数学-专项05 平行线中的三种几何模型全攻略（原版）

专题05平行线中的三种几何模型全攻略类型一、“M”模型例．如图l，点在上，点在上，点在直线之间，连接．（1）直接写出的度数为；（2）如图2，平分，交的延长线于点证明：

（3）如图3，点在的延长线上，点在上，点在内，连，则的值为．例2.（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？

【变式训练1】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【变式训练2】如图所示，，是两直线内部一点.（1）与的平分线交于点，探究和之间的的数量关系.（2）如图所示，，，与之间又有何数量关系？（3）若，，与之间又有又有何数量关系？

【变式训练3】如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．【变式训练4】如图，，点，为直线，上两定点，．(1)如图1，当点在左侧时，，，满足数量关系为；(2)若平分，平分，；①如图2，点在左侧时，求的角度；②如图3，点在右侧，求的角度；(3)如图4，平分，平分，，点在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则=．（直接写出结果）

类型二、铅笔模型例．问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

【变式训练1】(1)问题发现：如图①，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠𝐵+∠𝐶=∠𝐵𝐸𝐶．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作𝐸𝐹//𝐴𝐵，∵𝐴𝐵//𝐷𝐶(已知)，𝐸𝐹//𝐴𝐵(辅助线的作法)．∴𝐸𝐹//𝐷𝐶()．∴∠𝐶=∠𝐶𝐸𝐹()∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴∠𝐵=∠𝐵𝐸𝐹(同理)．∴∠𝐵+∠𝐶=(等量代换)，即∠𝐵+∠𝐶=∠𝐵𝐸𝐶．(2)拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠𝐵+∠𝐶=360°−∠𝐵𝐸𝐶，请说明理由．(3)解决问题：如图③，𝐴𝐵//𝐷𝐶，∠𝐶=120°，∠𝐴𝐸𝐶=80°，请直接写出∠𝐴的度数．【变式训练2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE

的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【变式训练3】（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

类型三、锄头模型例．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【变式训练1】（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．

（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【变式训练2】已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间，过点作于点．①如图2，说明成立的理由；②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．

【变式训练3】已知ABCD，∠ABE的角分线与∠C