苏教版2022～2023学年九年级上学期期末统考数学试题【含答案】

苏教版2022~2023学年九年级上学期期末统考数学试题

一、填空(本大题共12小题，每小题2分，共24分.)

-X4x-y

1.己知一=彳，nl则--：

y3y

2.一组数据-1、1、3、5极差是一.

3.己知方程*2_6》+/〃=0有一个根是2,则皿=.

4,若AABCS^DEF,ZiABC与ADEF的相似比为2：3,则ZkABC与ADEF的面积比即

SAABC：SADEF=-

5.在。。中，弦AB的长为8cm,圆心。到AB的距离为3cm,则。。的半径为cm.

6.圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是.

7.在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡

片上的图形是中心对称图形的概率是—.

8.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*人=/一2出?+〃，根据这个规则求方程(x—4)*1=0

的解为.

9.如图，在AABC中，点。是A8边上的一点，若/AC£)=NB,A£>=1,AC=2,BD长为.

10.如图，多边形ABCDE是。O的内接正五边形，则/ACD等于'

11.已知二次函数龙+80/0)的图像如图所示，对称轴是直线41,下列结论中：①

abc>0；②2a+b=()；③〃-4acV0；④4a+2〃+cX)；⑤a+b<m(am+b),(机为一切实数)

其中正确的是.

12.已知二次函数y=x2-（2m-3）x-m,当-1〈机<2时，该函数图像顶点纵坐标y的取值范围是

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

13.一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（）

A.3.5,5B.4.5,4C.4,4D.4,5

14.在比例尺是1：38000黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm,则它的实际长度约为（）

A266kmB.26.6kmC.2.66kmD.0.266km

15.如图，D、E分别在^ABC的边AB和AE上，下列不能说明2kADE和aACB相似的是（）

AEAD

B.-----=------C.ZAED=ZBD.ZADE=ZC=180°

CBABABAC

16.若二次函数y=V—6x+4的图象经过A（-1,力）、B（2,%）、C（5,%）三点，则关于V

i、y2>y3大小关系正确的是（）

A.B.C.〉2＞为＞＞3D.%＞为＞＞2

17.如图，AB是半圆。的直径，点。在半圆。上，AB=2>/61»AD=10,。是RD上的一个动点，

连接AC,过。点作于“，连接8”，在点。移动的过程中，8”的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

三、解答题(本大题共10小题，共81分)

18.解下列方程

2

⑴X-4X-5=O⑵2(x-l)+x(x-l)=0

19.己知即△ABC的三边长为a、b、c,且关于x的一元二次方程》2+3-2)8+人一3=°有两个相等的

实数根.

(1)求b的值

(2)若a=3,求c的值.

20.A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩

（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：

竞选人ABC

笔试859590

口试8085

（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整.

（2）竞选的最后一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，

每名学生只能推荐一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是度.

（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算三

位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选.

21.在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）.其中白球、黄球各1个，若

从中任意摸出一个球是白球的概率是』.

3

（1）求暗箱中红球的个数.

（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色不

同的概率（用树形图或列表法求解）.

22.如图，矩形ABC。中，E为BC上一点,£>FJ_AE于冗

(1)A4BE与△。外相似吗？请说明理由；

(2)若A8=3,AD=6,BE=4,求的长.

23.已知：如图，在RtAABC中，NC=90。，NBAC的角平分线AD交BC边于D.

(1)以AB边上一点。为圆心，过A、D两点作。0(不写作法，保留作图痕迹).

(2)判断直线BC与。0位置关系，并说明理由.

(3)若AB=6,BD=26求。0的半径.

24.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高

于每千克60元，不低于每千克30元.经市场调查发现：日销售量》（千克）是销售单价x（元）的一次

函数，且当工=40时，>=120；x=50时，"100.在销售过程中，每天还要支付其他费用500元.

（I）求出y与X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；

（2）求该公司销售该原料日获利卬（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大.最大获利是多少元.

25.已知如图，抛物线y=o?+bx+6与x轴交于点A和点C（2,0）,与>轴交于点D,将ADOC绕点O

逆时针旋转90。后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合.

（1）直接写出点A和点B的坐标；

（2）求。和b的值；

（3）已知点E是该抛物线顶点，求证：AB±EB.

26.(1)【学习心得】

小刚同学在学习完"圆''这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以

使问题变得非常容易.

例如：如图1,在AABC中，AB=AC,NBAC=90。，。是AABC外一点，KAD=AC,求NBDC的度数，若

以点A为圆心，AB为半径作辅助圆。A,则点C、。必在。A上，/8AC是。A的圆心角，而NBOC是圆

周角，从而可容易得到

(2)【问题解决】

如图2,在四边形A8C。中，ZBAD=ZBCD=90°,NBDC=25。,求/BAC的度数.

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△A8。的外接圆就是以

的中点为圆心，/班)长为半径的圆；△AC。的外接圆也是以8。的中点为圆心，^80长为半径的圆.这

样A、B、C、。四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出NBAC的度数，请运用小刚的思路解

决这个问题.

(3)【问题拓展】

如图3,在"BC中，ZBAC=45°,A£＞是BC边上的高，且BC=4,CD=2,求A。的长.

27.己知，如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx-2与X轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线

y=5犬+匕X+C经过A、B两点，与X轴的另一个交点为C.

（1）直接写出点A和点B的坐标；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）D为直线AB下方抛物线上一动点；

①连接DO交AB于点E,若DE：0E=3：4,求点D的坐标；

②是否存在点D,使得NDBA的度数恰好是/BAC度数2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在,

说明理由.

苏教版2022~2023学年九年级上学期期末统考数学试题

一、填空(本大题共12小题，每小题2分，共24分.)

-14x-y

1.已知一二刀，则------=；

\_

3

【分析】可设％=4匕y=3々代入要求的式子即可得解.

x4

【详解】

y。

・,・可设x=4k,y=3k,

._4k-3k_1

••y—3k_3,

故答案为！.

3

2.一组数据-1、1、3、5的极差是一.

6

【详解】•••在数据组-1、1、3、5中，最大的数是5,最小的数是-1，

，该组数据的“极差”为:5-(-1)=6.

故答案为6.

3.己知方程/一61+机=0有一个根是2,则111=.

8

【详解】•：方程6x+〃?=0有一个根是2,

，4—12+刃=0,解得m=8.

故答案为8.

4.若AABCs^DEF,AABC与ADEF的相似比为2：3,则AABC与ADEF的面积比即

SAABC：SADEF=•

4:9.

【详解】试题分析：E0ABCO0DEF,且回ABC与I3DEF的周长比为2：3,

H3ABC与0DEF的相似比为2：3,03ABe与I3DEF的面积之比为4：9.故答案为4：9.

考点：相似三角形的性质.

5.在。。中，弦AB的长为8cm,圆心。到AB的距离为3cm,则的半径为cm.

5

【分析】根据垂径定理求出AE,再根据勾股定理求出0A即可.

【详解】解：如图所示：

•/OE±AB,

•••3/4.

在R/ZV10E中，AE=4,0E=3,

根据勾股定理得到04=物+4?=5,

则。。的半径是5.

故5.

此题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出0A是解决问题的关键.

6.圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是.

87T.

【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S=3LR即可求出圆锥的侧面积.

【详解】圆锥底面圆周长为27rx2=4兀，则圆锥的侧面积为gx4兀x4=8九

故答案为8兀.

考点：圆锥的计算.

7.在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡

片上的图形是中心对称图形的概率是—.

3

4

【详解】•••在等边三角形、平行四边形、正方形和圆中，属于中心对称图形的有：平行四边形、正方形和

圆三种，

•D_3

♦•卜〈任取一张卡片，匕面的图彩是中心对称图彩〉=~•

4

故答案为'3.

4

8.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为4*。=。2一24匕+/，根据这个规则求方程(1-4)*1=0

解为_____

XI=X2=5

【详解】"6=/—2"+/,

方程(％—4)*1=0可化为：

(X-4)2-2(X-4)+1=0,即。_4_1)2=0,解得玉=/=5

故答案为玉=%=5.

9.如图，在AABC中，点。是A8边上的一点，若NACQ=NB,AD=\,AC=2,BD长为.

3

【详解】•.,在AABC和△ACC中，ZA=ZA,ZACD=ZB,

：./\ABC^/\ACD,

.ACAB

.•---=---.

ADAC

又・・・AD=LAC=2,

：.AB=4,

：.BD=AB-AD=4-l=3.

故3.

10.如图，多边形ABCDE是。O的内接正五边形，则/ACD等于'

72°

【详解】如图，连接OA、OE、OD,

,/多边形ABCDE是。O的内接正五边形,

ZAOE-ZDOE=-——=72°>

5

/AOD=/AOE+/DOE=144。，

ZACD=72°.

故72°.

11.已知二次函数丁=0?+法+，3/0）的图像如图所示，对称轴是直线x=l,下列结论中：①

abcX）；②2a+h=（）；③〃-4acV0；®4a+2h+cX）；⑤a+m（am+Z?）,（〃?为一切实数）

其中正确的是.

②④⑤.

【详解】(1)由图可知：抛物线开口向上，抛物线和X轴有两个不同的交点，抛物线和y轴的交点在y轴

的正半轴，对称轴为直线x=l,

iz>0,c>0,----=1,b~-4ac>0，

2a

b<--a>

abc<Q,2a+bQ^,

.•.①错误，②正确，③错误；

(2)•.•抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线和x轴的左交点在。到1之间，

...抛物线和x轴的右交点在1到2之间，

又•••抛物线开口向上，

.,.当x=2时,y=4a+2b+c>0,故④正确;

(3)•.•抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

•••当x=1时,y城，j、=a+b+c,

当x=m时，y=am2+bm+c,

a+b+c<am2+bm+c，

/.a+h<m{am+b),故⑤正确；

综上所述，正确的结论是：②④⑤.

12.已知二次函数y^x2-(2m-3)x-m,当加<2时，该函数图像顶点纵坐标y的取值范围是

2115

---<Cy<--

44

【分析】利用顶点坐标公式求出顶点纵坐标，再利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题;

【详解】,在二次函数y=d-(2加-3)彳一加中，a=l,b=-(2m-3'),c=-m,

.b_2m-34ac-b1-4m-(2//z—3)2-4m2+8/?i-9

••1—，-----------------------=-------------，

2a24a44

-4m2+8//J-9,9,5

/.该抛物线顶点的纵坐标为：y='=-m2+=

-444

52]s9

，当加=-1时，y=—（―1—I）2—=----，当相=2时，y=—（2—I）2—=—,

4444

当〃1=1时，y最大二-3，

4

215

・•・当一1＜加＜2时，y的取值范围为----—

44

215

故答案为—＜y4—.

44

本题解题中当求出抛物线顶点的纵坐标为：y==_加2+2"2—==_（/%_1）2_2时,需注

444

意“y”是“m”的二次函数，当—1＜加＜2时，y=--.

aA4

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

13.一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（）

A.3.5,5B.4.5,4C.4,4D.4,5

D

【详解】：把数据组2、5、4、3、5、4、5中的数据按从小到大的顺序排列为：2、3、4、4、5、5、5,

该数据组的中位数是4,

•••原数据组中出现次数最多的数据是5,

该数据组的众数是5.

故选D.

14.在比例尺是1：38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm,则它的实际长度约为（）

A.266kmB.26.6kmC.2.66kmD.0.266km

C

【详解】设该隧道实际长度为xcm,则由题意可得:

7_1

x38000,解得：x=266000（cm）

cm=2.66km.

故选C.

15.如图，D、E分别在AABC的边AB和AE上，下列不能说明AADE和^ACB相似的是（）

、E

A.三二空AEAD

B.-----=------C.ZAED=ZBD.ZADE=ZC=180°

CBABABAC

A

【详解】•・•在AABC和AADE中，ZBAC=ZEAD,

DEAE

，(1)当添加条件“一=——"不能证明△ADE和△ACB相似；

CBAB

AI7An

(2)当添加条件”——=——“能证明△ADE和△ACB相似；

ABAC

(3)当添加条件“NAED=NB"能证明△ADE和△ACB相似；

(4)当添加条件“NBDE+NC=180°”时,结合“四边形内角和为360°”可得NB+/DEC=180。，再结

合“/AED+/DEC=180。”即可得至U/AEC=/B,从而可证得△ADE和△ACB相似；

故选A.

16.若二次函数y=/-6x+4的图象经过A(-1,%)、B(2,为)、C(5,为)三点，则关于V

1、y2、y3大小关系正确的是()

A.y1＞%＞力B.乃＞%＞》2C.为＞为＞乃D.

B

【分析】把A、B、C三点的坐标代入求出yi,y2,y3的值比较大小即可.

【详解】•.•二次函数y=x2—6x+4的图象经过A(-1,y。、B(2,y2)＞C(5,y3)三点，

.*.yi=1+6+4=11；y2=4-l2+4=-4；y3=25-30+4=-1,

**«yi＞y3＞y2,

故选B.

本题考查二次函数的图像和性质，根据点的横坐标通过函数解析式求出点的纵坐标是解题关健.

17.如图，是半圆。的直径，点。在半圆。上，AB=2而,AD=\0,。是80上的一个动点，

连接AC,过。点作OH,4c于“，连接B”，在点。移动的过程中，的最小值是()

D

A.5B.6C.7D.8

D

【分析】首先利用圆周角是直角所对的弦是直径和0"，AC判断出点H的运动轨迹，然后确定当取

最小值是H的位置，最后利用勾股定理解直角三角形即可.

【详解】连接BD,

C是上的一■个动点，

.•.点H也是一个动点，

VDH=90°

.••H的运动轨迹是以AD为直径的圆周上，

如图所示，设AD中点为M,点M即为以AD为直径的圆的圆心，且直径为10.连接BD交0M于点H此

时的BH最小.

ZADB=90°

•,•BD=7AB2-A£>2

=12

在RtABMD中

BM=yBD?+MD?

=V122+52

=13

=13-5

=8

故选D.

此题考查的是利用圆周角是直角所对的弦是直径，确定动点的运动轨迹，然后利用勾股定理求线段的长度.

三、解答题(本大题共10小题，共81分)

18.解下列方程

(1)x2—4x-5=0(2)2(x—1)+x(x—1)=0

(1)xi=5,X2=-l;(2)XI=1,X2=-2.

【详解】试题分析：

(1)根据本题特点，用“因式分解法”解答即可；

(2)根据本题特点，用“因式分解法”解得即可；

试题解析：

(1)原方程可化为为：(x—5)(x+l)=0,

x-5=O或x+l=0，

解得：西=5,X,=-1.

(2)原方程可化为:(x-l)(x+2)=0,

，x-l=0或x+2=0,

解得：玉=1,X2=-2.

19.已知砂△ABC的三边长为a、b、c,且关于x的一元二次方程/+3-2"+8一3=0有两个相等的

实数根.

(1)求6的值

(2)若a=3,求c的值.

(1)6=4；(2)c=5或近.

【分析】⑴由关于x的一元二次方程f+e—2)x+力—3=0有两个相等的实数根可知“根的判别式

△=0”,由此可列出关于‘"'的方程，解方程即可求得b的值；

(2)由a=3结合(1)中求得的“6”的值分%”是直角边和斜边两种情况由勾股定理解出c的值即可.

【详解】（1）•••方程有两个相等的实数根,

32)2-4x(6-3)=0,解得：6=4；

(2)•..△ABC是直角三角形，a=3,b=4,

••・当c为直角边时，C=742-32=V7>

当c为斜边时，C="2+32=5,

.5或币.

20.A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩

（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：

竞选人ABC

笔试859590

口试8085

（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整.

（2）竞选的最后一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票,

每名学生只能推荐一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是一度.

（3）若每票计I分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算

三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选.

（1）表格数据90,图见解析；（2）126。；（3）B当选，理由见解析.

【详解】试题分析：

（1）由条形统计图可知，A的口试成绩为90分，填入表中即可：

（2）由图2中A所占的百分比为35%可知，在图2中A所占的圆心角为：360升35%；

（3）按：最后成绩=笔试成绩X40%+口试成绩X40%+得票成绩X20%分别计算出三人的成绩，再看谁的

成绩最高，即可得到本题答案.

试题解析：

（1）由条形统计图可知：A的口试成绩为90分，填入表格如下:

竞选人ABC

笔试859590

口试908085

（2）由图2可知，A所占的百分比为35%,

在图2中，A所占的圆心角为:360°x35%=126°；

（3）由题意可知：

A的最后得分为：85x40%+90x40%+200x35%x20%=84（分），

B的最后得分为：95x40%+80x40%+200x40%x20%=86（分），

C的最后得分为：90x40%+85x40%+200x25%x20%=80（分），

V86>84>80,

根据成绩可以判定B当选.

21.在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）.其中白球、黄球各1个，若

从中任意摸出一个球是白球的概率是,.

3

（1）求暗箱中红球的个数.

（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色不

同的概率（用树形图或列表法求解）.

（1）1个.（2）-

3

【分析】（1）设红球有x个，根据概率的意义列式计算即可得解.

（2）画出树状图或列表，然后根据概率公式列式计算即可得解.

【详解】（1）设红球有x个，

根据题意得，-1—=2，

解得x=l.

暗箱中红球有1个.

（2）根据题意画出树状图如下：

开始

•••一共有9种情况，两次摸到的球颜色不同的有6种情况,

A0

••.P（两次摸到的球颜色不同）=-=一.

93

22.如图，矩形A8C。中，E为BC上一点，AE于F.

（1）A48E与△。外相似吗？请说明理由；

（2）若AB=3,AD=6,BE=4,求的长.

（1）详见解析；（2）3.6.

【分析】（1）由四边形ABCD是矩形结合DFLAE于点F易得：NB=NDFA=90。，NAEB=NDAF,从

而可得△ABEsaDFA；

（2）在4ABE中，由AB=3,BE=4,ZB=90°可得AE=5,由（1）中所得AABEsaDFA可得

DFAD

——=——，结合AD=6即可求得DF的长.

ABAE

【详解】（l）AABE与ADFA相似，理由如下：

•••四边形ABCD是矩形，

.".AD//BC,NB=90。，

；./DAE=/AEB,

VDF±AE,

/B=/AFD=90°,

.,.△ABE^ADFA；

（2）在RtAABE中，NB=90。，AB=3,BE=4,

；.AE=5,

,/△ABE^ADFA,

.ABAE

DFDA

.35

••---=一,

DF6

，DF=3.6.

23.己知：如图，在RSABC中，ZC=90°,NBAC的角平分线AD交BC边于D.

(1)以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作。O(不写作法，保留作图痕迹).

(2)判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由.

(3)若AB=6,BD=26求。O的半径.

详见解析.

【详解】试题分析：(1)根据题意得：。点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由回BAC的角平分线AD交

BC边于D,与圆的性质可证得AC0OD,又由回C=90。，则问题得证；

(2)设回。的半径为r.则在RtEOBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值.

试题解析：(1)如图1,作AD的垂直平分线交AB于点。，。为圆心，0A为半径作圆.

判断结果：BC是回。的切线.

如图2,连接0D.

SAD平分0BAC,

团团DAC二团DAB

0OA=OD,

团团ODA二团DAB

0[2]DAC=0ODA,

0OD0AC,

团团ODB二团C,

幽090。，

瓯ODB=90°,

即：OD0BC,

团OD是回0的半径，

团BC是回。的切线.

(2)设国0的半径为r,贝(]0B=6-r,

回BD=2G,

在RWBD中,OD2+BD2=OB2,

即H+(26)2=(6-r)2,

解得r=2.

故回。的半径是2.

考点：1.作图一复杂作图；2.切线的判定.

24.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高

于每千克60元，不低于每千克30元.经市场调查发现：日销售量V（千克）是销售单价x（元）的一次

函数，且当x=40时，>'=120；x=50时，y=100.在销售过程中，每天还要支付其他费用500元.

（I）求出y与X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；

（2）求该公司销售该原料日获利叩（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大.最大获利是多少元.

（l）y=-2x+200（30<x<60）；（2）W=-2x2+260x-6500；（3）1900.

【分析】（1）由题意可设、=丘+。，代入题中的已知数量关系，列出关于k、b的方程组，解方程组求得

k、b的值即可得到所求解析式；由“销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元”即可得到x的取

值范围；

（2）由日获利润=每千克所获利润X日销售量-500,结合（1）中所得函数关系式即可求得w与x之间的

函数关系式；

（3）将（2）中所得函数关系式配方并结合x的取值范围即可求得所求答案.

【详解】解：（1）由题意设丫=-+6,则由题中所给数量关系可得：

f40Z+0=120"=-2

50k+8=100伍=200

•••y与x的函数关系式为：y=—2x+200Q30<x<60）；

（2）由题意可得:

卬=（x-30）（—2x+200）-500,

整理得：w=-2x2+260x-6500？30<x<60）；

（3）Vw=-2x2+260x-6000=-2（x-65）2+1950,且30WxW60,

•••当x=60时，w地大=-2（60—65）2+1950=1900（元）.

解答本题时需注意两点：（1）在解第2小题时，不要忽略了“每天还要支付其他费用500元”；（2）解第

3小题时，需注意自变量x的取值范围是30WXW60,所以w的最大值并不是在二次函数图象的顶点处取

得的，而是在x=60时取得的.

25.已知如图,抛物线y=af2+bx+6与X轴交于点A和点C（2,0）,与y轴交于点D,将ADOC绕点O

逆时针旋转90。后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合.

（1）直接写出点A和点B的坐标；

（2）求。和）的值；

（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB±EB.

【详解】试题分析：

（1）由题意易得点D的坐标为（0,6）,结合AOB是由ADOC绕点O逆时针旋转90°得到的，即可得

到OA=6,OB=OC=2,由此即可得到点A和点B的坐标；

（2）将点A和点C的坐标代入丁=0?+加+6列出关于以的二元一次方程组，解方程组即可求得

a、h的值；

（3）由（2）中所得以人的值可得二次函数的解析式，把解析式配方即可求得点E的坐标，结合点A和

点B的坐标即可求得AE?、AB?、BE?的值，这样由勾股定理的逆定理即可得到/ABE=90。，从而可得

ABXBE.

试题解析：

（1）•在丁=0^+6％+6中，当x=（）时，y=6,

...点D的坐标为（0,6）,

•••△AOB是由△DOC绕点O逆时针旋转90°得到的，

.,.OA=OD=6,OB=OC=2,

二点A的坐标为（-6,0）,点B的坐标为（0,2）；

（2）..•点A（-6,0）和点C（2,0）在〉="2+加+6的图象上,

1

36。-6/?+6=0Q=--

解得：《2；

4。+2。+6=0

b=—2

(3)如图，连接AE,

由(2)可知。=—•-,Z?=—2,

2

1,1,

/.y———x~—2x+6=―/(x+2)-+8,

•••点E的坐标为(-2,8),

•.•点A(-6,0),点B(0,2),

AE2=[-2-(-6)]2+82=80,AB2=(-6-0)2+(2-0)2=40,BE2=(-2-0)2+(8-2)2=40,

.*.AE2=AB2+BE2,

ZABE=90°,

AABIEB.

26.(1)【学习心得】

小刚同学在学习完"圆'’这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以

使问题变得非常容易.

例如：如图1,在aABC中，AB=AC,NBAC=90。，。是AABC外一点，KAD=AC,求NBDC的度数，若

以点A为圆心，AB为半径作辅助圆。A,则点C、。必在。A上，NBAC是。A的圆心角，而NBQC是圆

周角，从而可容易得到

(2)【问题解决】

如图2,在四边形A8C。中，ZBAD^ZBCD=90°,/BDC=25。,求/BAC的度数.

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以

的中点为圆心，长为半径的圆；AACQ的外接圆也是以BQ的中点为圆心，长为半径的圆.这

样A、B、C、。四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出NBAC的度数，请运用小刚的思路解

决这个问题.

(3)【问题拓展】

如图3,在△人吕。中，ZBAC=45°,AO是BC边上的高，且8=2,求AO的长.

(1)45：(2)/BAC=25°,(3)AD=JF7+3.

【分析】（1）如图1，由己知易得点8,C,。在以点A为圆心，A。为半径的圆上，则由“圆周角定理”

可得ZBAC=23°；

（2）如图2,由已知易得4、B、C、。在以8。的中点。为圆心，。8为半径的圆上，由此可由“圆周角

定理”可得N&4C=/BOC=28。；

（3）如图3,由已知易得点4、C、。、产在以AC为直径的同一个圆上，由此可得NEFC=ND4C；同理

可得：ZDFC=ZCBE；由己知易得/D4C=/EBC,这样即可得到/EFC=N£>FC.

【详解】（1）如图1，\，AB=AC=AD,

...点B、C、。在以4为圆心，AB为半径的圆上,

.".ZBDC=|ZBAC=23°；

图1

（2）证明：取BD中点O,连接AO、C0,

图2

在放△BAO中，Z&4。=90°,

:.AO=；BD=BO=DO,

同理：CO=；BD,

：.AO=DO=CO=BO,

...点A、B、C、。在以。为圆心、。8为半径的同一个圆上，

，ZBAC=ZBDC=28°

（3）；CFJL4B,ADA.BC,

：./AFC=NAOC=90。，

...点A、C、D、尸在以AC为直径的同一个圆上，

ZEFC=ZDAC,

同理可得：NDFC=NCBE,

•.•在AADC中，ZDAC+ZACD=90°,在ABEC中，Z£BC+ZACD=90°,

ZDAC=ZEBC,

：.ZEFC=ZDFC.

图3

27.已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y=-；x-2与X轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线

y=+bx+c经过A、B两点，与X轴的另一个交点为C.

（1）直接写出点A和点B的坐标：

（2）求抛物线的函数解析式：

（3）D为直线AB下方抛物线上一动点；

①连接DO交AB于点E,若DE：0E=3：4,求点D的坐标；

②是否存在点D,使得NDBA的度数恰好是/BAC度数2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在,

说明理由.

1,3

(1)A(-4,0)、B(0,-2)；(2)y=-f+=x-2；(3)①(-1,3)或(-3,-2)；②(-2,-3).

22

【分析】（1）在y=—2中由y=0求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值即可求得点A、B

的坐标；

（2）把（1）中所求点A、B的坐标代入y=+法+。中列出方程组，解方程组即可求得b、c的值，

从而可得二次函数的解析式；

（3）①如图，过点D作x轴的垂线交AB于点F,连接OD交AB于点E,由此易得△DFEsQBE