第07讲二项式定理（人教A版2019选择性）（原卷版）

第07讲二项式定理【人教A版2019】·模块一二项式定理·模块二二项式系数的性质·模块三课后作业模块一模块一二项式定理1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.(2)二项展开式的规律

①二项展开式一共有(n+1)项.

②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.

③每一项中a和b的幂指数之和为n.【考点1求二项展开式】【例1.1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式x+23的展开式为（

A．x3+6xC．x3+12x【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）下列不属于x−23的展开式的项的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【变式1.1】（2023下·江苏连云港·高二统考期中）x−yx+y10展开式中的项数为（A．11 B．12 C．22 D．2【变式1.2】（2023下·高二课时练习）(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（

）A．9 B．10 C．11 D．8【考点2

求展开式的特定项或特定项的系数】【例2.1】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式2x−1x3A．160 B．−80x C．80x3 【例2.2】（2023下·福建三明·高二校考阶段练习）在x−1x24的展开式中，A．−4 B．4 C．−6 D．6【变式2.1】（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）在x+2xA．1 B．3 C．6 D．12【变式2.2】（2023下·广东珠海·高二校考期中）若(x+a)5的展开式中x2的系数是80，则实数a的值是（A．1 B．2 C．3 D．4模块二模块二二项式系数的性质1．二项式系数的性质(1)杨辉三角——二项式系数表

当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数：从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质：

①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等.

②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.

④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，，第n行的(n+1)个数之和为.(2)二项式系数的性质对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)增减性当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值最大值当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大各二项式

系数的和【考点1

用赋值法求系数和问题】【例1.1】（2023上·福建莆田·高二校考期末）若(1+x)9=a0+A．1 B．513 C．512 D．511【例1.2】（2023下·重庆·高二统考期末）已知1−4x2023=a0+A．−2 B．−1 C．0 D．1【变式1.1】（2023下·高二单元测试）若1+2x21=a0+A．－2 B．－1 C．1 D．2【变式1.2】（2023下·广东湛江·高二校考期中）若(2x−1)10=a0A．a1+aC．a2=160 【考点2多项式积的展开式中的特定项问题】【例2.1】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）1−2xy(x+y)6的展开式中A．55 B．−70 C．65 D．−25【例2.2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）若4x−mx−25的展开式中的x3的系数为−600，则实数m=A．8 B．7 C．9 D．10【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）1+x+13xA．120 B．80 C．60 D．40【变式2.2】（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）在2x+ax+2x6的展开式中，x2A．3204 B．−160 C．160 D．−320【考点3求展开式中系数最大（小）的项】【例3.1】（2023下·上海长宁·高二校考期末）二项式1−x4n+1n∈N,n≥1的展开式中，系数最大项的是（A．第2n+1项 B．第2n+1项和第2n+2项C．第2n项 D．第2n+2项【例3.2】（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若2x2−A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项【变式3.1】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）已知在x−23xnA．6 B．8 C．9 D．11【变式3.2】（2023·浙江·校考模拟预测）若二项式2x+1xnn∈N∗的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第kA．5 B．6 C．7 D．8【考点4利用二项式定理证明整除问题或求余数】【例4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知m>0，且152021+m恰能被14整除，则m的取值可以是（A．1 B．3 C．7 D．13【例4.2】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）若(3x+2)2023=a0+A．0 B．3 C．5 D．8【变式4.1】（2023下·山东泰安·高二统考期中）若a∈N，且502023+a能被17整除，则aA．0 B．1 C．16 D．18【变式4.2】（2023·湖南怀化·统考二模）若(2x+1)100=a0+A．4 B．5 C．6 D．7【考点5

杨辉三角问题】【例5.1】（2023·全国·高二随堂练习）根据杨辉三角，写出a+b8【例5.2】（2023·全国·高二随堂练习）根据杨辉三角，我们可以得到很多与组合数有关的性质．例如，在下图中，C1C2……(1)根据你发现的规律，猜想：Crr+(2)你还能发现有关组合数的哪些性质？【变式5.1】（2023上·湖南岳阳·高一校考开学考试）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如图所示)，它揭示了(a+b)n(n为非负数根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出(a+b)5(2)(a+1)8的展开式中a(3)利用上述规律求115【变式5.2】（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.性质1：杨辉三角的第n行就是(a+b)n性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Cn性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Cn性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；请回答以下问题：(1)求杨辉三角中第8行的各数之和；(2)证明：Cn(3)在(1+x)2+(1+x)模块三模块三课后作业1．（2023·高二课时练习）二项式a+b6的展开式中共有（

）项A．5 B．6 C．7 D．82．（2023下·江西赣州·高二校考阶段练习）二项式x2−2A．−160x3 B．240x8 3．（2023·全国·模拟预测）yx+mx−y7的展开式中x3y4A．2 B．1 C．−1 D．−24．（2023·全国·高三专题练习）在3x−1xnA．二项式系数和为32B．各项系数和为128C．常数项为−135D．常数项为1355．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知x−2yn的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的x5yA．―4 B．84 C．―280 D．5606．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）若x2−3A．314 B．421 C．−47．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）设a∈Z，且0≤a≤13，若512023+a能被13整除，则aA．0 B．1 C．11 D．128．（2023上·全国·高三阶段练习）已知x3+ax6A．43,52 B．43,9．（2023上·浙江·高一阶段练习）x2−x−26=aA．−32 B．0 C．32 D．6410．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）杨辉三角A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等C．CD．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数11．（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：(1)3a(2)2x12．（2023下·甘肃金昌·高二校考期中）