甘肃省部分学校2024届高三下学期2月开学考试数学试题（含答案）

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合或，则（）A.B.C.或D.或2.（）A.B.C.D.3.已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（）A.B.C.D.4.已知复数满足；则（）A.B.C.8D.205.若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点到的距离为（）A.B.C.D.6.已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（）A.B.C.D.7.函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.8.已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列满足，则（）A.是等差数列B.的前项和为C.是单调递增数列D.数列的最小项为410.已知函数（，其中表示不大于的最大整数），则（）A.是奇函数B.是周期函数C.在上单调递增D.的值域为11.已知正四面体的棱长为4，点是棱上的动点（不包括端点），过点作平面平行于，与棱交于，则（）A.该正四面体可以放在半径为的球内B.该正四面体的外接球与以点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为C.四边形为矩形D.四棱锥体积的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，且不去同一景点的概率为__________.13.已知分别是双曲线的左､右焦点，过点且垂直轴的直线与交于两点，且，若圆与的一条渐近线交于两点，则__________.14.若圆锥的母线长为3，则圆锥体积的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知在中，角所对的边分别为.（1）若，证明：是等腰三角形；（2）若，求的值.16.（本小题满分15分）2022年日本17岁男性的平均身高为，同样的数据1994年是，近30年日本的平均身高不仅没有增长，反而降低了.反观中国近30年，男性平均身高增长了约.某课题组从中国随机抽取了400名成年男性，记录他们的身高，将数据分成八组：，；同时从日本随机抽取了200名成年男性，记录他们的身高，将数据分成五组：，整理得到如下频率分布直方图：（1）由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的分位数；（2）为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联，课题组调查样本中的600人得到如下列联表：身高蛋白质摄入量合计丰富不丰富低于108不低于100合计600结合频率分布直方图补充上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断成年男性身高与蛋白质摄入量之间是否有关联？附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.（本小题满分15分）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.（1）请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明）（2）求点到平面的距离.18.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，点在上，的长轴长为.（1）求的方程；（2）已知原点为，点在上，的中点为，过点的直线与交于点，且线段恰好被点平分，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若有2个极值点，求证：.高三数学参考答案､提示及评分细则1.A因为或，所以.故选A.2.C.故选C.3.B两边平方得，解得，又为单位向量，所以夹角的余弦值为.故选B.4.B，得，所以.故选B.5.D联立与的方程并消去，得.因为与只有1个公共点，所以，结合，解得，则，所以到的距离.故选D.6.C展开式中的第项为，所以前三项系数依次为，依题意，有，即，整理，得，解得（舍去）或.由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即.故选C.7.D.由，解得，，所以的单调递减区间是.故选D.8.A因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增；，即；令，当时，，则单调递增，所以，即，所以.而在上单调递增，故有，即.故选A.9.BC由，得，因为，所以，从而，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即.所以，所以，所以A错误，B正确；由，易知是单调递增数列，C正确；当时，，当时，错误.故选BC.10.BD由题意，表示不大于的最大整数，则，所以，则函数是以3为周期的函数，当时，；当时，，则又是以3为周期的函数，则的值域为和D均正确；，所以，故不是奇函数，A错误；当时，，故在上无单调性，C错误.故选BD.11.AC对于，易算出该正四面体外接球的半径，所以该正四面体可以放入半径为的球内，故正确；对于，由可知四面体外接球的半径，如图，在中，，所以；在中，，易知两个球面的交线为圆，其周长为，故B错误；对于C，取的中点，连接.易证平面，所以；又平面，平面平面，所以，同理，所以，同理，所以四边形为平行四边形；又是与所成的角，所以，于是四边形为矩形，则C正确；对于D，设，易证，所以，可得，同理可得.取中点，连接，交平面于点.由上面的论证可知平面.因为平面与都平行，所以可得，又易知，所以，即到平面的距离为，所以..令，因为，所以，所以，故D错误.故选AC.12.小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有种可能，5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳游玩，且不去同一景点的情况有种，故所求概率.13.设，解得，解得，所以渐近线方程为，由对称性，不妨取进行计算，弦长.14.设底面半径为，则圆锥的高，体积.令，则，当时，单调递增，当时，单调递减；所以当，即时，取最大值，此时.15.（1）证明：由，及正弦定理，得，即，即.因为，所以，即.因为，所以或.因为，所以，又，所以.故是等腰三角形.（2）解：因为，即，则.由（1）可得.因为，所以.由正弦定理，得.因为，所以.结合，解得.16.解：（1）由频率分布直方图可知，解得.因为，所以分位数位于，设为，则有，解得.故日本成年男性身高的分位数为.（2）由频率分布直方图知，样本中身高低于的中国成年男性人数是208（人），样本中身高低于的日本成年男性人数是（人），故样本中身高低于的共有348人，可得下表：身高蛋白质摄入量合计丰富不丰富低于108240348不低于152100252合计260340600零假设：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由列联表数据可得：，依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.17.解：（1）连接并延长交延长线于点，连接并延长交于点，交延长线于点，连接交于点，则截面即为所求.（2）如图，以为原点，棱所在直线分别为轴建立空间直角坐标系Dxyz.因为正方体的棱长为2，所以..设平面的法向量为，则即取，得平面的法向量为.设点到平面的距离为，则，故点到平面的距离为.18.解：（1）因为的长轴长为，所以，由得，把代入的方程得，即，解得，所以，解得，所以的方程为.（2）法一：设，由题意可知，点既是的中点，又是的中点，所以即因为点在上，所以，整理得，因为在上，所以.将两边平方，得，又，展开，得，所以，所以，又.所以为定值.法二（通性通法）：当轴且在轴右侧时，显然，则同理，当轴且在轴左侧时，.当与轴不垂直时，设直线的方程为.由得，则，化简，得.设，则.设，则，所以，代入，得，化简，得，适合..综上，为定值.19.（1）解：法一：因为，所以，若，则在上单调递增；若，令，则，时单调递减；时单调递增