4.6.1函数零点与方程的解

4.6.1函数零点与方程的解TOC\o"13"\h\z\u题型1求函数零点 3题型2判断函数零点所在区间 6题型3判断函数零点个数 9◆类型1直接法或方程法 10◆类型2零点存在性定理 12◆类型3图像法 15◆类型4利用奇偶性对称性判断函数零点个数 18题型4根据零点求参数取值范围 25◆类型1利用零点存在性定理 25◆类型2图像法 28题型5零点和差积商问题 32题型6二次函数零点问题 37题型7复合函数零点问题 42知识点一.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．注意：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．知识点二.二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点知识点三.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.知识点四.函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．知识点五.函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．补充：1.平移变换2.对称变换①y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up10(关于x轴对称))y＝－f(x)的图像；②y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up10(关于y轴对称))y＝f(－x)的图像；③y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up10(关于原点对称))y＝－f(－x)的图像；④y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像eq\o(→,\s\up10(关于直线y＝x对称))y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像．3.翻折变换①y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up11(x轴下方部分翻折到上方),\s\do4(x轴上方部分不变))y＝|f(x)|的图像；②y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up11(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do4(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图像题型1求函数零点【方法总结】判定函数fx（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令fx=0，将函数【例题1】（2021·高一课时练习）下列图象对应的函数中没有零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数零点的定义结合函数图象观察即可.【详解】函数图象与x轴交点的横坐标即函数的零点．故选:B．【变式11】1.（2018上·全国·高一专题练习）求下列函数的零点：（1）y=-x（2）y=x（3）y=1-log（4）y=x（5）f(x)=x【答案】（1）-5,4；（2）-2；（3）3；（4）-6；（5）0,1．【分析】(1)直接令y=0解方程即得函数的零点.(2)直接令y=0解方程即得函数的零点.(3)直接令y=0解方程即得函数的零点.(4)直接令y=0解方程即得函数的零点.(5)分x≤0和【详解】（1）令y=0，即-x2-x+20=0，解得x1=-5,（2）y=x3+8=(x+2)(x2-2x+4)，令(x+2)(x（3）令1-log3x=0，解得x=3（4）y=x2+4x-12x-2=(x+6)(x-2)x-2．令(x+6)(x-2)（5）当x≤0时，令x3=0，得x=0，符合题意；当x>0时，令lnx=0，得x=1，符合题意，故所求函数f(x)=【点睛】（1）本题主要考查函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的零点常用解方程的方法.【变式11】2.（2023·高一课时练习）若函数f(x)=x2【答案】3【分析】根据零点的定义，求解方程的根即可.【详解】由f1=1+a+3=0⇒a=-4，所以令f(x)=x故答案为：3【变式11】3.（2020·全国·高一专题练习）已知函数fx=ax-b(a≠0)的零点为3，求函数【答案】0和－1【解析】根据f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3可得b＝3a.再代入函数g(x)＝bx2＋ax求解即可.【详解】由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13所以函数g(x)的零点为0和-1【点睛】本题主要考查了函数零点的计算,属于基础题.【变式11】4.（2023上·北京海淀·高一校考阶段练习）若m，n是二次函数y=x2+3x-6A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【分析】根据根与系数的关系即可求解.【详解】由m，n是二次函数y=xΔ=9+24=33>0，所以m，n是x2所以m+n=-3,mn=-6，故m2故选：C题型2判断函数零点所在区间【方法总结】零点存在定理：两端点值异号【例题2】（2023上·广东深圳·高一校考期末）函数fxA．-1,0 B．0,1 C．1,2 D．3,4【答案】C【分析】由题易得f(1)⋅f(2)<0,结合函数零点存在性定理可得到答案.【详解】由题意知，f0=20+0-4=-3<0，f1=因为f(1)⋅f(2)<0，所以(1,2)是函数f(x)的零点所在的一个区间.故选：C.【变式21】1.（2023上·重庆·高一重庆市潼南中学校校联考阶段练习）若m为函数fx=logA．12,1 B．(1,32【答案】B【分析】判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可判断出答案.【详解】由于y=log2x,y=x-2故fx=log又f12=f32=故fx=log2x+x-2故选：B【变式21】2.（2023上·安徽合肥·高一校考阶段练习）若x0是方程lnx+x-3=0的实数解，则A．1,1.5 B．1.5,2C．2,2.5 D．2.5,3【答案】C【分析】令fx【详解】令fx=lnx+x-3，则又f1=lnf3=ln所以f2所以fx在2,2.5上存在唯一零点，即存在x0∈故选：C【变式21】3.（2019上·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）已知函数fx=x+2A．1,32 B．32,2【答案】C【解析】用零点存在定理，根据两端点值是否异号来判断.【详解】因为f2又因为f所以x故选：C【点睛】本题主要考查了函数与方程中的零点存在问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.【变式21】4.（2021·高一课时练习）设x=(log1A．(-3B．(-2C．1,2D．(2【答案】D【分析】化简x=log13【详解】由题意，x=(∵函数y=log13x在定义域上是减函数，且1故选：D【变式21】5.（2023下·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）根据表格中的数据，可以判定方程exx10123e0.3712.727.4020.12x+323456A．-1,0 B．0,1C．1,2 D．2,3【答案】C【分析】根据已知表格判断y=e【详解】由y=ex,y=x+3在定义域上都递增且连续，且e所以，在1,2上存在x0使e故选：C【变式21】6.（2020·高一课时练习）根据表中数据，可以判定方程exx-10123e0.3712.277.3920.09x12345A．(-1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)【答案】C【分析】求出方程对应得函数f(x)=ex-x-2，然后利用表格分别求出f0，f1【详解】令f(x)=ex-x-2f(0)=1-2<0，f(1)=2.27-3<0，f(2)=7.39-4>0，f(3)=20.09-5>0，得f(1)⋅f(2)<0，由零点存在定理可知：函数f(x)的存在零点位于区间(1,2)内，即方程e故选：C题型3判断函数零点个数【方法总结】直接法即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数性质法即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数◆类型1直接法或方程法【例题31】（2023上·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数fxA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据零点的定义求解.【详解】函数fx=x令fx=x2+所以函数fx故选:B.【变式31】1.（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）函数fxA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令fx【详解】令fx=0，即x2所以函数fx=x故选：B【变式31】2.（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数y=xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分解因式求解方程的根.【详解】函数y=x3-9x由x3-9x=x(x+3)(x-3)=0解得，x=0或故函数函数y=x3-9x故选：D.【变式31】3.（2023上·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）函数fxA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】考虑x≤0和x>0两种情况，解方程fx【详解】当x≤0时，fx=x2+4x+3=0当x>0时，fx=log综上所述：函数fx故选：C【变式31】4.（2023上·天津河东·高一天津市第五十四中学校考阶段练习）函数fx【答案】2【分析】考虑x≤0和x>0两种情况，取fx【详解】当x≤0时，fx=x2-2=0当x>0时，fx=-6+ln综上所述：函数有2个零点.故答案为：2◆类型2零点存在性定理【例题32】（2023上·陕西榆林·高一校考阶段练习）函数fxA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断零点个数.【详解】根据fx=x因为函数y=x2-2023与函数y=所以fx=x又f1=1-2023=-2022<0，f1⋅f50<0，根据零点存在性定理所以函数fx故选：A【变式32】1.（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考期中）函数f(x)=|2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】分x>0和x≤0两种情况，根据函数单调性和零点存在性定理分析求解.【详解】当x>0时，则3x>2可得f(x)=2所以f(x)在0,+∞当x≤0时，则2x≤1，即可得f(x)=2因为y=2x,y=3x且f(0)=-1<0,f-1所以f(x)在-∞综上所述：函数f(x)=|2故选：A.【变式32】2.（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知函数fx=6A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】根据函数单调性，结合零点存在性定理判断即可.【详解】解：因为函数y=6x,y=-所以函数fx=6因为f3=2-log所以，存在唯一实数x0∈3,4所以，函数fx零点个数为1故选：A【变式32】3.（2023上·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）函数fx【答案】2【分析】通过解方程、函数的单调性、零点存在性定理求得正确答案.【详解】由x2-4=0x≤0函数fx=lnf1=-1,f2=ln综上所述，fx的零点个数是2故答案为：2【变式32】4.（2023上·安徽亳州·高一蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数f(x)=x2+2x【答案】1【分析】先用定义法证明函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，再用零点存在性定理，经判断【详解】设0<xf(由于2>1，指数函数y=2x在区间(0,+∞)上单调递增，且因为0<x1<所以f(x1)-f(所以函数f(x)在区间(0,+∞同时f(1)=12+由零点存在性定理，且函数f(x)在区间(0,+∞函数f(x)在区间(1,2)上存在唯一零点，所以函数f(x)在区间(0,+∞)上零点个数是◆类型3图像法【例题33】（2023·全国·高一课堂例题）函数fx【答案】2【分析】令fx=lgx-2=0，可将函数f(x)【详解】令fx=lgx-2=0，将函数f(x)作出函数y=lgx和由图可知，直线y=2与y=lgx的图象有两个交点，即函数故答案为：2.【变式33】1.（2023上·北京海淀·高一校考阶段练习）函数fxA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由fx=0可得lnx=e-x，分析可知函数【详解】由fx=0可得lnx=e由图可知，函数y=lnx与y=e故函数fx的零点个数为2故选：C.【变式33】2.（2023上·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=52x【答案】3【分析】令gx=0得fx=x，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出fx，【详解】令gx=0得可知函数gx的零点个数即为函数fx与在同一直角坐标系中作出fx，y=由图象可知，函数y=fx与y=即函数gx故答案为：3.【变式33】3.（2023上·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=5x-5(x≤1)x2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】设Fx=f(x)-log【详解】

设Fx设gx=log又f1=5×1-5=0=g1因为f132=5×所以，F1又f12=5×所以，F1根据零点的存在定理，可知，∃x1∈即x1是函数y=f(x)-因为f3=0，所以，F3又f4=4所以，F4根据零点的存在定理，可知，∃x2∈即x2是函数y=f(x)-结合函数图象以及fx,gx的增长速度可知，当x<x1综上所述，函数y=f(x)-log2x的零点为1，x故选：C.【变式33】4.（2023下·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）函数fx【答案】2【分析】将问题转化为函数y=12x【详解】函数fx=x即函数y=12x作出函数y=12x由图象可知：函数y=12x∴函数fx=x故答案为：2.◆类型4利用奇偶性对称性判断函数零点个数【例题34】（2023下·湖北·高一校联考阶段练习）已知fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，fx单调递增，且f(-2)=0，f1A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据函数的奇偶性,单调性结合函数值的范围,作图数形结合即可判断.【详解】当x>0时，fx单调递增，且f(-2)=0，且f所以f-x=-fx,可得f(2)=0由gx=f又因为f12<-3，ffx为定义在R上的奇函数,又可得f根据题意作出满足要求的y=f由图知，直线y=3与y=f所以gx故选：A.【变式34】1.（2023上·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x)=f(2-x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=2x-1.若函数g(x)=f(x)-logaA．5<a<9 B．1<a<9C．a>9 D．1<a≤5【答案】A【分析】根据题意分析函数的性质，将零点问题转化为两个函数y=f(x)y=【详解】因为f(x)=f(2-x)，则函数关于直线x=1对称，又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=f[-(x-2)]=-f(x-2)，即f(x+2)=-f[(x+2)-2]=-f(x)，则f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，又因为f(x+2)=-f(x)和f(x)=f(2-x)，即f(2+x)=-f(2-x)，故函数f(x)关于点(2,0)对称，令g(x)=f(x)-logax=0原题等价于两个函数y=f(x)y=且y=logax(a>1)如图所示，则可得loga5<1log故选：A.【变式34】2.（2023上·全国·高一专题练习）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x-3【答案】3【分析】x>0时，f(x)=2x+x-3，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，x<0【详解】∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点，当x>0时，令f(x)=2得到2x分别画出函数y=2x和所以函数f(x)在0,+∞又根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3.故答案为：3.【变式34】3.（2021·高一单元测试）定义在R的奇函数fx满足fx+4=fx，且当x∈0,2时，f【答案】11【分析】由奇函数的性质、周期函数的性质结合函数在0,2上的解析式，确定函数的零点.【详解】∵当x∈0,2时，f又函数fx为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，f∴当x∈-2,0时，-x∈0,2，所以∵fx+4=fx所以∴f-2所以f-2∴函数fx在-2,2的零点有4个，即-2,-1,0,1∴函数fx在-6,-2的零点有4个，即-6,-5,-4,-3又函数fx在2,4∴函数fx在区间-6,4故答案为：11.【变式34】4.（2022下·北京·高一校考期中）已知定义在R上的函数fx是周期为3的奇函数.当x∈0,32时，fx【答案】17【分析】根据奇函数的定义，结合题意中的函数解析式，可求得当x∈-【详解】由于定义在R上的函数fx当-32<x<0时，0<-x<32则有f-x=x2+x由于f0=0，则有令xx-x=0，解得x=0或所以在-32<x<32在区间0,6上，f0=0，f1=0，f4=f1=0，f-32=-f32，又则fx在0,6由fx的图象关于原点对称，可得fx在所以fx在-6,6故答案为：17.【变式34】5.（多选）（2023上·山东威海·高一统考期末）若fx是定义在R上的奇函数，fx+2是偶函数，当x∈0,2A．fx在-4,-2上单调递减 B．C．fx在-4,4上恰有5个零点 D．f【答案】AD【分析】由函数的奇偶性得出函数的周期，即可得出函数在一个周期内的图象，从而结合函数的性质逐个判断.【详解】由fx是定义在R上的奇函数得fx由fx+2是偶函数得fx+2=f-x+2，即结合fx是奇函数可得fx关于∴fx+2=f-x+2=-fx-2，∴当x∈0,2时，fx=log2对A，由图易得，fx在-4,-2对B，由函数的奇偶性、周期性可得f9对C，由图易得，fx在-4,4对D，因为函数关于x=-2对称，所以fx-2=f-x-2故选：AD【变式34】6.（多选）（2022上·湖北黄冈·高一校联考阶段练习）已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x≤0时，fA．x>0时，fx=-xC．fx在区间1,+∞上单调递增 D．不等式fx>0【答案】AB【分析】A选项，根据奇偶性和x≤0时的解析式，求出x>0时的解析式；B选项，先求出x≤0时的函数零点，结合奇偶性得到x>0时的零点，共3个零点；C选项，当x>0时，fxD选项，分别在x>0与x≤0时，解不等式，求出解集.【详解】因为当x≤0时，fx所以当x>0时，-x<0，f-x因为函数fx所以f-x=-fx所以fx故x>0时，fxx≤0时，令fx=x根据函数为R上的奇函数，所以f1所以fx当x>0时，fx=-x当x>0时，令fx>0，解得：0<x<1，当x≤0时，令解得：x<-1，综上：不等式fx>0的解集是x0<x<1故选：AB题型4根据零点求参数取值范围◆类型1利用零点存在性定理【例题41】（2023上·江苏·高一专题练习）若函数f(x)=3kx+1在(-1,1)存在零点，则实数k的取值范围是（

）A．-13C．13,+∞ D．【答案】D【分析】根据零点存在性定理结合题意求解即可.【详解】当k=0时，f(x)=1，不存在零点；当k≠0时，f(x)=3kx+1是一次函数，必然单调，故只需f(-1)f(1)<0即可，即(-3k+1)(3k+1)<0，解得k<-13或即k的取值范围是-∞,-1故选：D【变式41】1.（2023上·江苏·高一专题练习）若函数f(x)=lnx-1x+a【答案】1【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案.【详解】因为y=lnx,y=-1则函数f(x)=lnx-1故若fx在区间(1,e)上存在零点，则f(1)=故答案为：1e【变式41】2.（2021上·内蒙古赤峰·高一校考期中）若函数fx=lnx-2A．2e-1,2 B．1e,1【答案】A【分析】根据函数fx=ln【详解】由fx=lnx-2因为fx=ln所以fx=ln所以f1<0f解得2e故选：A【变式41】3.（2023·全国·高一专题练习）函数fx=log2x+A．-∞,-18C．(5,18) D．-18,-5【答案】D【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.【详解】若函数fx=log由函数f(x)在(2,4)的图象连续不断，且为增函数，则根据零点存在定理可知，只需满足f(2)⋅f(4)<0，即(m+5)(m+18)<0，解得-18<m<-5，所以实数m的取值范围是-18,-5.故选：D.【变式41】4.（2023上·江苏南京·高一期末）已知fx=ex+4x-3A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】由题意可知，fx=e因为f14=则fx零点在区间14,故选：C.【变式41】5.（2023上·四川·高一校联考期中）已知函数fx=3x-【答案】2【分析】先求出fx在0,+【详解】因为y=3x在0,+∞上单调递增，y=-所以fx=3因为f1=3-60<0，f2所以fx的零点在区间2,3内，故n=2故答案为：2.◆类型2图像法【例题42】（2024上·河南洛阳·高一校联考阶段练习）若函数fx=eA．-1,2 B．-1,1 C．0,1 D．-1,0【答案】D【分析】将题目转化为y=ex-1【详解】函数fx=ex-1令-m=n，作出y=ex-1由图可知0<n<1，则0<-m<1，故实数m的取值范围是-1,0.故选：D.【变式42】1.（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数fx=-x+2,x≥1x2A．0,1 B．-1,0,1 C．0,1 D．0,1【答案】B【分析】根据题意，转化为y=fx与y=m2【详解】由y=fx-m即函数y=fx与y=画出函数y=fx结合图象可得m2=1或m2=0，解m=±1或故选：B.【变式42】2.（2023上·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知函数fx=-xx-4,x≥0【答案】0,4【分析】函数gx=fx-m有三个零点，即y=fx与【详解】若函数gx=fx-m有三个零点，即当x≥0时，fx当x=2时，fx=-xx-4画出函数y=fx由图可知，m∈0,4故答案为：0,4.【变式42】3.．（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）函数fx=x【答案】-4,-3【分析】根据分段函数解析式，作出图象，利用方程与函数的关系，可得答案.【详解】当x<0时，fx令x=0，则0+12-4=-3，令fx可得函数fx函数hx=fx-k有3个零点等价于函数由图可知，k的取值范围为-4,-3.故答案为：-4,-3.【变式42】4.（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考阶段练习）设fx=2x+1,x≤0【答案】1<a≤2【分析】将问题化为f(x)与y=a有三个交点，根据f(x)的性质画出函数大致图象，数形结合判断参数范围.【详解】由题设f(x)与y=a有三个交点，而f(x)在(-∞,0]、(1,+∞)上递增，在(0,1)上递减，且在(-∞,0]上值域为由f(x)的解析式可得其函数图象大致如下，由图知：1<a≤2时，f(x)与y=a有三个交点.故答案为：1<a≤2【变式42】5.（2017上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数fx(1)画出函数图象，并写出函数的值域；(2)求使函数Fx【答案】(1)值域为[2,+∞(2)(2,+【分析】（1）画出函数y=fx（2）根据题意，转化为函数y=fx和y=n【详解】（1）由函数fx画出函数y=fx的图象，如图所示，由图象可知值域为[2,+（2）要使得函Fx即函数y=fx和y=n由（1）中函数fx图象，可得n>2，所以实数n的取值为(2,+题型5零点和差积商问题【例题5】（2024上·重庆·高一重庆市第二十九中学校校考阶段练习）已知函数fx=2xx2+1,x≥0-3A．22,+∞ B．22【答案】D【分析】先根据题得到x<0时，fx-t=-3x-t=0【详解】要函数gx则当x<0时，fx-t=-3x-t=0当x≥0时，fx-t=2x所以Δ=4-4t2所以1x根据对勾函数的图像和性质可得函数y=2t+t故2t即1x2+故选：D.【变式51】1.（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期中）已知函数fx=log2x,x>0xA．2,+∞ B．C．2,+∞ D．【答案】D【分析】将gx的零点转化为y=fx和y=a的交点，画出图象，根据对称性以及对数函数的知识求得x1【详解】gx=fx即y=fx和y=a有四个交点，它们的横坐标分别为x画出函数fx=log根据图象可知0<a≤1,x1和x2是y=即方程x2所以x1+x2=-4,x4是y=log2x和y=a的交点横坐标，故有由0<a≤1，可得x3∈1令ht=t+1t，则ht故ht∈2,故选：D【点睛】方法点睛：本题考查了两个函数的图象与性质，第一个函数是二次函数，图象具有对称性；第二个函数是含有绝对值的对数函数.熟练掌握这两类函数的图象与性质是解题的关键.函数零点的问题，可以转化为两个函数交点问题来进行研究.【变式51】2.（2023上·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期中）已知函数fx=2x-1,x⩽1log3x-1,x>1，若函数y=fx-aa∈RA．0,3 B．22,3 C．2【答案】C【分析】作出函数fx【详解】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折，作出函数fx可知0<a<1，x1于是1-2x1-log3x3-1于是2x2a+1a≥22a⋅1所以2x1+故选：C．【变式51】3.（多选）（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数fx=xA．实数a的取值范围是-B．函数fxC．xD．x1+3【答案】AD【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.【详解】对于A选项：当x>0时，f(x)有2个零点，故-a>0Δ=a当x<0时，-x>0，而f(x)=-f(-x)，易知，此时f(x)也有2个零点，故a∈(-∞对于B选项：因为f(0)=1对于C选项：f(x)的4个零点满足x1则x3，x4是方程x2所以x1对于D选项：由C选项知，x1由a∈(-∞,-2),所以f(1)=2+a<0，得0<故选：AD．【变式51】4.（多选）（2023上·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考期中）已知定义在R上的函数f(x)满足：fx=f2-x，且当x≥A．fx的值域为B．fx在(-C．fx在RD．若方程|f(x)|=m有4个不同的解x1,x2,x【答案】AC【分析】根据题意作出函数图象，借助数形结合求解即可.【详解】由fx=f2-x知函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1且x≠2时，由图象知，fx的值域为-∞,0∪1,+∞，故选项A正确；fx在(-对于选项D，作出函数f(x)的图象如图所示，要使方程|f(x)|=m有4个不同的解x1,x因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)的图象也关于直线x=1对称，所以x1+x4=2,x2+x3=2.由f(x)=1得x=故答案为：AC.【点睛】关键点点睛：判断选项A,B,C的关键是作出函数f(x)的图象，因为f(x)的图象关于关于直线x=1对称，所以只需分析并作出x≥1时的函数图象再关于直线x=1对称即可；判断D选项的关键是数形结合和确定x2的取值范围，先求解f(x)=1在题型6二次函数零点问题【例题6】（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知函数fx=x2-ax+4A．8,10 B．8,10 C．4,5 D．4,5【答案】D【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数fx=x所以x2+4=ax，即x+4所以y=x+4x与y=a的函数图象在由于y=x+4x在所以2+42<a<1+故选：D【变式61】1.（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)【答案】1<a<【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组并求解即得.【详解】依题意，Δ=4a2所以a的取值范围是1<a<5故答案为：1<a<【变式61】2.（2021上·高一课时练习）已知：f(x)=(x-a)(x-b)-2的零点α,β，那么a，b，α,β大小关系可能是（

）A．α<a<b<β B．a<α<β<bC．a<α<b<β D．α<a<β<b【答案】A【分析】根据题意可设g(x)=(x-a)(x-b)，作出函数f(x),g(x)的大致图象，结合它们的零点，数形结合，可判断出答案.【详解】由题意：f(x)=(x-a)(x-b)-2的零点α,β，则f(α)=0,f(β)=0，令g(x)=(x-a)(x-b)，则g(a)=0,g(b)=0，而f(x)=g(x)-2，则其图象可由g(x)=(x-a)(x-b)图象向下平移2个单位得到，故可作出函数f(x),g(x)的大致图象如图：由此可知a,b应介于α,β两数之间，结合选项可知可能的结果为α<a<b<β，故B，C，D错误，A正确，故选：A【变式61】3.（2020上·湖南常德·高一校考阶段练习）已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)，m，n是函数f(x)的两个零点(m<n)，则实数m，n，a，b的大小关系为（

）A．m<a<b<n B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<n<b【答案】A【分析】根据函数表达式得出f(a)=f(b)=-2<0，然后根据二次函数的图象和性质得出结论.【详解】f(x)=(x-a)(x-b)-2，则f(a)=f(b)=-2<0∵m，n是方程f(x)=0的两个根(m<n)∴f(m)=f(n)=0，且当m<x<n时，f(x)<0∵抛物线开口向上∴m<a<b<n故选：A【变式61】4.（2023上·广东汕头·高一汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数f(x)=ax(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(2,3)内，求实数a的取值范围．【答案】(1)-52<a<0(2)32【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围；（2）由题意易知a≠0，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据g(x)=af(x)的零点和f(x)的零点的等价性，列不等式组求参数范围.【详解】（1）由题意，可得Δ=25-4a2>0a≠0（2）由f(x)的两个零点一个在(0,1)内，另一个在(2,3)内，故a≠0，法一：当f(x)的图象开口向上时，f(0)>0&&&&f(1)<0f(2)<0f(3)>0a>0当f(x)的图象开口向下时，f(0)<0&&&&f(1)>0f(2)>0f(3)<0a<0综上，a的取值范围为32法二：g(x)=af(x)的零点和f(x)的零点相同，则g(0)>0g(1)<0所以a2>0a综上，a的取值范围为32【变式61】5.（2023上·浙江丽水·高一校联考阶段练习）已知实数a>0且a≠1，函数fx(1)设函数gx=fx-x，若gx(2)设函数hx=logafx，若【答案】(1)a∈[(2)a>【分析】（1）参变分离可得a=-3x2+10x在0,2上有两个解，令t=1（2）分0<a<1和a>1两种情况讨论，结合对数函数的性质得到fx在2,4【详解】（1）依题意g(x)=ax2-10x+3可化为a=-3x2即y=a与y=-3x2设1x=tt≥得Mtmax=M(且Mt在12,53由图可得174≤a<253，符合a>0且（2）因为hx=log①当0<a<1时，y=log则f(x)=ax2-9x+3在2,4上为减函数，且f(x)>0所以0<a<19②当a>1时，y=log则f(x)=ax2-9x+3在2,4上为增函数，且f(x)>0所以a>192a≤2综上所述：a>15题型7复合函数零点问题【方法总结】对于复合函数y=fg（1）确定内层函数u=gx和外层函数y=f（2）确定外层函数y=fu的零点u=（3）确定直线u=uii=1,2,3,⋯,n与内层函数u=gx图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯【例题7】（2023上·天津蓟州·高一校考阶段练习）已知函数fx=-x2A．-∞,-2C．6∪-【答案】B【分析】根据解析式画出fx草图，将问题化为y=fx的图象与直线y=1，y=m3共有5个交点，数形结合有【详解】作出函数fx函数gx=3f等价于3fx-mfx-1等价于y=fx的图象与直线y=1，y=由图得y=fx的图象与直线y=1所以y=fx的图象与直线y=m3有1个交点，则直线y=所以m3<-2，解得m<-6，即实数m的取值范围是故选：B【变式71】1.（多选）（2023上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）已知函数fx=-A．存在m∈R，使得gxB．若m=4，则gx有3C．若m=3，则gx有6D．若gx有5个零点，则m的取值范围为【答案】BCD【分析】画出fx的简图，令gx=0，则ffx=m，令fx=t，则ft=m，然后结合图象，分m>4，【详解】令fx=4，解得x=1-e或2；令fx=3，解得x=0根据函数图象的平移变换，可画出fx令gx=0，则ffx=m当m>4时，ft=m只有1解，且t<1-e，此时fx=t只有1当m=4时，ft=4有2解，即t=1-efx=1-e有1解；fx=2有2当m∈3,4时，ft=m当t1∈1-当t2∈1,2时，f当t3∈2,3时，fx=t3当m=3时，ft=3有3解，即fx=0只有1解；fx=1有2解；当m∈0,3时，ft=m当t4∈0,1时，fx=t4当m=0时，ft=0只有1解t=4,fx当m<0时，ft=m只有1解，且t>4，此时fx=t只有1解，所以综上所述，对任意的m∈R，gx若m=4，则gx有3若m=3，则gx有6若gx有5个零点，则m的取值范围为0,3故选：BCD.【变式71】2.（2023上·吉林白山·高一统考期末）设f(x)=x2-2ax+3,x<2a32+logax,x≥2a【答案】[【分析】根据给定单调区间及单调性，可得1<a≤4，再探讨函数f(x)的最小值，并由3-34a【详解】由f(x)在[a,+∞)上是增函数，得a≤2aa>1显然f(x)min=f(a)=3-a2，3-令t=f(x)，由g(x)=0，得f(t)=t2-2at+3=3-34a2由于g(x)在R上至少有3个零点，只需12a>3-a2，又当a=32时，32所以a的取值范围是[3故答案为：[【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．【变式71】3.（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数fx=4x-2,x<13-x,x≥1【答案】-3,-2【分析】画出fx=4x-2,x<13-x,x≥1的图象，结合图象及g【详解】画出fx因为gx即当Δ=a2-8>0，a>22或a<-2要想y=gfx有六个零点，结合函数图象，要