离散数学教学课件

离散数学CATALOGUE目录离散数学概述集合论基础图论基础逻辑初步组合数学基础离散概率初步01离散数学概述离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散数学以离散量为研究对象，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。离散数学的定义与特点特点定义集合论研究集合及其性质和运算，是离散数学的基础。图论研究图的结构、性质和算法，是计算机科学、电子工程等领域的重要工具。逻辑学研究推理的规律和方法，包括命题逻辑、谓词逻辑等。组合数学研究计数、排列、组合等问题，与计算机科学、信息科学等领域密切相关。离散数学的研究对象离散数学是计算机科学的重要基础，为计算机算法设计和数据结构提供理论支持。计算机科学信息科学电子工程数学建模在信息编码、密码学、网络安全等领域，离散数学提供了有效的数学工具和分析方法。在电路设计、信号处理、通信原理等方面，离散数学有助于理解和解决工程中的实际问题。离散数学为数学建模提供了丰富的思想和方法，可应用于各种实际问题的建模与求解。离散数学的应用领域02集合论基础03集合的表示方法列举法、描述法、文氏图表示法等。01集合的定义具有某种特定性质的事物的总体，称为集合。02元素与集合的关系如果a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A。集合的基本概念补集对于全集U，由所有不属于集合A的元素所组成的集合，记作∁UA。并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。交集由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，记作A∩B。差集由所有属于集合A但不属于集合B的元素所组成的集合，记作A-B。集合的运算如果两个集合A和B的元素完全相同，则称A与B相等，记作A=B。相等关系如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称A包含于B或B包含A，记作A⊆B或B⊇A。包含关系如果A包含于B且A不等于B，则称A真包含于B或B真包含A，记作A⊂B或B⊃A。真包含关系空集是任何集合的子集，即∅⊆A；空集与任何集合的交集还是空集，即A∩∅=∅；空集与任何集合的并集等于该集合本身，即A∪∅=A。空集的性质集合的关系与性质03图论基础123由顶点(Vertex)和边(Edge)组成的数学结构，表示对象及其之间的关系。图(Graph)的定义根据边是否有方向，图可分为有向图和无向图。有向图与无向图在无向图中，与顶点相关联的边的数目；在有向图中，分为入度(In-degree)和出度(Out-degree)。顶点的度(Degree)图的基本概念邻接矩阵(AdjacencyMatrix)通过二维数组表示顶点间的连接关系，适用于稠密图。邻接表(AdjacencyList)使用链表或数组表示每个顶点的邻居顶点，适用于稀疏图。关联矩阵(IncidenceMatrix)表示顶点与边之间的关联关系，适用于有向图。图的表示与存储图的遍历与搜索包括连通性检测、最短路径问题、拓扑排序等。图的遍历算法应用从某一顶点出发，尽可能深地访问图中的顶点，直到所有顶点都被访问到。深度优先搜索(Depth-FirstSearch,…从某一顶点出发，逐层访问图中的顶点，直到所有顶点都被访问到。广度优先搜索(Breadth-FirstSearc…04逻辑初步阐述命题的定义，命题变量的概念及其表示方法。命题与命题变量介绍逻辑联结词（如“且”、“或”、“非”等）的符号表示、真值表及其性质。逻辑联结词说明命题公式的构成，以及如何利用真值表判断命题公式的真值。命题公式与真值表阐述等价命题与蕴含命题的概念，以及它们之间的区别和联系。等价与蕴含命题逻辑谓词与量词介绍谓词的概念，以及全称量词和存在量词的符号表示及其性质。谓词公式与解释说明谓词公式的构成，以及如何通过解释判断谓词公式的真值。等价与蕴含阐述谓词逻辑中等价与蕴含的概念，以及它们之间的区别和联系。前束范式介绍前束范式的概念及其性质，以及如何将谓词公式转化为前束范式。谓词逻辑ABCD逻辑推理与证明推理规则介绍常用的推理规则，如假言推理、拒取式推理、析取推理等。数学归纳法介绍数学归纳法的原理及其在数学证明中的应用。证明方法阐述直接证明法、间接证明法（如反证法）等常用的证明方法。逻辑悖论与哥德尔不完备性定理简要介绍逻辑悖论的概念及哥德尔不完备性定理的内容和意义。05组合数学基础从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。排列从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组合数。组合排列与组合都是研究从n个元素中取出m个元素的问题，但排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。排列与组合的关系排列与组合生成函数生成函数是一种将离散数学中的序列转化为连续函数的方法，通过生成函数可以方便地研究序列的性质和求解序列的和等问题。递推关系递推关系是一种用已知项来表示未知项的方法，通过递推关系可以方便地求解一些组合数学中的问题，如斐波那契数列、汉诺塔问题等。生成函数与递推关系的关系生成函数和递推关系都是研究序列的重要工具，它们之间有着密切的联系。通过生成函数可以求解一些递推关系的通解，而通过递推关系也可以求解一些生成函数的系数等问题。生成函数与递推关系给定一个城市列表和每对城市之间的距离，旅行商问题要求找出访问每个城市一次并回到起始城市的最短路径。旅行商问题给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，背包问题要求选出一些物品放入背包中，使得背包的总价值最大且不超过背包的容量。背包问题给定一个无向图和k种颜色，图的着色问题要求用这k种颜色为图的顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同且使用的颜色数最少。图的着色问题组合优化问题举例06离散概率初步随机试验在一定条件下进行的，结果不确定的试验。样本空间随机试验所有可能结果组成的集合。随机事件样本空间的子集，即某些特定结果组成的集合。概率衡量随机事件发生可能性的数值，满足非负性、规范性和可列可加性。随机事件与概率定义在样本空间上的实值函数，将随机试验的结果映射为实数。随机变量取值可数的随机变量，如二项分布、泊松分布等。离散型随机变量取值充满某个区间的随机变量，如正态分布、均匀分布等。连续型随机变量描述随机变量取值概率规律的函数，包括概率质量函数（离散型）和概率密度函数（连续型）。分布函数随机变量及其分布方差衡量随机变量取值分散程度的数值，