新教材选择性6.1空间向量及其运算课件（24张）

6.1空间向量及其运算6.1.1空间向量的线性运算6.1.2空间向量的数量积6.1.3共面向量定理1.掌握空间向量的线性运算.2.掌握空间向量的数量积及其运算律,并能应用空间向量的数量积解决立体几何

问题.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件,并能应用其证明空间向量的

共线、共面问题.

空间向量的线性运算

与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为(如图所示):

=

+

=a+b,

=

-

=a-b,

=λa(λ∈R).

(1)a+b=①

b+a

;(2)(a+b)+c=②

a+(b+c)

;(3)λ(a+b)=③

λa+λb

(λ∈R).对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使④

b=λa

.

空间向量的数量积

如图,a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作

=a,

=b,∠AOB=θ(⑤

0≤θ≤π

)叫作向量a与向量b的夹角,记作<a,b>.

根据两个向量夹角的定义,知<a,b>=<b,a>.如果<a,b>=0,那么向量a与b⑥

同向

;如果<a,b>=π,那么向量a与b⑦

反向

;如果<a,b>=

,那么称a与b互相垂直,并记作a⊥b.(1)设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|cos<a,b>叫作向量a,b的数量积,记

作a·b,即⑧

a·b=|a||b|·cos<a,b>

.规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个常用结论①a⊥b⇔⑨

a·b=0

;②|a|2=a·a=a2.(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);(3)(a+b)·c=⑩

a·c+b·c

.(1)向量在另一向量上的投影向量对于空间任意两个非零向量a,b,设向量

=a,

=b(如图),过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上述由向量a得到向量

的变换称为向量a向向量b投影,向量

称为向量a在向量b上的投影向量.

与平面向量的情形类似,a·b=

·b,即向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.(2)向量在某一平面上的投影向量如图,设向量m=

,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量

.我们将上述由向量m得到向量

的变换称为向量m向平面α投影,向量

称为向量m在平面α上的投影向量.

对于平面α内的任一向量n,有m·n=

·n,也就是说,空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积.

向量.如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组

(x,y),使得

p=xa+yb

.已知

,

,

不共面,若

=x

+y

+z

,且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面.共面向量定理

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.空间中任意两个单位向量必相等.

(

✕)任意两个单位向量的模相等,但方向不一定相同,故不一定相等.ABCD-A1B1C1D1中,

+

+

=

.

(√)因为

=

,所以

+

+

=

+

+

=

.ABCD-A1B1C1D1中,<

,

>=

.

(

✕)易知△AB1D1是等边三角形,所以<

,

>=π-∠B1AD1=

.a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.

(

✕)ABCD-A1B1C1D1中,

,

和

不是共面向量.

(

✕)因为

=

=

-

,所以

,

和

是共面向量.

用已知向量表示其他向量国庆节期间,某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后

抵达东方明珠(B)游玩,最后游客登上了东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景,如

=a,

=b,

=c.

问题a,b,c表示

?提示:

=

+

=

-

+

=b-a+c.E为OD的中点,如何用a,b,c表示

?提示:

=

(

+

)=

(-a+b-a+c)=-a+

b+

c.

(1)先观察各个向量在图形中的位置;(2)寻找相应的平行四边形或三角形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.

用已知向量表示其他向量的三个关键点(1)用已知向量来表示其他向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量

之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

用已知向量表示其他向量的一般步骤是CA1上的点,且CN∶NA1=1∶4,则

=

()

A.

a+b+cB.

a+

b+

cC.

a-

b-

cD.

a+

b-

c

如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,

=a,

=b,

=c,M是A1D1的中点,N

=

a+

b-

c.答案

D

解析

由题意得

=

-

=

+

-

-

=

+

-

-

=

+

(

-

)-

-

=

-

-

=

(

+

)-

-

=

+

-

空间向量的数量积

求空间向量的数量积的方法(1)利用定义求解:a·b=|a||b|cos<a,b>;(2)利用a在b上的投影向量m或a在b所在平面上的投影向量n求解,即a·b=m·b=n·b.

空间向量的数量积的应用(1)求模:|a|=

;(2)求夹角:cos<a,b>=

;(3)证明两向量垂直:a⊥b⇔a·b=0.特别提醒解决与几何图形中向量的数量积有关的运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律进行化简,但一定要注意向量的夹角与已知或求出的角

的关系是相等还是互补.

已知P是棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1B1上一点,则

·

的取值范围是

.解析

因为

在平面A1B1C1D1上的投影向量为

,

在

上的投影向量为

,所以

·

=

·

,设|

|=x(0≤x≤2),则|

|=2-x,所以

·

=

·

=x(2-x)cosπ=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,0].答案

[-1,0]

在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求直线

OA与BC的夹角的余弦值.解析

∵

=

-

,∴

·

=

·(

-

)=

·

-

·

=|

||

|cos<

,

>-|

||

|cos<

,

>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16

,∴cos<

,

>=

=

=

,∴直线OA与BC的夹角的余弦值为

.

共面向量定理的应用

判断空间向量共面和空间四点共面的方法(1)判断向量共面,可以利用共面向量定理,也可直接利用定义,通过线面平行或直

线在平面内进行判断.(2)判断P,M,A,B四点共面可直接用以下两个结论:①

=x

+y

(

,

不共线);②

=x

+y

+z

(

,

,

不共面,x+y+z=1).

应用共面向量定理证明线面平行的方法证明AB∥平面α,即证明

可由平面α内两个不共线的向量a,b线性表示,即

=xa+yb.

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AE=3EA1,AF=FD,AG=

GB,过点E,F,G的平面与对角线AC1交于点P,求AP∶PC1的值.

∵

=

+

+

=3

+

+2

,∴

=3m

+

m

+2m

.又E,F,G,P四点共面,∴3m+

m+2m=1,∴m=

,故AP∶PC1=3∶16,∴AP∶PC1的值为

.解析

设

=m

(0<m<1).

如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD

证:MN∥平面BDE.

证明

证法一:连接AN.因为E,D分别是PC,PA的中点,所以

=

.因为M,N分别是AD,BC的中点,所以

=-

,

=

(

+

).所以

=

+

=-

+

(

+

)=

(

-

)+

=

+

.又

与

不共线,所以根据共面向量定理可知

,

,

共面.因为MN⊄平面