,Q,E,。为顶点的四边形是平行四边形，贝"的值等于.

20.如图所示，已知A8=6,点C,。在线段A8上，AC=D8=1,P是线段CD上的动

点，分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边△4EP和等边△PFB,连接EF,设EF的中

点为G,当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是.

21.已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABC。所在平面内一动点（不与点。重

合），AB=AE,过点B作。E的垂线交DE所在直线于F,连接CF.

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重

合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：_；

（2）然后考察点£的一般位置，分两种情况：

情况1:当点E是正方形A8CD内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如

果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请

说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：

22.如图1,AA8C是以NACB为直角的直角三角形，分别以A8，BC为边向外作正方

形ABEG，BCED,连结AO，CF,AO与CF交于点M，ABHCF交于点、N.

EE

(1)求证：MBDv^FBC；

(2)如图2,在图1基础上连接A尸和ED，若A£>=6,求四边形ACD产的面积.

23.在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结

论：如图1,四边形A8CO的对角线AC与8。相交于点。，AC1BD,则

AB2+CD2=AD2+BC2.

(2)根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2,分别以RrACB的直角边

4C和斜边A8为边向外作正ACFG和正方形ABOE，连结CE、BG、GE.已知

AC=4,AB=5,求GE的长，请你帮助小明解决这一问题.

24.综合与探究

如图1,在AABC中,ZACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AO,以A£>为一边且在AD

的右侧作正方形解答下列问题：

(1)研究发现:如果AB=AC,N1%C=90°

①如图2,当点。在线段BC上时(与点5不重合)，线段CF、之间的数量关系为

，位置关系为.

②如图3,当点。在线段8c的延长线上时，①中的结论是否仍成立并说明理由.

(2)拓展发现:如果ABwAC,点力在线段BC上,点尸在A4BC的外部，则当

ZACB=时,CFLBD.

图1图2图3

25.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60°,连接CF.

（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，

®ZBCF="；

②BC,CD,CF之间数量关系为.

（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否

仍然成立？请说明理由.

（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若AB=6,

CD=^BC,请直接写出的长及菱形ADEF的面积.

图（2）图（3）

26.如图，在菱形ABCD中，AB=2cm,ZADC=120°.动点E、F分别从点B、D同时出

发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE,分别取AF、CE的中点G、H.设

运动的时间为ts（0<t<4）.

（1）求证：AFIICE；

（2）当t为何值时，ZkADF的面积为也cm2：

2

（3）连接GE、FH.当t为何值时，四边形EHFG为菱形.

(1)如图1,在正方形ABC。中，E是A3上一点，尸是AZ)延长线上一点，且

DF=BE.CE和。尸之间有怎样的关系.请说明理由.

(2)如图2,在正方形ABCD中，E是A6上一点，G是A£>上一点，如果

ZGCE=45°,请你利用(1)的结论证明：GE^BE+CD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABC。

中，AD//BC(BC>AD),ZB=90°,AB=3C=12,E是A6上一点，且

/DCE=45°,BE=4,求。E的长.

图1图2图3

28.已知正方形ABCD.

(1)点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧，ZAPB=45°.

①如图(1),若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形.

②如图(2),若点P在直线AD和BC之间，以AP,AD为邻边作。连结AQ.求

NPAQ的度数.

(2)如图(3),点F在正方形ABCD内且满足BC=CF,连接BF并延长交AD边于点E,过

1

点E作EHJ_AD交CF于点H,若EH=3,FH=1,当停=耳时.请直接写出HC的长

29.在矩形ABCD中，连结AC,点E从点8出发，以每秒1个单位的速度沿着BfA

的路径运动，运动时间为f(秒).以鹿为边在矩形ABC。的内部作正方形8E//G.

(1)如图，当ABC0为正方形且点”在AABC的内部，连结AH,C〃，求证：

AH=CH；

(2)经过点E且把矩形ABC。面积平分的直线有条；

(3)当AB=9,8C=12时，若直线A"将矩形ABC。的面积分成1：3两部分，求f的

值.

30.如图，在矩形A8CO中，AB=a,8C=力，点/在。。的延长线上，点E在AO

上，且有NC8E=，NABb.

2

(1)如图1,当。=匕时，若NCBE=60°,求证：BE=BF；

3

(2)如图2,当/?=-“时，

2

①请直接写出ZABE与NBFC的数量关系：；

②当点E是AO中点时，求证：CF+BF=2a；

③在②的条件下，请直接写出5位：S矩形ABCD的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析:D

【解析】

【分析】

设PE=x,则PB=^x,PF=36x,AP=6-空x,由此先判断出AF_LPR,然后可分

33

析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大.从而求出m

的取值范围.

【详解】

NBPE=30°,Z£PF=120°

ZAPE=30°

由AP、PF的数量关系可知A/_LPE，ZPAF=60')

如上图，作/84"=60°交8(2于乂，所以点F在AM上.

当点P与点B重合时，CF+DF最小.此时可求得CF=3瓜DF=3s

如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大.此时可求得CF=3J7,OR=9

3百+3救〈加＜3e+9

故选：D

【点睛】

此题考查几何图形动点问题，判断出A/_LPE，然后可分析出当点P与点B重合时，

CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

A.根据边角边”证明△BCF^ADCE,然后利用"角边角"证明△BEP@ADFP,再利用"边角边"

证明△BCPm4DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得NBCP=NDCP；

B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；

C.连接QD,利用"边角边"证明△8CQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出

5A8CQ=5AOCQ,判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等.

D.根据平行四边形的对边相等可得A8=DE,再求出AB=8F,从而得到△A8F为等腰三角

形；

【详解】

解：•.•BC=CD,E、F分别是BC、8边的中点，

BE=CE=CF=DF,

在^BCF^ADCE中，

|BC=DC

J/BCF=4£)CE=9O°

ICE=CF

：./\BCF^/\DCE(SAS),

：.DE=BF,NCBF=NCDE,NBFC=NDEC,

：.180°-ZBFC^1800-ZDEC,

即/BEP=NDFP,

在ABEP和△DFP中，

\LCBF=Z.CDE

jBE=DF

:.△BEPWADFP(ASA),

,BP=DP,

在48。。和4DCP中，

IBP=DP

\ACBF=Z.CDE

IBC=CD'

.♦.△BCP丝△DCP(SAS),

:.NBCP=NDCP,

；.CP平分N8CD,故A选项结论正确；

•：BC^2AD,E是BC的中点，

：.BE=AD,

又：AO〃BC,

...四边形A8ED为平行四边形，故8选项结论正确；

：.AB=DE,

又•：DE=BF(己证),

：.AE=BF,

•♦.△ABF为等腰三角形，故。选项结论正确；

连接QD,

D

BEC

在^BCQ和小DCQ中，

IBC=CD

\ABCP=Z-DCP

ICQ=CQ，

.".△BCQ^ADCQ(SAS),

/•SABCQ=SADCQ,

ACQ将直角梯形A8CD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形

的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角

形全等.

3.A

解析：A

【解析】

【分析】

由于点B与D关于AC对称，所以连接BE,与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最

小，而BE是直角4CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.

【详解】

解：如图，连接BE,设BE与AC交于点P,

•.•四边形ABCD是正方形，

.•.点B与D关于AC对称，

.•.P'D=P'B,

二P'D+P'E=P,B+P'E=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.

直角4CBE中，ZBCE=90°,BC=4,CE」CD=2,

2

BE742s=2后

故选：A.

【点睛】

本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问

题的重要方法，找出P点位置是解题的关键

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-

2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ或CQ=PD,计算即可求出t值.

【详解】

根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形

则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t

要使构成平行四边形

则:AP=BQ或CQ=PD

进而可得：t=6-2t或力=9一「

解得/=2或「=3

故选D.

【点睛】

本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即

可.

5.A

解析：A

【分析】

连接,过G点作GPJ_BC于点P,根据S帖HC+SXGHC=SABCG将HM+HN转化为GP

的长，再由等腰直角三角形的性质进行求解即可得解.

【详解】

连接CH,过G点作GP_L8c于点P,如下图所示：

由题可知：S1MBe=—BCxHN,S.HGC=—GCxHM,S.BGC=—BCxGP

**S即HC+S^GHC=S即CG

：.-BCxHN+-GCxHM=-BCxGP

222

VCG=CB,

/.HN+HM=GP

•・•四边形A8CD是正方形，正方形的边长为2

.•.Z5c4=45。，AC=2y/2

；•CB=CG=®AC=2

2

•：GP^,BC

：.AGPC是等腰直角三角形

•••GP=—CG=yf2

2

•••HN+HM=y/2，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角形的面积求法，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握

相关知识点是解决本题的关键.

6.C

解析：C

【分析】

延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明4ABGg/XCDH丝ABCE,可得GE=BE-

BG=1,HE=CH-CE=1,ZHEG=90°,由勾股定理可得GH的长.

【详解】

解：如图，延长BG交CH于点E,

在4ABG和ACDH中,

AB=CD

<AG=CH,

BG=DH

.,.△ABG^ACDH(SSS),

AG2+BG2=AB2,

：.Z1=Z5,Z2=Z6,NAGB=NCHD=90°,

.".Zl+Z2=90°,Z5+Z6=90",

XVZ2+Z3=90°,Z4+Z5=90°,

AZ1=Z3=Z5,N2=N4=N6,

在AABG和ABCE中，

-Z1=Z3

<AB=BC,

Z2=Z4

.".△ABG^ABCE(ASA),

，BE=AG=4,CE=BG=3,ZBEC=ZAGB=90°,

；.GE=BE-BG=4-3=1,

同理可得：HE=1,

在RtAGHE中，GH=ylGE2+EH2=Vl2+12=V2>

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运

用，通过证三角形全等得出4GHE为等腰直角三角形是解题的关键.

7.C

解析：C

【分析】

由四边形ABCD是平行四边形，得到/ABC=NADC=60°,ZBAD=120°,根据角平分

线的定义得到/DCE=/BCE=60°推出4CBE是等边三角形，证得/ACB=90°,求出

ZACD=ZCAB=30°,故①正确；由AC_LBC,得到S-ABCD=AC・BC,故②正确，根据直

角三角形的性质得到AC=6BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=」BC,于是得

2

到OE：AC=+：6；故③错误；

【详解】

解：...四边形ABCD是平行四边形，

.•.ZABC=ZAT)C=60。，/BCD=120。

：CE平分/BCD交AB于点E,

：.4DCE=/BCE=0。,

：.△CBE是等边三角形，

BE=BC—CE.

・・・AB=2BC,

AE—BE=CE，

：.ZACfi=90°,

AZACD=ZCAB=3Q°,故①正确；

■:ACIBC,

-SABCD=AC-BC,故②正确；

在RtaACB中，ZACB=90°,NC4B=30°,

AC=6BC.

AO=OC,AE=BE，

AOE=-BC,

2

：.OE：AC=LBC：6BC=®.6,故③错误.

2

故选：c.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质.注意

证得4BCE是等边三角形，0E是AABC的中位线是关键.

8.D

解析：D

【分析】

先说明ABD=NADC=NCBD,然后再利用三角形内角和180°求出即可NCBD度数，最后再

用直角三角形的内角和定理解答即可.

【详解】

解：•菱形ABCD

；.AB=AD

AZABD=ZADC

.,.ZABD=ZCBD

又：NA=134°

ZCBD=ZBDC=ZABD=ZADB=；(180°-134o)=23°

ZBEC=90Q-23°=67°

故答案为D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内

角和定理.

9.A

解析：A

【分析】

根据等腰三角形的性质，可得到：CD1AB,从而证明ADE丝CDF且

ZADC=90°,即证明DE「和DEF是等腰直角三角形，以及四边形CEDF面积

=-SAABC；再根据勾股定理求得EF,即可得到答案•

【详解】

•••/ACB=90。，AC=BC=2

AB=<2,+2,=25/2

ZA=ZB=45°

•.,点D是AB的中点

/.CD_LAB，且AD=BD=CD=—AB=\p2

2

：.^DCB=45°

NA=^DCF,

在ADE和CDF中

AD=CD

<NA=ZDCF

AE=CF

Z.ADE@CDF(SAS)

；.DE=DF,NADE=/CDF

CD±AB

ZADC=90°

，ADF=ADC+NCDF=^EDC+NADE=NADC=90°

；•DEF是等腰直角三角形

ADE丝CDF

/.ADE和CDF的面积相等

：D为AB中点

・・・AOC的面积='ABC的面积

2

**•四边形CEDE面积=VCDlyF1LE-LD/VC+SADE=S/AALD/XC--=—cSrXDK--；

当£>EJ_AC,。尸_LBC时，EF?值最小

根据勾股定理得：EF?=DE2+DF2

此时四边形CEDF是正方形

即EF=CD=V^

,EF2=(V2)2=2

正确的个数是4个

故选：A.

【点睛】

本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关

键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解.

10.D

解析：D

【分析】

①先证明AABD为等边三角形，根据“SAS”证明4AED四△DFB;

②证明/BGE=60。=/BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆，因此NBGC=NDGC=60。；

③过点C作CM1GB于M,CN1GD于N.证明△CBMg^CDN,所以S四.BCDG=S明彩响易求后者

的面积；

(4)ZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°,故为定值.

【详解】

解：①...ABCD为菱形，

，AB=AD,

：AB=BD,

/.△ABD为等边三角形,

，/A=/BDF=60。

又•.•AE=DF,AD=BD,

.,.△AED^ADFB(SAS),

故本选项正确；

②：ZBGE=ZBDG+ZDBF=NBDG+NGDF=60。=ZBCD,

即/BGD+NBCD=180。，

.,.点B、C、D、G四点共圆，

ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°,

...NBGC=NDGC=60°,

故本选项正确；

③过点C作CM_LGB于M,CN，GD于N(如图)，

则△CBM0ZXCDN(AAS),

Spqia®BCDG-SWii®CMGN

SHa®CMOS—2SAC«G,

VZCGM=60°,

.,.GM=—CG,CM=—CG,

22

•,•S四边彩CMG=2SACNG=2X—X—CGX2^CG=-^-CG~,

2224

故本选项正确；

④：NBGE=NBDG+/DBF=NBDG+/GDF=60°,为定值,

故本选项正确；

综上所述,正确的结论有①②③④，

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是

掌握菱形的性质.

二、填空题

11.737

【分析】

如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,

DW,过点W作WKJ_BC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求

DT+DW的最小值.

【详解】

解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接

TW,DW,过点W作WKJ.BC交BC的延长线于K.

,/△ABC,Z\DEF都是等边三角形，BC=3DE=3,

；.BC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60",

；.DE〃TC,

VDE=BT=1,

四边形DEBT是平行四边形，

；.BE=DT,

；.BD+BE=BD+AD,

VB,W关于直线AC对称，

，CB=CW=3,ZACW=ZACB=60",DB=DW,

.".ZWCK=60",

VWK±CK,

/K=90°,NCWK=30°,

13r3J3

，CK=—CW=-,WK=j3CK=^i,

222

，DB+BE=DB+DT=DW+DT2TW,

.\BD+BE>^7,

ABD+BE的最小值为,

故答案为历.

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.①②③④

【分析】

根据正方形的性质和SAS可证明△ABGgZiAEC,然后根据全等三角形的性质即可判断①；

设8G、CE相交于点MAC、BG相交于点K,如图1,根据全等三角形对应角相等可得

ZACE^ZAGB,然后根据三角形的内角和定理可得/CA/G=NCAG=90。，于是可判断②；

过点E作EP_LHA的延长线于P,过点G作GQJ_AM于Q,如图2,根据余角的性质即可判

断④；利用AAS即可证明丝ZXEAP,可得EP=AH,同理可证GQ=AH,从而得到EP

=GQ,再利用AAS可证明△EPMgaGQM,可得EM=GM,从而可判断③，于是可得答

案.

【详解】

解：SABDEACFG,AB=AE,AC=AG,ZBAE=ZCAG=90°,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAG+ZBAC,

即/CAE=N8AG,

；./\ABG注"EC(SAS),

：.BG=CE,故①正确；

设8G、CE相交于点MAC,8G相交于点K,如图1,

BH

图1

/\ABG^/\AEC,

：.NACE=ZAGB,

"：NAKG=NNKC,

/CNG=/CAG=90°,

：.BG±CE,故②正确；

过点E作EPA.HA的延长线于P,过点G作GQ1AM于Q,如图2,

图2

'：AH1BC,

：.ZABH+ZBAH=90°,

ZBAE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=90°,

：.ZABH=ZEAP,即NEA/W=NA8C,故④正确；

VZAHB=ZP=90°,AB=AE,

：./\ABH^/\EAP(A4S),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

•.•在和△GQM中，

"NP=NMQG=90。

<ZEMP=NGMQ,

EP=GQ

.♦.△EPM丝△GQM(AAS),

：.EM=GM,

是aAEG的中线，故③正确.

综上所述，①②③④结论都正确.

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线

构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键.

13.-或4-&G

33

【分析】

连接AC交BD于。，由菱形的性质可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,

AO-CO,可证四边形BEGF是菱形，可得/ABG=30°,可得点B,点G,点D三点共线，由

直角三角形性质可求BD=4jj,AC=4,分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.

【详解】

如图，连接AC交BD于。，

AAB=BC=4,ZABD=30°,AC±BD,BO=DO,AO=CO,

VEG/7BC,FG//AB,

・・・四边形BEGF是平行四边形，

又・.・BE=BF,

・・・四边形BEGF是菱形，

/.ZABG=30°,

・二点B,点G,点D三点共线，

VAC1BD,ZABD=30°,

­■•A0=1AB=2，B0=yjAB2-AO2=A/42-22=26，

，BD=4百，AC=4,

BG

同理可求BG=GBE,即BE=

若AD=DG,=4时，

.,.BG'=BD-DG'=4^-4，

4G-4.473

••BE=----=—=4------------;

A/33

若AG"=G"D时,过点G"作G"H±AD于H,

；.AH=HD=2,

•.•/ADB=30°,G"H±AD,

.".DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2,

解得：HG”=^^,DG''=2HG''=^^

33

BG"=BD-DG"=4后-,

33

8

.,.BE"=-,

3

综上所述：BE为»或4-逑.

33

【点睛】

本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论

思想解决问题是本题的关键.

14.②③

【分析】

根据菱形的性质可知AC_LBD,所以在RtaAFP中，AF一定大于AP,从而判断①；设

ZBAE=x,然后根据等腰三角形两底角相等表示出NABE,再根据菱形的邻角互补求出

NABE,根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度数，从而

判断②③.

【详解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

...在Rt^AFP中，AF一定大于AP,故①错误；

•..四边形ABCD是菱形，

；.AD〃BC,

ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

设/BAE=x°,

则/EAD=2x°,ZABE=180°-x°-2xo,

：AB=AE,NBAE=x",

，NABE=/AEB=180°-x°-2x°,

由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

即NBAE=36°,

ZBAE=180°-36°-2x36°=70°,

•..四边形ABCD是菱形，

AZBAD=ZCBD=—NABE=36°,

2

，/BFE=/ABD+NBAE=36°+36°=72°,

/BEF=180°-36°-72°=72°,

，BE=BF=AF.故③正确

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x°=72°

•\ZAFD=ZEAD

；.AD=FD

又：AD=AB=AE

，AE=FD,故②正确

,正确的有②③

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于/BAE的方程是解题

的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角.

15.65

【分析】

先由正方形的性质得到NABF的角度，从而得到/AEB的大小，再证4AEB丝AAED,得到

ZAED的大小

【详解】

•.•四边形ABCD是正方形

AZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90°,AB=AD

VZFBC=20°,.*.ABF=70o

.•.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE与AADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE^AE

/.△ABE^AADE

ZAED=ZAEB=65°

故答案为：65°

【点睛】

本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出

ZAEB的大小.

16.272

【分析】

由正方形ABCD的边长为4,得出AB=BC=4,ZB=90°,得出AC=4五，当P与D重合

时，PC=ED=PA,即G与A重合，则EG的中点为D,即F与D重合，当点P从D点运动到

A点时，则点F运动的路径为DF,由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是4EAG

的中位线，证得NFDA=45°,则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF_LDF,此时CF最

小，止匕时CF=；AG=20.

【详解】

解：连接FD

正方形ABCD的边长为4,

，AB=BC=4,/B=90°,

»•AC=4>/2，

当P与D重合时，PC=ED=PA,即G与A重合，

，EG的中点为D,即F与D重合，

当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF,

是AE的中点，F是EG的中点，

ADF是ZkEAG的中位线，

；.DF〃AG,

VZCAG=90°,ZCAB=45°,

AZBAG=45°,

.,.ZEAG=135°,

AZEDF=135°,

AZFDA=45°,

，F为正方形ABCD的对角线的交点，CF_LDF,

此时CF最小，

此时CF=3AG=2及；

故答案为：2行.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键.

17.4

【分析】

证明CF〃DB,CF=DB,可得四边形CDBF是平行四边形，作EMLDB于点M,解直角三角

形即可.

【详解】

解：：CF〃AB,

ZECF=ZEBD.

VE是BC中点，

.\CE=BE.

VZCEF=ZBED,

.,.△CEF^ABED(ASA).

，CF=BD.

二四边形CDBF是平行四边形.

作EM±DB于点M,

:四边形CDBF是平行四边形，BC=2尬,

.,.BE=-BC=V2,DF=2DE,

2

在RtAEMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM

在RtAEMD中，

VZEDM=30",

，DE=2EM=2,

r.DF=2DE=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30

度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，

18.26

【分析】

根据EM是Rt^ABE斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可

求出EM的长；根据已知条件推导出是等边三角形，且边长为2,进一步计算即

可得解.

【详解】

解：VADLBC,M为A3边的中点，4?=4

...在RtAAB。中，DM=AM^-AB^-x4=2

22

同理，在RtAABE中,EM=AM=—AB=—x4=2

22

AZMDA=ZMAD，ZMEA^ZMAE

,**ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE,ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

，ZDME=ABME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

^2ADAC

=60°

;DM=EM

•••DME是等边三角形,且边长为2

SEDM=5x2x百=6

故答案是：2；百

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角

形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提.

19.2或3.5

【分析】

分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案.

【详解】

1

BE=CE=-BC=9,

2

①当Q运动到E和B之间，则得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②当Q运动到E和C之间，则得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.

【点睛】

“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质.解题时注意掌握辅助线的

作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

20.2

【分析】

分别延长AE,BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则

G的运动轨迹为AHCD的中位线MN,再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长

度即可.

【详解】

解：如图，分别延长AE,BF交于点H,

；NA=/FPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60\

ABHIIPE

...四边形EPFH为平行四边形，

；.EF与HP互相平分，

:点G为EF的中点，

，点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，

AG的运动轨迹为AHCD的中位线MN,

VCD=6-1-1=4,

AMN=-CD=2,

2

，点G移动路径的长是2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得

出G的运动轨迹为aHCD的中位线MN.

三、解答题

21.⑴DE=OCF；(2)在情况1与情况2下都相同，详见解析；⑶AF+CF=

插DF或\AF-CF\=ODF

【分析】

(1)易证ABCD是等腰直角三角形，得出DB=QCB,即可得出结果；

(2)情况1：过点C作CG_LCF,交DF于G,设BC交DF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，FG=0CF,连接BE,

设NCDG=a,则/CBF=a,ZDEA=ZADE=90°-a,求出NDAE=2a,则NEAB=90--2a,

ZBEA=ZABE=—(180°-ZEAB)=45°+a,/CBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ZkBEF是等腰

2

直角三角形，则EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=0CF；

情况2：过点C作CG_LCF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,由ASA证得

△CDG丝△CBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，得FG=QCF,设

ZCDG=a,则/CBF=a,证明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=0CF；

(3)①当F在BC的右侧时，作HDLDF交FA延长线于H,由(2)得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得4ABF丝z\AEF,得出/EFA=NBFA=工/BFE=45°,则4HDF是等腰

2

直角三角形，得HF=0DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS证得AHDA丝△FDC