数学-专题01 与角平分线有关辅助线的四种做法（原版）

专题01与角平分线有关辅助线的四种做法【基础知识点】1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段：2. 在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：3. 构造等腰三角形：

类型一、作垂线、分两边例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．【变式训练1】如图所示，，是的中点，平分．（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．【变式训练2】如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（

）A． B． C． D．4

【变式训练3】四边形中，，连接．（1）如图1，若平分，求证：．（2）如图2，若，，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．类型二、截线段、构全等例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【变式训练1】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；②如图2，若，求的大小．

【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

类型三、角平分线+垂直=等腰例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.【变式训练1】已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.【变式训练2】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．

【变式训练3】如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.类型四、角平分线+垂直=等腰例.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【变式训练1】如图，已知，平分，，则（）

A.105° B.120° C.130° D.150°【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．【变式训练3】如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.课后训练1．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．

2.如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60º，∠BDC=95º，则∠BED的度数是（）A.35° B.70° C.110° D.130°3．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=AD．

5．如图，在中，，，，分别平分,，，交于点O．(1)求的度数；(2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由．6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求