2022年山东高考数学仿真卷十（解析版）

备战2022年山东高考数学仿真卷（10）

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）已知A,5均为R的子集，且An©B）=A,则下面选项中一定成立的是（）

A.BGAB.A（j8=RC.始8=。D.A=dRB

【答案】C

【详解】•.■4。©8）=4,

故选：C.

2.（5分）2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现

从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新

中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同

的安排方法共有（）

A.14B.48C.72D.120

【答案】D

【详解】根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，

在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有&=60种安排方法，

则有2x60=120种不同的安排方法，

故选：D.

3.（5分）农历辛丑牛年将至，全国上下都在为春节的到来做准备.很多同学发现今年的春节在2月中旬，

比以往要晚，这便是农历和公历周期不同而导致的.当农历和公历之间的时间差接近一整月时，便会出现

“闰月”现象.闰月是一种历法置闰方式，闰月特指农历每2至3年增加的一个月，以协调农历年和回归

年的矛盾，防止农历年与四季脱节.农历以月球绕地球定历法，农历以朔望月的长度29.5306日为一个月的

平均值，全年12月，比回归年的365.2422日少10.88天，积以置闰.所以每三年要闰一个月，每五年闰两

个月，每十九年闰七个月，闰月加在某月之后，称为闰某月.已知2012年闰4月、2014年闰9月、2017

年闰6月、2020年闰4月，则下一次出现闰月的年份为（）

A.2021年B.2024年C.2022年D.2023年

【答案】C

【详解】因为每三年要闰一个月，每五年闰两个月，每十九年闰七个月，

而2017年闰6月、2020年闰4月，所以2021年没有闰月，

2018年-2022年这五年闰两个月，则2022年将有闰月.

故选：C.

4.（5分）己知椭圆C:?+?=l,过点P（l,g）的直线交椭圆C于A、B两点,若P为43的中点，则直

线43的方程为（）

A.3x-2y-2=0B.3x+2y—4=0C.3x+4y—5=0D.3x-4y-l=0

【答案】B

【详解】设A（q,x）,B（X2,y2）,

贝I]+4^=12,34+4y；=12,

.,.3（X1+々）（%一*2）+4（x+%）（%—％）=0•

恰为线段43的中点，即有西+三=2,y+%=l,

.,.3（%-x2）+2（yt-y2）=0,

直线AB的斜率为k==匹=

刀-x22

ia

直线AB的方程为?_/=_]（了_1）,

即3x+2y—4=0.

由于尸在椭圆内，故成立.

故选：B.

5.（5分）新春将至，在某市的广场上正展出一件棱长为20〃?的正方体展品以庆祝新春，并在以展品底面

中心为圆心且半径为20机的圆上设置观光步道，游客只能在观光步道上参观展品.则游客随意走到观光步

道的某一位置，能同时看到展品的两个侧面的概率为（）

1

B.-C.D.-

6543

【答案】D

【详解】圆周长为24=404，在如图阴影对应的观光步道上能同时看到两个侧面,

因为AD=20,所以ZAOC=30。，

22

同理可得/8OE=30。，则NAQN=3O。，

故弧长AB为30°〃.20=也,

18003

所以阴影部分的总弧长4、也=驷，

33

407r

所以能同时看到展品的两个侧面的概率为「=」一='.

40乃3

故选：D.

A^-e—~^D

3］上的大致图象为（）

【答案】B

【详解】〃-X）=（-*H：（T）=X'COSX

，国=—/(©，

则函数f(x)为奇函数，故排除C；

又因为/(1)="＜；，故排除A,D；

故选：B.

7.(5分)已知函数/*)=x+^,若正实数加、〃满足了(桃-9)+/(2〃)=2,则4+上的最小值为(

\+exmn

)

QQ

A.8B.4C.-D.-

39

【答案】D

【详解】函数/(x)=x+^^,

\+ex

所以f(-x)=-x+-~—，

\+ex

所以/(x)+/(r)=2・

由于函数〃%)=》+二一在定义域上单调递增，

\+ex

故正实数机、〃满足/(9)+/(2n)=2,

故9—m=2n,

所以加+2〃=9，

所以2+2=\(〃7+2〃)(2+3=工(4+例+')…Ixa+zax色(当且仅当买旭=2〃时，等号成立).

mn9mn9mn99

故选：

8.(5分)在菱形/IBS中，AB=6,ZA=60°,连结沿皮)把AABD折起，使得二面角A-3D-C

的大小为60。，连结AC，则四面体ABC£)的外接球的表面积为()

A.134B.244C.36万D.52万

【答案】D

【详解】如图，取比)的中点记为O,连接OC,OA,

分别取ABCD与MBD的外心E与F,

过这两点分别作平面8QC、平面42的垂线，交于点P，

则P就是外接球的球心，连接OP，CP,

Z4OC为二面角A-8D-C的平面角为60。，

则A40c是等边三角形，其边长为6x^=36,

2

OE=-OC=-x3>/3=^，

33

在APOE中，ZPOE=30°,P£=OE-tan3O0=73x—=1.

3

XCE=|oC=2x/3.PC^R=\/PE2+CE2=sjl2+(273)2=V13,

则四面体ABCD的外接球的表面积为4》x(旧y=521.

故选：D.

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）已知复数z=G+i（i为虚数单位），，为z的共规复数，若复数z0=Z,则下列结论正确的是（）

Z

A.z0在复平面内对应的点位于第四象限

B.匕|=1

C.Z。的实部为:

D.z（）的虚部为--

【答案】ABC

【详解】

2

■,=I==（73-Z）

,,Z°~Z~y/3+i~（-J3+z）（＞/3-z）

3-2折+尸2-2gi1E.

~（百产+户一4-22Z'

则z。在复平面内对应的点位于第四象限，故A正确;

Iz0|={(卞？+(-手了=1,故5正确;

z0的实部为g,故C正确；

z。的虚部为-3,故。错误.

2

故选：ABC.

10.(5分)已知a>0,Z?>0,a+2b=\,下列结论正确的是()

A.1+2的最小值为9B.♦+/的最小值为正

ab5

C.log2Q+log2〃的最小值为一3D.2"+4〃的最小值为20

【答案】AD

【详解】因为a>0,b>0,a+2b=\,

匚匚「I1212、/〜、「2b2a__12b2a.

所以—I—=(z—I—)(a+2b)=5H-----1..5+2J---------=9,

ababab\ab

当且仅当a=b时取等号，2+2取得最小值9,A正确；

ab

2i

a2+b2=b2+(l-2b)2=5b2-4b+1=5(b-)2+，

71

根据二次函数的性质可知，当人=士时，上式取得最小值上，4错误；

55

因为1=々+劝..26石，当且仅当a=2h=,，即〃=’力=」时取等号，

224

所以ab,，,

8

log2a+log2b=log2ab„-3,即最大值-3，C错误;

2"+型2后两=20,当且仅当a=2b=！，即。=」,。=工时取等号，此时2"+4"取得最小值2虚，。正

224

确.

故选：AD.

11.(5分)已知抛物线丁=2px的准线为/,焦点为F,原点为O,过尸的直线交抛物线于点/、N,M

在第一象限也=3,分别过M、N作准线的垂线于尸、Q,直线的倾斜角为a.则下列说法正确

|NF|

的是()

A.媪=百P

sin2a

C.M、O,。三点共线D.以为直径的圆与y轴相切

【答案】ACD

【详解】设M(%,x),N(w，y2),

由题意知，直线MN的方程为y=A(x-^),且攵＞0,

将其与y2=2〃龙联立，消去y得，公f一(二p+2p)x+_l22P2二。，

4

Xy+%2=〃+JCD，X]X2=~~

\MF\.

•・•-------=3,

\NF\

3(X+-^),即xp③,

/.Xj+-^=2]-3X2=

_3i

由②③解得，Xj=—/?,工2=—P，

26

代入①得，-p+-p=p+^-,解得％2=3,

26H

•・・k＞。，：.k=6，即选项A正确；

把Xi=3〃，/=,〃分别代入)p=2px中，可得M(3〃，Gp),N(Lp,--p)y

2~6263

.A,8、4百

,•y-%=«3p-(--^p，

.c一1SG,、_lp462

••SAMOV=耳|0歹＞(乂一%)=5乂5、一〃二7〃，

G

由选项A可知，左=G=tan&,/.sina=-^,

2

£

p他

-=¥32

33即选项5错误;

-

4

•.•"。_1准线/于。，，。（一；〃，--楙.），

.,_2V|2A/3

-KOM_，KOQ-，

：.M,。、。三点共线，即选项C正确；

，6p），尸（；〃，0）,

.-JMF\=2p,线段MF的中点坐标为（p,等p）,

•.•线段的中点横坐标恰为|MF|的一半，

.•.以为直径的圆与y轴相切，即选项O正确.

故选：ACD.

0

12.（5分）如图，直四棱柱ABCD-AMGR中，底面ABCD为平行四边形，AB=AA,=1A£>=1,ZR4D=60,

点P是半圆弧AA上的动点(不包括端点)，点Q是半圆弧BC上的动点(不包括端点)，则下列说法正

A.四面体P8CQ的体积是定值

B.•万用的取值范围是(0,4)

C.若GQ与平面A38所成的角为〃，则tane>(

D.若三棱锥尸-BCQ的外接球表面积为S,贝USe[4不，13万)

【答案】BCD

【详解】对A：在四棱柱ABCO-A4GR中，点P到面ABCZ)的距离为1,

则Vp-*m=；dxgBCxh=；h,

由于“不为定值，故/_此2不为定值，故A错误；

对3：在次△APR中，cos/"AP=f,

所以而•“=福•丽=|£>,I-|AP|cosZD,A,P=4cos2ZD(/I,P,

因为NAAPe(0,1),所以cosNAAPeQl),

所以A£i-A下的取值范围是(0,4),故B正确；

对C：由于CC,±面ABCD,所以C©与面ABCD所成的角为NC、QC,

所以tane=9&=—L,因为CQe(0,2),所以tan。〉,，故C正确；

CQCQ2

对。：以O为坐标原点，DB、DC,0A所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示坐标系,

贝0,0),C(0,1,0),4(百，-1,1),R(0,0,1),

线段8c的中点g，0)，线段A2的中点N(手，,1),

设球心0(苧，g,点P(x,y,1),

则(x--^-)2+(y+~)2=1,

__c1

由|。户|二|08|,可得2L_)2+(y+—)2+(l—，)2=1+，2，

2*2

整理可得2/=(工一等)2+(y-；)2=1一(y+g)2+(y一g)2=l-2y,

则I=』-y,

2

因为一1<%g,贝h=g-ye[O,|),|OB|=V1+?2efl,孚)

所以S=4乃|0闻2e[4;r,13%)，故。正确；

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）设X是一个离散型随机变量，其分布列为:

X123

1一夕2

Pq-q

2

则X的数学期望为.

【答案】1+—

2

【详解】g+j+q_/=l,解得q=

所以EX=lx：+2x（l-亭+3x（1-g）=l+g.

故答案为：1+立.

2

14.（5分）二项式（3X+』）6（〃GN*）的展开式中了?的系数为.（用数字作答）

【答案】4860

【详解】二项式(3x+2)6的展开式的通项公式为7；M=c；.(3x)6，(2)'=a-36-J2”6-2r,厂=0,…6,

XX

令6-2r=2,求得r=2,故开式中含V项系数为C：-S*=4860,

故答案为：4860.

22

15.(5分)在双曲线「―5=1(a>0力>0)中，O为原点，耳，F,分别为双曲线的左、右焦点，A为双

a-b'

曲线的左顶点.在过一、三象限的渐近线上取一点M,使得18Ml=6,延长入〃交另一渐近线于点N,

连接HN.若点A、O、M.N四点共圆，且此圆经过AN的中点，则双曲线的离心率为.

【答案】2

【详解】由双曲线的方程可得渐近线方程为：y=±-x,且居(c,0),A(-a,0),

a

设过第一，三象限的渐近线方程为4：y=gx,

b

-c

因为I居M|=b,口.点F、到直线4的距离为d=；—==b，

所以写则直线gM的斜率为氏=-2

.2

所以直线的方程为：y=-q(x-c)与直线y=-联立解得/，

baa"-b'

又A,O,M,N四点共圆，由则N4_Lx轴，

所以赤=-a=Wr，化简可得c2-2/-ac=0,

a-b

即e?-e-2=0,解得e=2或—1(舍去)，

所以双曲线的离心率为2,

故答案为：2.

16.(5分)已知一张纸上画有半径为2的圆O,在圆。内有一个定点A,且。4=1,折叠纸片，使圆上某

一点A'刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与

04'的交点形成的曲线记为C,则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为.

【答案】-

2

【详解】以。4中点为G坐标原点，0A所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

可知O(-Lo)，A(-.O),设折痕与or和AA分别交于M,N两点，

22

则MN垂直平分AA,AM，H似41,

又v|A'O|=|MO|+|A'M|,:\MO\+\MA\=2,

.•.M的轨迹是以O,A为焦点，2为长轴的椭圆.

的轨迹方程C为丁+」-=1,

3

曲线C上的点到点O距离的最大值为d=\+-=~,

22

曲线。上的点到圆O上的点的最大距离为d+r=Z.

2

故答案为：--

四.解答题(共6小题，满分7()分)

17.(10分)在①asin(A+C)=6cos(A-马，②l+2cosCcos8=cos(C-3)-cos(C+8),③

2tang=--这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.

tanA+tan8c

问题：在AABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且匕+°=26，a=瓜，—.求AABC的

面积.

【答案】见解析

【详解】选①asin(A+C)=/2COs(A-匹)，

TT

由正弦定理得sinAsin3=sinBcos(A----),

因为0v3<%,

所以sin8>0,

.I

月f以sinA=cos(A--)=-^cosA+—sinA,

62

jr

即cos(A+—)=0，

因为OvAv%，

所以A，,

3

a2=b2+c2—bcib+c=2G,a=瓜,

所以be=2,

所以=；0csinA=gx2xsin(=等.

选②因为1+2cosCeosB=cos(C-B)-cos(C+B),

所以1+2COSCCOS3-COS(C-8)+COS(C+8)=0,

整理得cosA=」,

2

因为0vAv乃，

所以A=^

3

因为。2=人2+/—力。，匕+c=2G，a=\f6，

所以be=2,

所以心8c

2232

2tanBb

选③

tanA+tanBc

2tanBsinB

由正弦定理得,--♦

tanA+tanBsinC

2sin5

sinB

所以cos8

sinAsinBsinC

-----------1-----------

cosAcosB

2sinBcosAsin3

所rr以----------=-----，

sinCsinC

因为sin5wO,sinCVO,

所以cosA=—,

2

因为AG(0,T),所以A=工，

3

因为/=/+，一，/?+c=2\[3,a=V6,

所以be=2,

所以%配-Z?csinA=-x2xsin-=—

2232

18.(12分)已知等差数列的首项为2,前〃项和为S〃，正项等比数列｛2｝的首项为1,且满足%=2%,

S$=4+04.

(1)求数列｛4｝，｛2｝的通项公式;

(2)设g=(—l)"log3sz,+10g3〃，求数列｛%｝的前26项和.

,,_|

【答案】(1)a„=2+2(n-l)=2n,bn=l-3"-'=3；(2)328

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛〃｝的公比为q,

4+2d=2bq

%=2b]

所以2=><.5x4，又q=2，4=1,

Ss=a+A5“+—-—ci=b、q+b、q

所以/-%=0,

因为数列也｝是正项等比数列，所以q=3,则d=2,

所以a,,=2+2(〃-1)=2",bn=L3"T=3"T.

gc_«(2+2n)_

(2)Sn------------=+1),

n

则c„=(-1)"log,Sn+log,bn=(-1)"log3[n(n+1)]+log,3~'=[(-1)"log3n+(-1)"log3(n+l)]+n-l,

所以数列｛g｝的前26项和：

石6=(-log31-log,2+0)+(log,2+log33+1)+(-log33-log3+2)+...+(-log525-log326+24)+(log326+log327+25)

=-log,1+log327+26(°；25)=3+325=328.

19.(12分)如图，四边形回防是矩形,平面转。1.平面他所，。为8C中点，ZCAB=12O°,AB=AC=4,

AF=>/6.

(1)证明：平面4)广，平面BCF;

(2)求二面角尸的余弦值.

【答案】（D见解析；（2）—

3

【详解】（1）证明：•.,AB=AC,。为BC中点，.•.ADJ.BC，

•••A3£户是矩形，FA^AB,

•.•平面ABCJ_平面AfiE户，平面ABCC平面AB所=他，

AFu平面平面ABC，

•••BCu平面ABC,/.AFA.BC,

.BC±AF,AOu平面A£>F,AF^\AD=A,，8C_L平面A£>厂,

又3Cu平面BCF,平面ADF，平面BCF.

（2）由（I）知AF_L平面ABC,

.•.以A为原点，在平面ABC中过A作4?的垂线为x轴，为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,F（0,0,屈）,8（0,4,0）,C（26，-2,0）,E（0,4,遥），

:.D(g,1,0),而=(G1.0),而=(0,0,V6),BC=(2^,-6,0),

由（1）知觉=（26,-6,0）是平面45尸的一个法向量,

设平面ADE的一个法向量为=（x,y,z）,

n-AD=>J3x+y=0r-厂、

则l，取x=l,得/I=1万=(1,—>J3，2V2),

n•AE=4y+V6z=0

・•.cos<%而>=".吟=浮尸=2

|n|-|BC|2V3-4V33

•.•二面角尸-AD-E是平面角是锐角,

.•・二面角尸-AD-E的余弦值为史.

3

20.（12分）为更好的选拔实用性、全面性人才，2020年山东省进行新高考改革.至此，文科生、理科生

的分类方法退出了历史舞台.山东省新高考由普通高等学校招生统一考试（语文、数学和外语）和山东省

普通高中学业水平等级考试（3门选考科目）组成.其中，普通高等学校招生统一考试按原始分每科总分150

分和山东省普通高中学业水平等级考试按等级分每科总分100分计入总成绩，总分750分.山东省新高考

改革后，试题难度有所上升.今日山东创新联盟数学调查小组对某市5万高考应届生关于“新高考数学和

新高考语文哪一个更难”问题进行了调查，调查部分结果如表.已知女生认为“新高考数学比新高考语文

难”的人数是男生的L75倍.

调查表新高考数学比新高考语文难新高考语文比新高考数学难总计

女生0.75万

男生2.5万

总计2.25万5万

(1)完成上述调查表.

(2)将频率视为概率.按分层抽样的方法在该市某中学某班中抽取10名女生和10名男生作为样本，再从

这20人中随机抽取4人.设P(X)为4人中认为“新高考语文比新高考数学难”的女生人数有X人的概率,

求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】见解析

【详解】(1)由题意可得

调查表新高考数学比新高考语文难新高考语文比新高考数学难总计

女生1.75万0.75万2.5万

男生1万1.5万2.5万

总计2.75万2.25万5万

(2)由题意，抽取的10名女生中，认为“新高考语文比新高考数学难”有10x吆=3名,

2.5

所以随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

Cp28

p（X=0）=

^=57

3

尸（x=l）=罟c'c^8

。2019

C©:8

p（X=2）=

495

P（X=3）=野■1

285

所以随机变量X的分布列为:

X0123

P28881

571995285

数学期望E（X）=0x空+1X§+2X§+3X-L=3

5719952855

21.(12分)已知一个半径为3的圆的圆心在抛物线Uy2=2px(p>0)上，该圆经过坐标原点且与C的准

2

线/相切.过抛物线。的焦点厂的直线交。于4,B两点，过弦43的中点M作平行于x轴的直线与直

线。4,03,/分别相交于P,Q,